精品解析：四川巴中市平昌县2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025--2026学年八年级上学期期末考试数学试卷 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、单选题（每小题4分，共计40分） 1. 在下列实数中：（相邻两个1之间0个数逐次加1），无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 直角三角形两锐角互补 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 若，则 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 4. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ） A. 了解巴中市七年级学生的视力 B. 神舟二十号发射前火箭零部件检查 C. 巴中某校学生对学校食堂满意度调查 D. 某农场小麦种子单穗颗粒数调查 5. 以下不能构成直角三角形是（ ） A. B. C. D. 6. 下列不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，添加下列条件，不能判定是（ ） A. B. C. D. 8. 要使的结果中不含项，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 9. 小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：巴，爱，我，红，色，中．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱巴中 B. 我爱巴中 C. 我爱红 D. 红色巴中 10. 如图，中，过点作于点，过点作于点，连接MD，过点作，交于点N，与交于点，若．下列结论：①；②；③；④点E到边的距离等于点到边的距离． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. “线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题是___________． 12. 已知，则的值为___________． 13. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，且腰长为4，则等腰的底边上的中线的长度为___________． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点，；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点．若的面积为，，则的长为___________． 15. 我们知道展开后等于，也可以利用乘法法则将展开．如果将（为非负整数）的每一项按字母的指数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 以上就是我国宋朝数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提到过的、摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把它叫做杨辉三角或贾宪三角．请根据上表规律写出：___________． 三、解答题（共95分） 16. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 17. 已知：的平方根是它本身，的立方根是的算术平方根是3．求： （1）的平方根． （2）c在数轴上的位置如图所示，化简： 18. 为激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分120分），其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查一共随机抽取了___________名学生的成绩；并补全学生成绩条形统计图； （2）若将竞赛成绩在100分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为___________； （3）该校要对成绩为的学生进行奖励，请你估计该校1800名学生中获得奖励的学生人数． 19. 如图，在四边形中，，，，为上一点，连接交于点，且， （1）连接，求证：直线是线段的垂直平分线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的长． 20. 如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2．请你直接写出下列三个式子：之间的关系___________； （2）若x、y均为实数，且，求值 （3）如图3，分别表示两个正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若图中两个正方形的周长之和为，求的值． 21. 物理课上，老师带着学生做如下实验：将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求的长； （2）如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：． ∴当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 阅读材料，解决以下问题： 【理解探究】 （1）已知代数式，则的最小值为___________； 【类比应用】 （2）花花和红红家分别租了甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是7a米、米，试比较这两块菜地的面积的大小，并说明理由； 【拓展升华】 （3）若实数和满足，则的最大值为___________． 23. 【问题情境】 在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片与进行摆放，使直角顶点重合．如图1，已知，与交于点，与交于点，与交于点，连接并延长，交于点．是否垂直于线段？ 【特例研究】 （1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点上，点在上，此时点与点重合，点与点重合，同学们发现此时可以先证，再证，进而说明，请你写出推理过程． 【一般探究】 （2）善思小组受到启发，可以先证，再利用勤学小组的方法说明，请说明理由． 【变式探究】 （3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且与始终有重合部分，若，当是等腰三角形时，求出的度数（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年八年级上学期期末考试数学试卷 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、单选题（每小题4分，共计40分） 1. 在下列实数中：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，无理数是无限不循环小数.逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数； ∵中含有无理数，故为无理数； ∵是无理数； ∵，是分数，属于有理数； ∵0是整数，属于有理数； ∵是无限不循环小数，故为无理数. ∴无理数有、、，共3个. 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 直角三角形两锐角互补 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 若，则 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，A错误，因直角三角形两锐角互余非互补；B错误，周长相等的等腰三角形不一定全等；C错误，立方根和为零时a和b不一定都为零；D正确，符合角平分线性质. 【详解】解：∵直角三角形两锐角之和为，非， ∴A是假命题，不符合题意； ∵周长相等的等腰三角形可能边长组合不同，如边长为5，5，6和6，6，4的三角形周长均为16但不全等， ∴B是假命题，不符合题意； ∵取，，则，但，， ∴C是假命题，不符合题意； ∵角平分线上的点到角两边距离相等是基本定理， ∴D是真命题，符合题意． 故选：D． 4. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ） A. 了解巴中市七年级学生的视力 B. 神舟二十号发射前火箭零部件检查 C. 巴中某校学生对学校食堂满意度调查 D. 某农场小麦种子单穗颗粒数调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、了解巴中市七年级学生的视力，总体数量太大，不适合普查，适合用抽样调查，故A不符合题意； B、神舟二十号发射前火箭零部件检查，适合用普查，故B符合题意； C、巴中某校学生对学校食堂满意度调查，适合用抽样调查，故C不符合题意； D、某农场小麦种子单穗颗粒数调查，适合用抽样调查，故D不符合题意； 故选：B． 5. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形定理，选项A通过勾股定理逆定理验证满足直角三角形条件；选项B通过角度关系推导出；选项C通过角度比例计算无角；选项D通过勾股定理逆定理验证满足直角三角形条件. 【详解】解：A：∵，且b为最大边， ∴，， ∴，故A能构成直角三角形； B、∵，且三角形内角和为， ∴，代入得， ∴，，故B能构成直角三角形； C、设，则， ∴，，，，无角，故C不能构成直角三角形； D、设，且a为最大边， ∴，， ∴，满足勾股定理的逆定理，故D能构成直角三角形； 综上，不能构成直角三角形的是C． 故选：C． 6. 下列不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为，根据平方差公式的特点逐一判断即可：两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A：中，相同项为，相反项为和，能用平方差公式，不符合题意； B、中，相同项为，相反项为和，能用平方差公式，不符合题意； C、中，相同项为，相反项为和，能用平方差公式，不符合题意； D、，两项完全相同，均为，无相反项，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 7. 如图，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据无法判断，故选项A符合题意； B、添加，符合，能判断，故选项B不符合题意； C、∵，∴，即，所以添加，根据可判断，故选项C不符合题意； D、添加，符合，能判断，故选项D不符合题意； 故选：A． 8. 要使的结果中不含项，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含项得到含项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含项， ∴， ∴， 故选：A． 9. 小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：巴，爱，我，红，色，中．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A 爱巴中 B. 我爱巴中 C. 我爱红 D. 红色巴中 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先对表达式进行因式分解，得到因式后对照密码手册找出对应的字，再匹配选项即可． 【详解】解： ， 根据密码手册：我，中，巴，爱， ∴密码信息包含“我、爱、巴、中”． 故选：B． 10. 如图，中，过点作于点，过点作于点，连接MD，过点作，交于点N，与交于点，若．下列结论：①；②；③；④点E到边的距离等于点到边的距离． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论，解题的关键是根据题意证明三角形全等，根据性质证明结论． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故无法确定，故③错误； ∵， ∴， 由①②知，， ∴， ∴点E到边的距离等于点到边的距离（全等三角形对应边上的高相等）故④正确； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. “线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题是___________． 【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查逆命题，逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的．原命题的条件是“点在线段的垂直平分线上”，结论是“点到线段两端点的距离相等”，因此逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的条件是“点在线段的垂直平分线上”，结论是“点到线段两端点的距离相等”．交换条件和结论，得到逆命题“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 12. 已知，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则得到的值，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，且腰长为4，则等腰的底边上的中线的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，构成三角形的条件，根据“倍长三角形”的定义可分成两种情况：腰长是底边长的2倍和底边长是腰长的2倍，根据构成三角形的条件可验证只有腰长是底边长的2倍符合题意，再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在等腰中，，过点A作于点D， 当腰长是底边长的2倍时，则底边长为2，此时该等腰三角形的三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形， ∵， ∴， ∴，即等腰的底边上的中线的长度为； 当底边长是腰长的2倍时，则底边长为8，此时该等腰三角形的三边长分别为4，4，8， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，等腰的底边上的中线的长度为； 故答案为：． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点，；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点．若的面积为，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解答的关键．根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图∶ 过F作于H， 由作图过程可得：是的平分线， 又∵，， ∴， ∵，，的面积为21， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 我们知道展开后等于，也可以利用乘法法则将展开．如果将（为非负整数）的每一项按字母的指数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 以上就是我国宋朝数学家杨辉的著作《详解九章算法》中提到过的、摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把它叫做杨辉三角或贾宪三角．请根据上表规律写出：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得杨辉三角中，从第三行起，第n行的第2个数（从左边起，下面一样）等于第行的第1个数加上第行的第2个数，第n行的倒数第2个数等于第行的倒数第1个数加上第行的倒数第2个数，从第四行起，第n行的第3个数等于第行的第2个数加上第行的第3个数，第n行的倒数第3个数等于第行的倒数第2个数加上第行的倒数第3个数，据此规律得到的展开式，进而得到的展开式，再把代入的展开式中即可得到答案． 【详解】解：由题意得，杨辉三角中，从第三行起，第n行的第2个数（从左边起，下面一样）等于第行的第1个数加上第行的第2个数， 第n行的倒数第2个数（从左边起，下面一样）等于第行的倒数第1个数加上第行的倒数第2个数， 从第四行起，第n行的第3个数等于第行的第2个数加上第行的第3个数，第n行的倒数第3个数等于第行的倒数第2个数加上第行的倒数第3个数， ∴ ， ∴ ， 在中，当时， 则 故答案为：． 三、解答题（共95分） 16. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，多项式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先逐项化简，再算加减即可； （2）利用多项式除以单项式，多项式乘以多项式等计算即可得到结果； （3）先根据整式的运算法则化简，再根据根式有意义得到，代入计算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ， ，即， ， 当时，， ∴原式． 17. 已知：的平方根是它本身，的立方根是的算术平方根是3．求： （1）的平方根． （2）c在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，整式的加减运算，实数与数轴等知识点． （1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义求解，再代入求值即可； （2）先由数轴可得，则，再根据算术平方根、立方根定义化简求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ∴其平方根为； 【小问2详解】 解：由数轴可知 ∵ ∴ 原式 由（1）知， ∴原式 18. 为激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分120分），其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查一共随机抽取了___________名学生的成绩；并补全学生成绩条形统计图； （2）若将竞赛成绩在100分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为___________； （3）该校要对成绩为的学生进行奖励，请你估计该校1800名学生中获得奖励的学生人数． 【答案】（1）300，作图见解析 （2） （3）90人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用C组人数除以C组占比求出抽取总人数，用总人数减去A、B、C、E组人数可得D组人数，进而补全学生成绩条形统计图； （2）用样本中优秀人数所占百分比乘得出优秀学生所在扇形对应圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本中成绩为的学生所占比即可． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的人数为（名）。 D组人数为人， 补全条形统计图如下： 故答案为：300； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计获奖人数（人） 答：估计该校1800名学生中获得奖励的学生人数为90人． 19. 如图，在四边形中，，，，为上一点，连接交于点，且， （1）连接，求证：直线是线段的垂直平分线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）证明点和点在线段的垂直平分线上即可求证； （）证明是等边三角形，得，进而由平行线的性质得，即得，即可求证； （）由等边三角形的性质得，进而由平行线的性质得，得到，即得到，再根据等边三角形的性质即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，， ∴点在的垂直平分线上， ， ， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：， 是等边三角形， ， ∵， ， ∴， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：由（）和（）知是等边三角形，且， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， 和是等边三角形， ∴，， ∴． 20. 如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2．请你直接写出下列三个式子：之间的关系___________； （2）若x、y均为实数，且，求的值 （3）如图3，分别表示两个正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若图中两个正方形的周长之和为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）40 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式的运用与转化，解题的关键在于灵活运用求解． （1）根据图2可知大正方形面积=四个矩形的面积+中间小正方形的面积，从而可得到关系式． （2）先求出的值，再利用第（1）问中的关系式，求解即可． （3）设小正方形边长为，大正方形边长为．得，根据图中两个正方形的周长之和为列式解答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，大正方形面积=四个矩形的面积+中间小正方形的面积， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ； 【小问3详解】 解：设小正方形边长为，大正方形边长为． 由题意得， ， ． 21. 物理课上，老师带着学生做如下实验：将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求的长； （2）如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）的长为； （2）滑块B向左滑动的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：如图2，，，， 故， 由物体C升高，则， 则， 则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：滑块B向左滑动的距离为． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：． ∴当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 阅读材料，解决以下问题： 【理解探究】 （1）已知代数式，则的最小值为___________； 【类比应用】 （2）花花和红红家分别租了甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是7a米、米，试比较这两块菜地的面积的大小，并说明理由； 【拓展升华】 （3）若实数和满足，则的最大值为___________． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）10； 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中用含的代数式表示，代入得到关于的二次表达式，再配方求最大值． 【详解】解：（1）当时，最小值； （2）， ， ∴； （3）， ∴， ∴， ∴当时，最大值为10. 23. 【问题情境】 在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片与进行摆放，使直角顶点重合．如图1，已知，与交于点，与交于点，与交于点，连接并延长，交于点．是否垂直于线段？ 【特例研究】 （1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点在上，点在上，此时点与点重合，点与点重合，同学们发现此时可以先证，再证，进而说明，请你写出推理过程． 【一般探究】 （2）善思小组受到启发，可以先证，再利用勤学小组的方法说明，请说明理由． 变式探究】 （3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且与始终有重合部分，若，当是等腰三角形时，求出的度数（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明，再证明，然后由等腰三角形的三线合一说理即可； （2）先证明，再证明，然后证明，然后由等腰三角形的三和合一说理即可； （3）分三种情况讨论，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． 又∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴； （3）分三种情况讨论： ①当时　，， ∴， ∵， ∴不符合题意； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴ 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $