精品解析：2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学试卷 考试总分：150 分 考试时间： 100 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 一、单选题（本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 1. 我们常用的数是十进制数，我们现在大部分计算机程序使用的是二进制数（只有数字0和1），它们两者之间可以相互换算，如将（00000101）2和（00001011）2换算为十进制数应为： ； ．（其中，） 按此方式，将二进制数换算成十进制数和将十进制数18换算成为二进制数的结果分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二进制换算成十进制，解题的关键是理解题意，运用有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 2. 已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 3. 设，则的整数部分等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于， 由此可以得到， 然后即可求出的整数部分． 【详解】解：当，3，…，2011， 因为， 所以， ， …， ， ． 于是有， 故的整数部分等于4． 故选：A． 4. 满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据一元二次不等式的范围是，可得方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵一元二次不等式的范围是， ∴一元二次方程的解为，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 5. 如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心重合，若，则的大小是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内心的性质、三角形内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据三角形内心的性质得出，，再由折叠的性质可得，结合求解即可． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，， ∵， ∴， 由折叠过程知， ∴， ， ， ， 又， ∴， ， ， ． 故选D． 6. 一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（ ）种栽种方案． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图，掌握分类讨论思想以及正确画出树状图是解题的关键． 根据，所种的种数相同和不同来分类，然后分别根据题意画出树状图，然后统计即可解答． 【详解】解：设4种不同的植物分别为甲、乙、丙、丁， 当，种同一种植物，根据题意画树状图如下： 共有36种栽种方案； 当，种不同的植物， 则有48种栽种方案． 综上，共有种． 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为（ ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，过点E作EF⊥BC于F，先证明△ACD∽△EDF，继而证明A，B，E，C四点共圆，设AB的中点为O，连接OE，当OE⊥BC时，EF有最大值，如图2中先求出AB长，继而求出EF与AC长即可求得答案. 【详解】如图1，过点E作EF⊥BC于F， ∵∠C=90°， ∴AC∥EF， ∴△ACD∽△EDF， ∴， ∵AE⊥BE， ∴A，B，E，C四点共圆， 设AB的中点为O，连接OE， 当OE⊥BC时，EF有最大值， 如图2， ∵OE⊥BC，EF⊥BC， ∴EF，OE重合， ∵AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∴OE=5， ∵OE⊥BC， ∴BF=BC=4， ∴OF=3， ∴EF=2， ∴， ∴的最大值为， 故选B. 【点睛】本题考查了圆的综合题，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. . 8. 点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的图形并结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影=S△ADC+S△BCE，继而可得出答案． 【详解】根据题意，知D、C、E三点共线， 点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点， ∴对的圆心角为=60°， ∴∠ABC=30°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC= AB=1，BC=AB•COS30°=， BE=BC• COS30°=，CE=DC=，AD=， 且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠． 从而，S阴影=S梯形ABED+S△ABC﹣， =S△ADC+S△BCE， =+ = 故选B． 【点睛】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解． 二、多选题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 9. 若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（        ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法及勾股定理的应用；先求方程的两根，再根据直角三角形斜边为最长边，分类讨论即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得，； Rt△ABC的两边长分别为4和6； 由于斜边必为最长边．且需满足勾股定理： 若斜边为6．则4为直角边，另一条直角边为，斜边长为6（对应选项A）； 若4和6为两直角边，则斜边为（对应选项C）； 4不可能是斜边； 故选AC． 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用矩形性质和角平分线得出等腰直角三角形，通过全等三角形证明得到边与角的关系，再结合角度计算和全等三角形判定，对各结论逐一分析推导． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，平分，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故项正确； ∵，（对顶角相等）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴ ∴， 在和中， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴ 故正确； 故选∶ACD． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11. 关于的一元二次方程，下列说法正确的有（ ） A. 此方程总有两个不相等实数根 B. 此方程必有一根是2 C. 当为整数时，方程两根均是整数 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，以及一元二次方程根的定义，因式分解解一元二次方程；对于方程，分析各选项：计算判别式，当时，方程有相等实根，故A错误；代入验证，方程恒成立，故B正确；方程可分解为，当为整数时，根和均为整数，故C正确；当时，方程化简为，两根均为2，故D正确． 【详解】解：A、判别式，当时，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； B、代入，得，等式成立，说明是方程的根，故本选项符合题意； C、通过因式分解得，则，，当为整数时，两根均为整数，故本选项符合题意； D、代入，方程变为，解得，故本选项符合题意； 综上，正确选项为BCD． 故选：BCD． 12. 如图，为圆心，为圆周上一定点．半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，则下列说法正确的是（ ） A. 若，均按顺时针方向旋转，则当秒时， B. 若，均按逆时针方向旋转，则当秒时，，第一次重合 C. 若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，必然重合 D. 若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大 【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题考查了钟面角的运算以及一元一次方程与几何的应用，根据以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，得出结合每个选项的旋转方向和的值进行列式计算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒 ∴ A、当秒时，则 则，故该选项是正确的； B、∵，均按逆时针方向旋转， 则当，第一次重合时， 则秒，故该选项是正确的； C、∵按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转， ∴， ∵，重合， ∴（为正整数）， 则当秒（为正整数）时，，必然重合，故该选项是正确的， D、∵按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，，两点之间的距离最大 ∴（为正整数）， ∵， ∴， ∴（为正整数）， 则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大，故该选项是正确的； 故选：ABCD 三、填空题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式得，，然后计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 14. 已知互不相等的实数，，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含字母系数的一元二次方程解法，由，则，代入，得：，得到，由，可得，整体代入求出，再进行验证即可． 【详解】解：由， 则， 代入，得：， 整理得：① 又由，可得②， 把②代入①式得， 即， 又∵， ∴， ∴． 验证可知：，时，；，时，， ∴． 故答案为：． 15. 已知，则的取值范围是___． 【答案】大于等于6 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知得，代入，即可求出，的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ 的取值范围是：大于等于． 故答案为：大于等于． 16. 如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值． 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作 过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆， 点在上运动 ，的半径为 ∴ 又∵， ∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形， 是圆心， 设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆动点的最值问题。熟练运用四点共圆性质以及勾股定理解直角三角形是解决本题的关键． 四、解答题（本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 17. 已知，，，求的值． 【答案】520 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 把转化为求解即可． 【详解】解： ． 18. （牛吃草问题）有三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷．第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周：第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周? 【答案】40头 【解析】 【分析】先把条件统一转化为以公顷为单位，通过计算不同牧场单位面积的总草量、新长草量和原有草量，进而求出第三块牧场维持周所需牛的数量．本题主要考查牛吃草问题中单位面积草量的转化与计算，熟练掌握将不同面积牧场条件统一为单位面积（公顷），并通过计算单位面积原有草量、每周新长草量来求解牛数是解题的关键． 【详解】解：设头牛周吃份草． 第一块牧场公顷总草量：（份） 第二块牧场公顷总草量：（份） 公顷每周新长草量：（份） 公顷原有草量：（份） ∴公顷原有草量：（份） 计算公顷周新长草量： 份， 牛数 = （头） 19. 某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【答案】 解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【详解】略 20. 我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　． （2）用“转化”的思想求方程＝x的解． （3）试直接写出的解　 　． 【答案】（1）1,-2；（2）3；（3），． 【解析】 【分析】（1）根据题意对方程 进行因式分解即可求出 的值. （2）先把等号左右两边同时平方，去掉根号，然后进行因式分解即可. （3）将 用平方差公式拆成 与组成两个二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0 ∴x（x2+x﹣2）＝0， ∴x（x﹣1）（x+2）＝0 则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0 解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2， 故答案为1，-2； （2）∵＝x， ∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0 则x+1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3． （3）∵， ∴或， 解得，． 故答案为，． 【点睛】本题重点考查了因式分解法解方程及方程组，读懂并理解题意，并能灵活应用是解题的关键. 21. 如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ °； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 【答案】（1）45 （2）①是定值，；② （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接，先证明，再由相似三角形的性质可得结论；②过点E作，先证明点三点共线，可得，再由等腰三角形性质可得，再证是等腰直角三角形，设，则，可列出方程，再求解即可； （3）过点H作，延长交于点N，设，先证明，可得，即可求得，，由，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 四边形是正方形， ， ，绕点B顺时针旋转交边于点F， ，， ， 四点共圆， ， 故答案为：45； 【小问2详解】 ①的比值是定值， 如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点E作， ， ， ， ， 由（1）得，且， 点三点共线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 解得：， ； 【小问3详解】 如图，过点H作，延长交于点N， 设， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形结合问题、全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理，添加辅助线，用二次函数解决最值问题是解决问题的关键． 22. 在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1）|x﹣3|＝4 解：由绝对值的几何意义知： 在数轴上x表示的点到3的距离等于4 ∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1 （2）|x+2|＝5 解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7 材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值． 由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值． ∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为　 　； （2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值． （3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5；（2）﹣7或8；（3）当x＝，最小值为；当x＝时，最小值为 【解析】 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：x=-3-1=-4或x=10+1=11，当y=3时，|y-3|+|y+2|+|y-5|有最小值7； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当x=时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=；当n是偶数时，中间的两个点相同为，所以当x=时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=1+3+5+…+（n-3）+（n-1）=． 【详解】解：（1）由阅读材料可得：：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5， 故答案为5； （2）|x+3|+|x﹣10|的最小值为13， ∵|x+3|+|x﹣10|＝15， ∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11， ∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小， ∴当y＝3时，有最小值7， ∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8； （3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， ∴当x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝， ∴最小值为； 当n是偶数时，中间的两个点相同为， ∴当x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝， ∴最小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 23. 阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： （1）图1中的面积为______； （2）图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； （3）如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； （4）请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： （5）已知，计算的最小值为______； （6）代数式的最小值为______． 【答案】（1） （2） ①如图所示，为所求： ②8 （3）①相等；②32 （4）94 （5）13 （6）17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，正确理解勾股定理的几何意义并构造图形是解题的关键． （1）利用差补法，将的面积转化为矩形和直角三角形的面积差； （2）①根据勾股定理的几何意义构造图形即可；②根据长方形面积公式以及直角三角形面积公式计算即可； （3）①过点作于，过点作于，根据三角形全等得出，再根据正方形的性质得出，最后根据三角形面积公式证明即可；②过作于，根据勾股定理求出的高，再根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （4）根据（3）的结论可以得出四个三角形面积相等，再根据勾股定理求出的高，进而根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （5）根据勾股定理的几何意义，构造三角形，利用三级形三边关系求得最小值即可； （6）类比（5）的结论直接求解最小值． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解：①，，， ，， ； ② 故答案为：； 【小问3详解】 解：①相等，理由如下： 过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，， 两式相减可得：， ， 六边形的面积为 故答案为：32； 【小问4详解】 解：由（3）可知，， 过点作于，如图： 正方形面积为9， ， ， ，， ，， ； 故答案为：94； 【小问5详解】 解：构图如下： 其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：13； 【小问6详解】 解：由（5）可得： 故答案为：17． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 考试总分：150 分 考试时间： 100 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 一、单选题（本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 1. 我们常用的数是十进制数，我们现在大部分计算机程序使用的是二进制数（只有数字0和1），它们两者之间可以相互换算，如将（00000101）2和（00001011）2换算为十进制数应为： ； ．（其中，） 按此方式，将二进制数换算成十进制数和将十进制数18换算成为二进制数的结果分别为（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（    ） A. B. C. D. 3. 设，则的整数部分等于（ ） A. B. C. D. 4. 满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A. B. C. D. 5. 如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心重合，若，则的大小是（    ） A. B. C. D. 6. 一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（ ）种栽种方案． A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为（ ) A. B. C. D. 8. 点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 9. 若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（        ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 11. 关于的一元二次方程，下列说法正确的有（ ） A. 此方程总有两个不相等实数根 B. 此方程必有一根是2 C. 当为整数时，方程两根均是整数 D. 当时， 12. 如图，为圆心，为圆周上一定点．半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，则下列说法正确的是（ ） A. 若，均按顺时针方向旋转，则当秒时， B. 若，均按逆时针方向旋转，则当秒时，，第一次重合 C. 若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，必然重合 D. 若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大 三、填空题（本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13. _____． 14. 已知互不相等的实数，，满足，则__________． 15. 已知，则的取值范围是___． 16. 如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是______． 四、解答题（本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 17. 已知，，，求的值． 18. （牛吃草问题）有三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷．第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周：第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周? 19. 某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 20. 我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　． （2）用“转化”的思想求方程＝x的解． （3）试直接写出的解　 　． 21. 如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ °； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 22. 在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1）|x﹣3|＝4 解：由绝对值的几何意义知： 在数轴上x表示的点到3的距离等于4 ∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1 （2）|x+2|＝5 解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7 材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值． 由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值． ∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为　 　； （2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值． （3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 23. 阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： （1）图1中的面积为______； （2）图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； （3）如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； （4）请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： （5）已知，计算的最小值为______； （6）代数式的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $