2024年四川省南充市名校卓越人才强基活动九年级数学试卷

2024年四川省南充市名校卓越人才强基活动九年级数学试卷 （时间：90分钟 总分：150分） 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则与的关系是（ ） A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 3. 如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（ ） A. 5分钟 B. 9分钟 C. 分钟 D. 分钟 5. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知：a、b是正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：①；②；③图中有8个等腰三角形；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，，则＝______． 12. 如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 13. 已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____． 14. 如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______． 15. 若关于x 的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是______． 16. 在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中的值是的根． 18. 在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率； （2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 19. 已知△ABC中CB=AC=6，∠ACB=120°． （1）如图1，D为AB的中点，∠MDN=60°交CA，CB于M，N，求CM+CN的值． （2）如图2，如D在AB的下方，且∠ADB=120°，求证：CD=CB． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 21. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 22. 如图，在中，，的平分线交于点E，点D在上，且以为直径的经过点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． （1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？ （2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ （3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 24. 如图，在中，，点是边上一点，连接． （1）如图1，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，线段的垂直平分线交于点，点为线段的中点，连接，，，，求证：； （3）如图3，，，过点作，交于点，点是直线上一动点，点是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 25. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 2024年四川省南充市名校卓越人才强基活动九年级数学试卷 （时间：90分钟 总分：150分） 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】108 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】0 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共9小题，共86分） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】（1）；（2） 【19题答案】 【答案】(1) 3， （2）证明：作三角形ADB的外接圆，设圆心为O，连结OA，OB， 由已知CA=CB，∠ACB=120º， 过C作直线CH⊥AB于H， ∴AH=BH， 圆心O在CH上， ∵∠ADB=120°， ∴的度数为240º， ∴的度数为：360º-240º=120º， ∴∠AOB=120º， ∵∠ACB=120º， ∴O与C重合， ∴CA=CD=CB， 【20题答案】 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ∵ ∴此方程总有两个实数根； （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）；80元； 6000元 （3） 【22题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）3 【23题答案】 【答案】（1）每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元 （2）B型玩具的销售单价为13元 （3）4 【24题答案】 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【25题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $