精品解析：福建省莆田哲理中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年莆田哲理中学高二年级上学期期末考试卷 数学试题 一、单项选择题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 3. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 5. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 6. 已知空间中的点，且，则点到的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 又，. 所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 又，则. 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）． A. 13 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值. 【详解】，故, 记抛物线的准线为，则：， 记点到的距离为，点到的距离为， 则. 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为，若，，则有（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，可判断选项A和B；根据，得到可判断选项C和D. 【详解】由题意，数列的前项和满足， 当时，，两式相减，得， 所以，即， 又由，当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 故数列既不是等差数列也不是等比数列，故A错误，B错误； 当时，，，， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故D正确，C错误. 故选：D. 二、多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得2-4分，有选错的得0分．） 9. 点在圆上，点在圆上，则（    ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两圆的公切线有2条 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C. 【详解】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即， 其圆心，半径，圆心距>，故两圆外离，故公切线有4条，故D错误； 则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确； 对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C错误. 故选：AB. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量、、不能构成空间的一组基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式可判断A选项；利用空间向量垂直的坐标关系可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 又因为，所以，故向量与向量的夹角为，A错； 对于B选项，， 所以，故，B对； 对于C选项，向量在向量上的投影向量为，C对； 对于D选项，设，即， 所以，解得，故，即、、共面， 所以向量、、不能构成空间的一组基底，D对. 故选：BCD. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的有（    ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C上满足的P有且只有一个 C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 D. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，通过将点替换为验证方程不变，从而判断曲线关于原点对称；对B，由得出点在轴上，代入曲线方程解得唯一交点为原点；对C，设点到原点的距离为，将方程转化为关于的不等式，推导出；对D，联立直线与曲线方程，通过分析方程解的个数，确定的取值范围. 【详解】对于A：曲线方程为，将替换为， 方程变为，即与原方程完全相同， 所以曲线关于原点对称，A正确； 对于B;表示点在线段的垂直平分线即轴上，设， 则，即，解得， 因此满足条件的点只有，B正确； 对于C：设点到原点的距离为， 由曲线方程，得， 因为，所以，解得， 即曲线上任意一点到原点的距离不超过，C正确； 对于D：将代入曲线方程，得， 整理得， 要使直线与曲线只有一个交点，需上式仅有一个解，即无实数解, 因此，解得或， 但当时，方程退化为，也仅有一个解，故也满足条件， 所以实数的取值范围为，D错误； 故选：ABC. 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，结合已知条件构造方程求解． 【详解】若A，B，C，M四点共面，且A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点， 则向量表达式必须满足系数之和为1，即， 解得． 故答案为：． 13. 记为等比数列的前项和．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】运用等比数列通项公式构造方程组，解出首项和公比，即可求出 【详解】设等比数列的公比为，① 由， 可得解得② 所以．③ 故答案为：． 14. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 四、解答题．（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线，圆． （1）若，求直线被圆所截得的弦长； （2）已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式求解即可； （2）先求出定点，分切线的斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于半径即可得解. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， ，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为； 【小问2详解】 直线变形得， 令，则， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到切线的距离为，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述所求直线方程为或. 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接， AI    在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以． 17. 已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）令记数列的前n项和为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质结合已知条件构造递推关系，结合递推关系特征求出； （2）求出的通项公式，进而求出，再代入求解． 【小问1详解】 已知数列是以4为公差的等差数列， ， 当时， ， 又符合上式， ． 【小问2详解】 ， ， ． 18. 如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． （1）证明：平面ABC； （2）问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明： 由题可知，，且， ∴． 连接BO，如图，则，且． ∵是边长为4的等边三角形， ∴，，且． 从而有，故． ∵， ∴平面． （2）存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处 【解析】 【分析】（1）证明，，由线面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明存在并可确定点M的位置. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 假设存在满足题意的点． 由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ，，． 设，． 则． 设平面AMP的法向量为， 则 令，得． 易知平面的一个法向量为． ∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°， ∴， 解得或（舍去）， ∴存在，且点M在线段BC的靠近点B的三等分点处， 即． 19. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值. 【答案】（1） （2） （3） 证明：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，， 设，则，所以，则， 因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点， 则为中点，所以， 又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为， 则的方程为， 即； 又由直线的斜率为，所以直线的方程为， 由，可得，则， 解得，即， 又因为、分别为、在轴的垂足， 则，， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程； （2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解； （3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立. 【小问1详解】 解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是， 可得，解得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设，， 联立方程组 ，整理得， 由，解得， 则， 因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则， 可得，即， 代入得，整理得满足， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年莆田哲理中学高二年级上学期期末考试卷 数学试题 一、单项选择题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 3. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中的点，且，则点到的距离为（    ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）． A. 13 B. 12 C. 10 D. 8 8. 已知数列的前n项和为，若，，则有（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列 二、多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得2-4分，有选错的得0分．） 9. 点在圆上，点在圆上，则（    ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两圆的公切线有2条 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量、、不能构成空间的一组基底 11. 中国结是一种手工编织工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的有（    ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C上满足的P有且只有一个 C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 D. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是_______． 13. 记为等比数列的前项和．若，，则______． 14. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 四、解答题．（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线，圆． （1）若，求直线被圆所截得的弦长； （2）已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）令记数列的前n项和为，求的值． 18. 如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． （1）证明：平面ABC； （2）问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $