精品解析：2024年四川省南充市名校卓越人才强基活动九年级数学试卷

2024年四川省南充市名校卓越人才强基活动九年级数学试卷 （时间：90分钟 总分：150分） 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，具体涉及同底数幂的乘法、幂的乘方以及负整数指数幂的运算．通过幂的运算规则逐一验证各选项即可解答． 【详解】解：对于选项：左边，因此选项错误； 对于选项：左边，因此选项错误； 对于选项：左边右边，因此选项正确； 对于选项：左边，因此选项错误； 故选：． 2. 已知，，则与的关系是（ ） A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴与互为相反数， 故选：． 3. 如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，从而可判断； 【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 4. 甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（ ） A. 5分钟 B. 9分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键． 根据图像与题意求甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；然后令，分情况求解即可． 【详解】解：由图像可知，甲的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为； 令， 当时，， 解得（舍去）； 当时，， 当时，解得； 当时，解得； 当时，可得， 解得； 综上，的值可能为5或11或17，不可能为9， 故选：B． 5. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质； 连接，根据正方形的性质求出，证明，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，即可得到正方形的边长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 平分， ， ， 在与中， ， ， ， O为对角线的中点， ， ， ∴，即正方形的边长为3， 故选：B． 6. 已知：a、b是正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，将的最小值转化为求的最小值问题，利用轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，代入 ， 得：， 构造如下图形，如图，其中，，，在上取一点使，可得， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 则， ∴当的值最小时，的值最小， 作点关于直线的对称点，连接，则：， ∴当三点共线时，的值最小，即为的长， 延长，过作垂直于的延长线，垂足为，则，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∴的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．解题的关键，是将代数问题转化为几何模型，利用轴对称的性质，解决线段和最小问题． 7. 如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点，由垂径定理和对称的性质得出，进而得到，证出四边形是平行四边形，得出，求出，在中，由勾股定理得出，再利用勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点，如图所示： ∵点E、F分别是和的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理及平行四边形的判定及性质， 掌握圆的有关性质，平行四边形的性质，勾股定理的内容是解题的关键． 8. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上， ∴点，一定在直线上， 又∵点，在二次函数 (m为常数）的图象上， ∴、是方程的两个解， 即， ∴，， ， ∵， 又∵， ∴， ∴m取任意实数时，总成立， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且． 9. 如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：①；②；③图中有8个等腰三角形；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】证四边形DBCE是平行四边形，可得∠DEC=∠DBC=45°，再证△CHG≌△EGD（AAS），可得∠EDG=∠CGB=∠CBF，然后再证∠GDH=∠GHD，可得∠GDIH=∠GHD，故②正确；证DG=GF，得HG=DG=GF，则HF=2HG，显然EC≠HF=2HG，故①正确；由全等三角形的性质得，则，得，故④错误；结合前面条件易知△ABD、△CDB、△BDF、△CDE、△BCG、△DGH、△EGF、△CDG、△DGF是等腰三角形共9个，故④错误，即可解答． 【详解】解：∵DF=BD， ∴∠DFB=∠DBF ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD//BC，AD=BC=CD，∠ADB=∠DBC=45°， ∴DE//BC，∠DFB=∠GBC， ∵DE=AD， ∴DE=BC， ∴四边形DBCE是平行四边形， ∴∠DEC=∠DBC=45°， ∴∠DEC=∠ADB=∠DFB+∠DBF=2∠EFB=45°， ∴∠GBC=∠EFB=22.5°，∠CGB=∠EGF=22.5°=∠GBC， ∴CG=BC=DE， ∵BC=CD， ∴DE=CD=CG， ∴∠DEG=∠DCE=45°，EC=CD，∠CDG=∠CGD=（180°-45°）=67.5°， ∴∠DGE=180°-67.5°=112.5°， ∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°， ∴∠GHC=∠DGE， ∴△CHG≌△EGD（AAS）， ∴∠EDG=∠CGB=∠CBF， ∴∠GDH=90°-∠EDG，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB， ∴∠GDH=∠GHD， ∴∠GDH=∠GHD，故②正确； ∵∠EFB=22.5°， ∴∠DHG=∠GDH=67.5°， ∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB， ∴DG=GF， ∴HG=DG=GF， ∴HF=2HG，即EC≠HF=2HG，故①正确； ∵△CHG≌△EGD， ∴S△CHG=S△EGD， ∴，即，故④错误； 结合前面条件易知等腰三角形有：△ABD、△CDB、△BDF、△CDE、△BCG、△DGH、△EGF、△CDG、△DGF共9个，故③错误； 则正确的个数有2个． 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质与一元二次方程的综合．根据抛物线开口向下和对称轴的位置，抛物线与y轴交于正半轴，可得：即可判断①；由结合：，即可判断②；根据抛物线开口向下，对称轴为直线，即可判断③；由的两根是：，得：的两根是：，进而得：的两根，即可判断④；由，为方程的两个根，得：，为抛物线=和直线的两个交点的横坐标，结合图象，即可得到的范围，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为：直线， ∴，即：， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线 与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵抛物线 与x轴交于点，其对称轴为直线 ， ∴抛物线 与x轴交于点和， ∴的两根是：， ∴的两根是：， ∵与的解相同， ∴的两根分别为，故④正确； ∵抛物线 与x轴交于点和， ∴， ∵，为方程的两个根， ∴，为方程的两个根， ∴，为抛物线和直线的两个交点的横坐标， 结合图象得：且，故⑤正确； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则＝______． 【答案】108 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可 【详解】解： ， 故答案为108. 【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 12. 如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】先延长BG交AC与点D，再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的长． 【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2, ∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD， ∴∆ADG∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG， ∴BD⊥AC， ∵AC＝4， ∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD、AD的长以及证明∆ADG∆CDG是解决本题的关键． 13. 已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____． 【答案】0 【解析】 【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案． 【详解】解：设这个相同的实数根为t， 把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得： a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0 相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0， （a+b+c）（t2+t+1）＝0， ∵t2+t+1＝（t）20， ∴a+b+c＝0， 故答案是：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 14. 如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线 的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接，， ∵，的中点分别是，，的中点为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 若关于x 的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴ 解得：， 解 解得：且， ∵是整数，，， ∴， 则符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 16. 在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线，再确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆，可知所求面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解． 【详解】 ∵点B的坐标是， ∴， ∵直线经过点A， ∴， ∴直线， ∵，点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形是扇形， ∴当点D与重合时，点与重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形， ∴当点在直线上时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，能够根据题意确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中的值是的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号内通分计算，再根据分式的除法法则把原式化简，再求出的值，选出合适的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式， 解方程得：,所以或，由分式有意义可知：不能取，，故， 所以原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 18. 在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率； （2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法求解即可； （2）分类讨论，利用列举法即可求解． 【详解】（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：； （2）①分组为(2，5)和(6，9)， 1、2名争夺 3、4名争夺 情况1 (2，6) (5，9) 情况2 (2，9) (5，6) 情况3 (5，6) (2，9) 情况4 (5，9) (2，6) 故概率为：； ②分组为(2，9)和(5，6)， 1、2名争夺 3、4名争夺 情况1 (2，5) (6，9) 情况2 (2，6) (5，9) 情况3 (5，9) (2，6) 情况4 (6，9) (2，5) 故概率为：； 综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 19. 已知△ABC中CB=AC=6，∠ACB=120°． （1）如图1，D为AB的中点，∠MDN=60°交CA，CB于M，N，求CM+CN的值． （2）如图2，如D在AB的下方，且∠ADB=120°，求证：CD=CB． 【答案】(1) 3， （2）证明：作三角形ADB的外接圆，设圆心为O，连结OA，OB， 由已知CA=CB，∠ACB=120º， 过C作直线CH⊥AB于H， ∴AH=BH， 圆心O在CH上， ∵∠ADB=120°， ∴的度数为240º， ∴的度数为：360º-240º=120º， ∴∠AOB=120º， ∵∠ACB=120º， ∴O与C重合， ∴CA=CD=CB， 【解析】 【分析】(1)连结CD，取BC中点E，连结DE，利用等腰三角形性质∠ACD=∠DCB=60º，利用直角三角形斜边中线性质得CE=BE=DE，结合∠DCB=60º证得△CDE为等边三角形，由等边三角形性质CD=ED，可证△CMD≌△END（ASA）得MC=NE，由此推出CM+CN= CE=3； (2) 作三角形ADB的外接圆，设圆心为O，连结OA，OB，由等腰三角形的性质确定圆心O在CH上，利用圆周角∠ADB=120°，确定∠AOB=120º，由已知∠ACB=120º，确定O与C重合即可． 【详解】(1)连结CD，取BC中点E，连结DE， ∴CB=AC=6，∠ACB=120°， ∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，∠A=∠B=30º， ∴∠ACD=∠DCB=60º， ∵E为BC中点，∠CDB=90º， ∴CE=BE=DE， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD=ED，∠CDE=60º=∠CED=∠MCD， ∵∠MDN=60°， ∴∠MDC=∠MDN-∠CDN=∠CDE-∠CDN=∠NDE， ∴△CMD≌△END（ASA）， ∴MC=NE， ∴CM+CN=NE+CN=CE==3， （2）略 【点睛】本题考查引辅助线构图，涉及等腰三角形的性质，三角形全等判断与性质，等边三角形的判定与性质，角度与线段之间的关系， 掌握等腰三角形的性质，三角形全等判断与性质，等边三角形的判定与性质，角度与线段之间的关系，关键是利用角的关系确定点C为外接圆圆心． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ∵ ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 解得， ∵方程有一个根小于1 ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 21. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）；80元； 6000元 （3） 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由待定系数法求解即可； （2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量列出函数关系，将关于的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． （3）当时，得或，根据二次函数的性质和题目中x满足的条件综合得出 x的取值范围． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将；分别代入得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得： ， ； ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，此时， 当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元． 【小问3详解】 ， 当时，，解得，或， 抛物线开口向下 时，， 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，的平分线交于点E，点D在上，且以为直径的经过点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据平分，得到，再根据得到，继而得到，继而得到，结合得到证明即可． （2）连接，根据，设，继而得到，结合，，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵， 设， ∴， ∵，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故圆的半径是3． 【点睛】本题考查了切线的证明，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线证明，勾股定理是解题的关键． 23. 某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． （1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？ （2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ （3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 【答案】（1）每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元 （2）B型玩具的销售单价为13元 （3）4 【解析】 【分析】（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可； （2）由题意可知，，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价； （3）根据题意可知，此时，由a的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：， 解得， 经检验是原方程的解， 答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元； 【小问2详解】 依题意可得方程：， 解得（舍去） 则销售B型玩具：（个），日获利：（元）， 则每个获利（元）， （元）， 故B型玩具的销售单价为13元； 【小问3详解】 设日获利为w元，根据题意得 ， ， ， ， B型玩具的数量不少于A型玩具数量的4倍， ， ， 解得， 当时，w取得最大值， ， 解得． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及分式方程的应用，不等式的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数，再求解． 24. 如图，在中，，点是边上一点，连接． （1）如图1，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，线段的垂直平分线交于点，点为线段的中点，连接，，，，求证：； （3）如图3，，，过点作，交于点，点是直线上一动点，点是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得，由垂线的定义得到，则，，由此可得，由旋转的性质可得，再证明得到，进而可证明是等边三角形，则； （2）如图所示，延长到H，使得，连接，证明，得到，则，由线段垂直平分线的性质得到，则；由平行线的性质得到，则，再由，推出，即可证明，得到，即可证明； （3）如图所示，过点M作且，连接，先求出，则，证明，得到，则，由此得到，进而推出，即，则点H在以为直径的圆上运动，取中点O，连接，故当三点共线且点H在上时，有最小值，最小值为，在中，由勾股定理得，则的最小值为． 【小问1详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作且，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴点H在以为直径的圆上运动， 取中点O，连接，则， ∵， ∴当三点共线且点H在上时，有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，一点到圆上一点的最值问题，圆周角定理等等，解题的关键在于发现点H的运动轨迹是圆． 25. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，进而得到点的坐标，进而求出点的坐标，转化为二次函数求最值即可； （3）分别求出直线与新图象相切时，以及直线过点时的值，利用平移的思想即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点的横坐标为， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为； 【小问3详解】 ∵翻折， ∴轴下方的抛物线的解析式为：， 当与只有一个交点时，此时与新图象只有一个交点， 联立，整理，得：， ∴， ∴， ∴，解得：， 所以与的交点在点的左侧， 将直线向下平移直至经过点之前时，与新图象有2个交点， 当过点时， 即：， ∴， 联立 ，解得：（舍去）或， ∴当过点时，直线与新图象仍有2个交点， 将直线继续向下平移直至直线与只有一个交点时， 联立，整理，得：， ∴，解得：， ∴，解得：， 交点位于点的右侧上方部分， ∴此时直线与新图象仍有2个交点 继续往下平移，与新图象有2个交点， ∴综上：当时，直线与新图象有且只有两个交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数求最值，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年四川省南充市名校卓越人才强基活动九年级数学试卷 （时间：90分钟 总分：150分） 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则与的关系是（ ） A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 3. 如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（ ） A. 5分钟 B. 9分钟 C. 分钟 D. 分钟 5. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知：a、b是正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：①；②；③图中有8个等腰三角形；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则＝______． 12. 如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 13. 已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____． 14. 如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______． 15. 若关于x 的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是______． 16. 在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中的值是的根． 18. 在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率； （2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 19. 已知△ABC中CB=AC=6，∠ACB=120°． （1）如图1，D为AB的中点，∠MDN=60°交CA，CB于M，N，求CM+CN的值． （2）如图2，如D在AB的下方，且∠ADB=120°，求证：CD=CB． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 21. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 22. 如图，在中，，的平分线交于点E，点D在上，且以为直径的经过点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． （1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？ （2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ （3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 24. 如图，在中，，点是边上一点，连接． （1）如图1，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，线段的垂直平分线交于点，点为线段的中点，连接，，，，求证：； （3）如图3，，，过点作，交于点，点是直线上一动点，点是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 25. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $