山东省潍坊市北辰教育集团2025-2026学年高一上学期1月数学自我赋能检测

潍坊北辰教育集团高2025级1月数学学科自我赋能检测 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数据4x1+1,4x2+1,…,4x10叶1的平均数和方差分别为4,10，那么数据x1,x2,…,x10的平均数和方差分 别为() A.-1,2 B.1, 35 D.48 2.“幂函数f(x)=(n2-3n+3)xn2-3m在(0，+∞)上是减函数”是“n=2”的一个（) A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 3.某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民进行编号，000， 001,…,299,从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横 向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是( 214570163388295407611084371169285074360295 418315726049083924568109804319675203984596 A.084 B.295 C.049 D.253 4.函数f(x)= 半m刘的图象大致为() 5.先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为4，b,则α，b,3能够构成等腰三角形的概率是() 1 A B.3 7 36 D.18 loga(a-2x),x≤1， 6.己知f(x)= 2+号ax+1-3a,x> 是R上的减函数，则实数α的取值范围为() A.位：) B.（2,6] C.(3,6] D.[3,] 7.某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量m (gm3)满足函数模型rn=2.25-0.04×30.25(m-1)(nEN*),其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染 物数量不超过0.25g时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要() （参考数据：1g2≈0.30，g3≈0.48) A.14次 B.15次 C.16次 D.17次 8.若实数x,y,z满足2-2=5y-5=7-7,则x,y,z的大小关系不可能是（) A.x=y=z B.z>x>y C.>y>x D.x>y>z 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1, A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球 的事件，下列命题正确的是() A.事件A1,A2互斥B.事件B与事件A1相互独立C.P(A1B)= D.P=器 10.“给出下列结论，其中正确的结论有（) x2+1 A.函数y= 的最小值为} B,已知函数y=log。(3-心)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1,3] C.函数y=f(x)的定义域为1,2，则函数y=f(2)的定义域为[2,4] D.若函数f(x)=le(ar+5r+4)的值域为R,则实数a的取值范围是0,2] 16 11.已知不等式x≤x-1在x∈(0，+o)上恒成立（当且仅当x=1时等号成立），下列不等式正确的是() A.1m≤1-1Gx>0) 83 3 ×lh5-ln2<2 1,1,1 1 11 234 2025<n2025 0.1+23+ 1>1n2026 2025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.方程g(-2x)=g(3-x2)的解集为 13.函数f(x)=log1（-2x2+x+3)的单调递减区间为 14已知x,y∈R且满足x+22-1=1,4y+1ogy=0,则y=— 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 5.(1)证明对数换底公式：og6N=8g5(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0 (2)己知1og32=1m,试用表示log3218. (3)化简：1g25+lg4+71o33+log23log34+lg1+lnV6 16已知定义域为R的函数f)=2+是奇函数. 2x+1 (1)求b的值. (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明. (3)当x∈[1,3]时，f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立，求实数k的取值范围. 17.甲、乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）： 甲：79,81,82,78,95,93,84,88 乙：95,80,92,83,75,85,90,80 (I)画出甲、乙两组同学成绩的茎叶图： (Ⅱ)计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟考试中发挥比较 稳定： (Ⅲ)在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分的再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组 同学又有乙组同学的概率. （参考公式：样本数据x1,x2,x的标准差：S= 月[x-+(2-列+…(x。-习]，其中为样本平均数) 甲 乙 7 8 9 18.“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造 福百姓的良性循环，据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问 题仍是百姓最为关心的热点.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第 1组[25,35)，第2组[35,45)，第3组[45,55)，第4组[55,65]，如图所示. (1)求α的值，并估计这组数据的平均数和中位数： (2)现从年龄在[35,45)及[45,55)的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员， 求这两人来自同一组的概率： (3)从年龄在[35,45)及[45,55)的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在[35,45)的平均数为 40,方差为14，年龄在[45,55)的平均数为50，方差为24. (i)己知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x,s:n,歹 ，s经，记总的样本平均数为z,样本方差为s只，证明：2=n[s好+匠-习]+[吃+-习]， ()用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差， ◆频率/组距 0.04 a 0.02 0.01 0V2535455565年龄 1 1 19.(但已知函数8(r)=4,求证：g+2十g-+2为定值.并求 -十.十 1 2 3 2026 1+282026 +28 +2 2025+2的值： 2026 2026 (2)现定义了一种新运算“⊕”：对于任意实数x,y,都有x田y=log.(d+m)(a>0且a≠1). ①证明：x,y,二∈R,都有(x⊕y)®三=x⊕(y⊕)： ②设m=log.(x2-3a+2d),若f(x)=m⊕m-loga2在区间[s,t](0<s<t<a)上的值域为[log。t,log。s],求实数 a的取值范围.潍坊北辰教育集团高2025级1月数学学科自我赋能检测参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C B C D C B ACD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.=1=1)13.(-1,孕或(1,2]142 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解答】(1)证明：设log影N=x,写成指数式b=N.两边取以a为底的对数，得xlogab=logaN. 因为b>0,b≠1,1o3b≠0，因此上式两边可除以1og:b,得x=82等 ·所以，log6W=logaN logab' 2因为102m,因此o9an218=8g2381og32+1og2=2+1og32=2+m log325 5l0g32 5m1 115 4+73+l0g310g4+1g1+nV6=g(25x4)+3+1o823-(21bg,2)+0+2=2+3+ 16解答(1)因为f在定义域为R上是奇函数，所以f(0)=0,即1+b=0,b=1, 1+1 划出- =-f(x),则当b=1时，原函数为奇函数. 2直知号-品 T2+11 任取eR,设<，则fG)-f(G)=22千23十2， 因为函数y=2在R上是增函数，：x<x2,2-2<0.又(2+1)(2+1)>0， f(x2)-f(x)<0,即f(x2)<f(x),f(x)在(-n,+o)上为减函数. (3)因fx)是奇函数，从而不等式：f(x2)+f(2x-1)>0,等价于f(k2)>-f(2x-1)=f(1-2x), 因为减商数，由上式推得：太c1-2x,即对-切e肌创有：k1恒成立，设产-日-2号 1e,则有c0=-2=--1e1,gt=G0=60=-1 ∴k<-1,即k的取值范围为(-o,-1)」 17.【解答】(I)甲、乙两组同学成绩的茎叶图如下： 甲 乙 98 7 8421 8 0035 53 9 025 (Ⅱ)从平均分和方差的角度看，甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定，理由如下： 元g-石(79+81+82+78+95+93+84+88)-85，z-日(95+80+92+83+75+85+90+80)=85 5=吉(79-85)24(81-85)24(82-85)4(78-85)24(95-85)24(93-85)24(84-85)24(88-85) 2☑]=35.5 s2=(95-85)24(80-85)24(92-85)24(83-85)24(75-85)24(85-85)24(90-85)2+(80-85) 2]=41 由于元甲=元乙，S男<S,所以，甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定. (Ⅲ)若甲组同学中成绩不低于9(0分)的两人设为A,B,乙组同学中成绩不低于9(0分)的三人设为4，b, c,则从他们中抽出3名同学有以下10种可能：ABa,ABb,ABc,Aab,Aac,Abc,Bab,Bac,Bbc,abc, 其中全是乙组的只有bc一种情况，没有全是甲组的情况， 所以拍出的3人中影有甲组又有乙组同学的概率是：P-1一0一品 18.【解答】(1)根据频率分布直方图的性质可得(0.01+0.02+a+0.04)×10=1,解得a=0.03: 所以平均数为0.1×30+0.2×40+0.3×50+0.4×60=50： 因为前几组的频率依次为0.1,0.2,0.3， 所以中位数在[45,55)内，且为45+05-01-02=155， 0.03 3 (2)因为[35,45)与[45,55)的频率之比为0.2：0.3=2：3， 所以在[35,45)与[45,55)内分别抽2人，3人，这两人分别记为A,B,这三人分别记为4，b,c 所以再从这5人中选2人作为生态文明建设知识宣讲员有n=10种可能：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,aC,bc 设事件C:这两人来自同一组，则C={AB,ab,ac,bc),即C中含有m=4个基本事件 则这两人来自同一组的概奉为P(©)=丹-月 (3)(1)证明：证明：因为z=n[x+2++xm）+0+2++小， 又元=（化1+x2++xn,所以x1+x2+…+xm=mx, 同理可得y1+y2+…+yn=n, 所以豆=(m成+网=·+n可， mtn m十n s子-[(x1-习2+c2-刀2+…+cm-习]-清%1(0x-刀2，所以1(c-习2=ms子， 同理可得1(y:-)2=ns2, 所以s2=mn[01《:-习2+10：-刀]， 所以s2=n[21(&-元+元-习2+210-5+-习1， 又1(x:-元+元-习2=∑1[0x:-习2+2(x-刀(-习+（民-习2] =1(0x:-习2+21（化：-刀(-+1民-）2， 又2∑1(x:-刀氏-习=2c-习21x:-刀=2G-Z[0x1-习+(x2-刀+…+(xm-, =2(-Z[x1+x2+…+xm-m风=2(c-Z)[mx-m冈=0， 又1民-刁2=m(-2,所以Σ1(x:-元+元-刁2=ms+m(-2刁2， 同理21以-+-习2=ns吃+n-⑦)2， 所以s2=n[ms子+m(-习2+ns号+n6-刀1，所以s2=[s+区-习]+[s+-习： (i)年龄在[35,45)及[45,55)的人群的比例为0.2：0.3=2：3， 所以利用分层抽样的方法在[35,45)及[45,55)的人群中共抽取50人， 则在[35,45)的人群中应抽取20人，在[45,55)的人群中应抽到30人， 则m=20,元=40，s2=14:n=30,夕=50，s3=24, 所以2-号×40+号×50=46，s2-器14+(40-46)9+器[24+(50-46)9]=20+24=4. 50 1 1 1 12+41 8)证明：已知8⑧4则008四*280+24+222附+22 g四+2十g0-9+2为定值 1 1 所 1 y 1 1 8\2026 2 +282026 3 +282026) 2 20251 8 21 2026 1 1 1 S=- 十 则 2025 2024 2023 8 +28 +2 8 、2026 2026 +28 2026 2026 两式相加得28=2025×)所以S-202灯 4 1 1 1 即 1 +2g 2 3) +282026) +2 302+2的值为2025 8 4 2026 (2026 2026 (2)①证明：因为(x⊕y)©z=log。(a*+a'）Ez=log,hs.o4a上1g。6*+a+a）, x@(y®)=x[log.(d+ad)]=log.d+8.ee）=log(d+d+,所以(x©)⊕：=x⊕(y©). ①解：由新运算可知，f(x)=m⊕-log。2=log.(d"+d)-log.2=m+log。2-log。2=l=log.（x2-3+2a2): 令g(x)=x2-3ax+2a2,则g(x)在(0，a)上单调递减， 由于f(x)在[s,t上的值域为[logt,log。s],所以log.t<log。s(s<t),则0<a<1, 所以f()在，上单调递增，则8)=t,即-3as+2a=1 (8()=s’即 t2-3at+2a'=s 整理得，s2-t2-3a(s-t)=-(s-t),所以s+t-3a=-1, 将t=3a-s-1代入s2-3as+2a2=t,得52-(3a-1)s+2a2-3a+1=0, 同理得，t2-(3a-1)t+2a2-3a+1=0.所以s,t是函数h(x)=x2-(3a-1)x+2a2-3a+1在(0，a)上的两个不同的零点， a<或a>1 h(0)=2a2-3a+1>0 2 h(a=-2a+1>0 1 a<- 0<3a-1<a 则 ，解得2 2 △=(3a-1)2-42a2-3a+1）>0 35as1 a<-3-2W3或0>-3+2W3 所以23-3<aK2 1 故实数α的取值范围为 （25-3