山东省潍坊市北辰教育集团2025-2026学年高一上学期1月自我赋能检测（二）数学试题

北辰教育集团高2025级1月数学学科自我赋能检测（二） 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xlx-1<2},B=Z,则AnB=( A.{-1,0,1 B.{1,2,3} C.{0,1,2} D.1,2 2.若命题p:x∈R,x2+2x>0,则P的否定是() A.∀x∈R,x2+2x≤0 B.3x∈R,x2+2x≤0 C.x∈R,x2+2x>0 D.xER,x2+2x≤0 3.函数g(x)=1og1 的大致图象为() 4.某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如 图所示，则下列说法不正确的是() 甲班 乙班 A.甲班10名学生物理成绩的中位数是86 76 6270777 B.乙班10名学生物理成绩的众数是77 98875381349 C.甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 0934 D.乙班10名学生物理成绩的极差是24 5.已知函数f()为R上的奇函数，当<0时，f)-2-令则f)<0的解集为() A.(-3,0)U(0,3)B.(-m,-3)U(0,3) C.(-3,3) D.(-o,-3)U(3,+o) 6.设A,B是两个随机事件，且P0=P®)行：则下列结论正确的是《) A.若A,B是互斥事件，则PM)名 B.若BEA,则PMU)名 C.若A,B是相互独立事件，则P4U)-号 D.若P心=子则4：B是相互独立事件 ax-3,x≤0 7.若函数f=g(x+1)+ax>0存在最小值，则实数a的取值范围为(） A.（-3,0) B.[-3,0] C.(4,0) D.[-4,0] 8.已知函数f(x)=2-2,若x<x且f(伍)=f(,),则2+2-的最小值为（) A是 B.9 C.5+22 D.3+2V2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知0<a<b<c<1,则() A.a<a B.a<b C.log。b>0 D.log,c<1 10.设样本数据x,x2,,x的平均数为x,方差为s2,设y=2x,+1,i=1,2…8,样本数据，2…，%的平均数为， 方差为，则() A.2x=-1 B.4s2<52 c. 22x-)=-1 8 D20似-2网 11.双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，己知：双曲正弦函数s()=, 2 双曲余弦函数c山()=，双曲正切函数h()=二，且当x>0时有h()<x,则下列选项正确的是 A.[ch(x)]2-[sh(x)]2=1 B.th(x)的值域为(-1,1) C.th(x)+th(x-2)>0,1 D.f)=x-1)sh()+ch(,则f(目>f(-) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知实数m为常数，对于幂函数f(x)=(m2--1)x",甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在(0，+o)上单调 递增；丙说：∫(x)的定义域是R.甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是正确的，则的取值 为 13.甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则该密码被破译的概率 为 14.已知函数f(x) @十2,0若关于文的方程aY-a+田+5D有6个不祖等的交数根，则实数 a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知f(x)=x2+(a-1)x-a. (①)若f(四<0的解集为L2),求关于x的不等式ax+ ≤0的解集； x-1 (2)解关于x的不等式f(x)≥0. 16.某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件G由2个电子元件组成.如 图所示，部件G是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件4，日正搭工作的授率都为了，且元件A8工作是 相互独立的. 4 B (1)求部件G正常工作的概率： (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件G正常工作的概率增大.己 知新增元件正常工作的概率为卫，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件A并联后，再与B串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件A并联，另一个和元件B并联，再将两者串联.则该公司应选择哪一个方 案，可以使部件G正常工作的概率达到最大？ 17.为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛 学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为）进行统计， 按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶 图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)，如下图所示. (I)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值： 频率分布直方图 (2)试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数： 个频率 茎叶图 组距 (3)在[70,80)，[80,90)内按分层抽样的方法抽取5名0.040 茎叶 512345678 学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人 6 0.016 7 成绩都在[70,80)的概率. 0.010 8 y 934 05060708090100成绩（分） 18.己知函数f)=nx-1 1+ (a为常数)是奇函数. (1)求a的值； (2)判断∫(x)的单调性并加以证明； (3)当x∈[2,4]时，不等式n +f()<0恒成立，求实数k的取值范围. x+1 l9.己知函数f(x)的定义域为l,若3m,n,t∈R,使得f(2m+x)·f(2n-x)=t对x∈I都成立，则称f(x)为(m,n,t) 型函数. (1)证明：每一个指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)都是(0,0,1)型函数； (2)若函数f(x)=2是(m,2,t)型函数，求实数m,t的值： (3)已知函数f(x)在定义域[-3,9]上的函数值恒大于0，且f(x)为(0,1,4)型函数，当x∈(1,9]时，f(x)=-(Iog3x)2+ blog3x+3.若f(x)≥1在[-3,9]上恒成立，求实数b的取值范围.北辰教育集团高2025级1月数学学科自我赋能检测（二）答案 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1-4 CBDC 5-8 BCBA 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、BCD 10、ACD 11、ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12。-1 13.0.58 14(0,7-210 9U2 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)已知f(x)=x2+(a-1)x-a<0的解集为(1,2)，说明1和2是方程x2+(a-1)x-a=0的根 由书达定理：=1x2=日-a,可得a=-2, a 将a=-2代入不等式+3≤0，得2r+3s0三 (-2x+3)(x-1)≤0 x-1 x-1 x-1≠0 所以1成号 因此，不等式的解东为（小3） (2)先对f(x)=x2+(a-1)x-a进行因式分解： f(x)=x2+(a-l)x-a=x2+m-x-a=x(x+a)-(x+a)=(x-1)(x+a) 即解(x-1)(x+a)≥0，需要根据a的取值分类讨论： (1)当-a<1,即a>-1时，不等式的解为x≤-a或x≥1； (2)当-a=1,即a=-1时，不等式变为(x-1)2≥0，解集为全体实数R: (3)当-a>1,即a<-1时，不等式的解为x≤1或x≥-a. 综上所述：当a>-1时，x∈(-w,-a[1,+o)；当a=-1时，xeR;当a<-1时，x∈(-n,1][-a,+o) 16、（①)记李件4，A分别表示元件4B正常工作，则4)=8)-子 事件E表示G正常工作， 庙元件AB工作是相互独立的，则PD)=P4B)=P4)P(②)×}9 (2)设方案一、二正常工作的概率分别为R,P,设新增的两个元件为C,D, 记事件C,D分别表示新增的两个元件正常工作，则P(C)=P(D)=p. 事件A,B1,C,D1分别表示元件A,B,C,D不正常工作，由于四个元件工作相互独立， =P(AUCUD)B =P(4UC UD)P(B) =[1-P(ACD)】P(B)=[1-P(4)P(C)P(D】P(B) 所以月=-0-p号g+2p-p四： R-l-a-p小x-a-p1=2+p 所以R-月-2+2p-p时2+p-<0, 1 所以选择方案二可以使部件G正常工作的概率最大. 17.(1)由思意可知，样本容量m=0.016×10 8 2 50,y=50x10 =0.004, x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030 (2)x=55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6; 设中位数为m,则(m-70)×0.04=0.5-0.16-0.3,所以m=71 (3)在[70,80)，[80,90)成绩分组的学生分别为20人，5人， 现要按分层抽样抽取5人，则在[70,80)，[80,90)成绩分组中各抽取4人，1人： 记成绩在[70,80)的学生为A,B,C,D,成绩在[80,90)的学生为E. 则从这5人中抽取2人有(AB),（A,C),（A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10种情况. 2人成绩都在[70,80)的有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6种情况 所以从这5名学生中随机抽取2人，2人成绩都在[70,80)的概率P=号 18(1)因为fw)=nx-1是奇函数， 1+ax 所以f-)=-f(e,即血二t-1 1+a-y-如+，则h-'=nl+a =-Inx-1 1-ax x-11 眨其则1-=1心，由于x不间为常数，则G=1,即aD 当a=1时，计=-1k0,不满足题意： 当a=1时，由十十0，得x<-政x>1, 所以f)=m-1的定义域为(2，-1)U(1,+),关于原点对称， 1+x 又f(-x)=-f(x),所以a=1满足题意， 综上，a=1. 2f)=h在Q,切)上单调递增，证明如下： 1+x 因为f)=n1n1-2】 1+x x+1 令y=1- 中1则>0，取5>5>1， 2 则片-2=1-2 1-2） 2-)>0,即y> x+1x2+1厂(+1)2+1) 因为y=hx在其定义域上单调递增，所以hy>hy, 所以f(x)-f(x,)=ln-h2>0,即f(x)>f(x2), 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)在(-∞，-1)上也是单调递增， 因此f(x)在区间(1，+o)和(-o,-1)单调递增： (3)因为f()=n为奇函数， 1+x 所以在n有网<0，得如名W=h气h号 x+1 1-x x-1 因为y=hx在其定义域上单调递增， 所0气智在利L强暖立，圆0<暖立 x-1 令t=x-1,则t∈[1,3]，x=t+1, 所以+1-+2-1+4+4≥2号+4=8。 x-1 t 当且仅当1-子即1=2x=3时，等号成立， 所以0<k<8 19.(1)证明：因为f(0+x)·f(0-x)=ax·ax=a°=1， 所以f(x)=ax(a>0且a≠1)是(0,0,1)型函数， 即每一个指数函数都是(0,0,1)型函数. (2)因为函数f(x)=2是(m,2,t)型函数， 所以f(2m+x)·f(4-x)=22m+x·24=t, 显然t>0,则2m·2云=22，所以++=log2t, 整理得x21og2t+[(2m-4)log2t]x-8mlog2t+2m+4=0对于定义域{xx≠0}内任意x恒成立， log2t=0 所以{ (2m-4)log2t=0,解得m=-2,t=1. (-8log2t+2m+4=0 (3)因为f(x)为(0,1,4)型函数，所以f(x)·f(2-x)=4, 当x=1时，f(1)·f(1)=4, 因为f(x)>0,所以f(1)=2,满足f(x)≥1： 当x∈(1,9]时，f(x)=-(1og3x)2+blog3x+3≥1恒成立， 令1=1g3x,则0<1≤2，所以-2+b1+3≥1在(0,2]上恒成立，则b≥入-恒成立， 因为y=x-在(0,2上单调递增，且ym=2-1,故b≥1. 当x∈[-3,1)时，2-x∈(1,5]， 4 4 则f()=72-刀=-os(2-2+bloa2-0H3 因为f(x)≥1，所以0<-[10g3(2-x)]2+blog3(2-x)+3≤4， 令u=log3(2-x),则当0<u≤1og35时，0<-u2+bμ+3≤4恒成立. 由上可知-u2+bμ+3≥1，所以-u2+bμ+3≤4在(0，l0g35]上恒成立， 则b≤u+在(0，l0g5]上恒成立， 因为μ+≥2，当且仅当u=1时取得等号，所以b≤2. 综上可知，1≤b≤2，故实数b的取值范围为[1,2].