2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷

高三数学 痛 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 当 解 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 长 上作答；字休工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A二{1,2,3,4}，若AU(1}=(1,2,3},则集合A的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2若复数=2-i,则2名- 帅 A.√10 B.5 C. 2 唔 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,y)在抛物线C上，若|PF1=3,则|y|= A.2 B.2√2 C.4 D.42 4.设m,n∈N·,则“数列{an}为等比数列”是“am+n=am·an”的 妆 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 毁 5.若函数f(x)=log2(x2一ax)在[1，十∞)上单调递增，则实数a的取值范图为 出 A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(-∞，2] D.[2,+∞) 6.设a=logs2,b=sinl,c=sin2,则 A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<6 【高三数学第1页（共4页）】 HB 7.已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为 A9戏 B.③x C,26x 3 3 3 D.gs 8,若e+m=ln(-n十1=0，则mn= n A是 B.1 C.2 D.e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(4,3),b=(2cos8,2sin8),则 A.|b|=2 B.当a∥b时，tan0=号 C.当alb时，sin0=号 D.|a-bl的最大值为7 10.已知(x+1)(2x+1)9=a。+a1(x+1)+…+a0(x十1)1°，则 A.a1=-1 B.a0十a1+…十a1o=1 C.a+a2+a4+a6+ag+ao=39+1 D.a1+2a2+3a3…+10a1o=19 11.已知曲线C:2x2一xy+y2=1,点A、B是曲线C与x轴的两个交点，点P(xo,yo)为曲线C 上的动点，O为坐标原点，则 A.IAB|=√2 B.△PAB面积的最大值为吗 c-29≤<29 D.6-2E≤10P<6+2E 7 7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,设事件A,B相互独立，P(A)=号，P(B)=号，则P(百+B)= 13.记函数f(x)=sin(wz+p)(知>0,0≤9≤登)的最小正周期为T,且x<T≤号， f(z)≤f(号)，则f(x)在(g,)上的值域为 14.德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特 殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意△ABC的内部必存在点P,使得∠PAB= ∠PBC=∠PCA=a(或∠PAC=∠PBA=∠PCB=),则P称为△ABC的布洛卡点，a(或 )称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为 正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点M为△ABC的一个布洛卡 点，且∠MAC≠∠MBA.则∠AMB+∠ABC=;当MA=2MB,且AC=2时， △ABC的面积的最大值为 .(注：第一空2分，第二空3分) 【高三数学第2页（共4页）】 HB 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y(g/L)与代谢时间 x(h)的相关数据，如下表所示： x y 58 42 30 12 8 (1)若两组变量间的相关系数r满足0.8≤r<1,则称其为高度相关，试判断血液中药物浓 度与代谢时间是否高度相关，并说明理由( 1 ≈0.0076，结果保留3位小数)： /17360 (2)建立y关于x的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度. 参考数据：2(-)1=10，含0-2=1736,2x0=470, 2(x1-z)(1-) 参考公式：相关系数r= 含o一西 ，经验回归 √2(x-22-52√2(x-22-列 方程)a十5正中斜率和裁距最小三乘估计公式分别为.5二宫一) ,a=y一a, 2红-2 16.(本小题满分15分) 记S.为正项数列(an}的前n项和，a1=1,2Sn=aam+1, (1)证明：{an)是等差数列； (2)定义数列(bm):bm表示满足3m<an<3m+1(m∈N·)的整数n的个数，求数列(anbn)的前 n项Tm 【高三数学第3页（共4页）】 HB 17.(本小题满分15分) 如图，在三梭锥P-ABC中，△ABC是边长为2V3的等边三角形，PB=PC=3,PB⊥AB, PC⊥AC. (1)求P到平面ABC的距离： 年 (2)求平面PBC与平面PAB夹角的余弦值. 帐 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系z0y中，已知等轴双曲线C:若-为=1（®>0,6>0）的左右焦点分别为 加 BB,过点B的直线与直线y=名x交于点A,且IAP=b,1AR引=5。 (1)求双曲线C的方程； (2)设点D、E分别为双曲线C的左、右顶点，若点M在直线x=- 上运动，且直线MD,ME 擗 与双曲线C分别交于P、Q(不与D、E重合)两点. ()证明：直线PQ恒过定点； (ii)是否存在点M,使得△MDE与△MPQ的面积相等. 女 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe一a(e一x)(a∈R). 斗 (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x,求f(x)的极小值； (2)讨论关于x的方程f(x)=x2e的实数解的个数； (3)若某函数在区间[m,上的值城恰为[升，六]，则称[m,用为该函数的“久级转置区间” 谢 已知函数g(z)=八(x>0),当a=0时，判断g(x)是否存在“级转置区间”.若存在， 求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 些 【高三数学第4页（共4页）】 HB高三数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B D A C 题号 7 8 9 10 11 答案 A B AD ABD ACD 1.B【解析】易知A={2,3}或A=(1,2,3}.故选B. 2.C【解折1由题意得，马名=-3艺，所以，四放速C 3.B【解析】根据抛物线的定义，P℉=1十号=3，所以p=4,有=8x,代入x=1,可得=2瓦.故选B. 4.D【解析】设an=2-1,则am+n=2m+1≠anan=2m+n-2,充分性不成立；设a.=0,则{an}不是等比数列，必 要性不成立.故选D. 5.A【解析】当a≤0时，f(x)的单调递减区间为（一∞，a),单调递增区间为(0，十∞），可得f(x)在[1，十∞) 上单调递增；当a>0时，f(x)的单调递减区间为（一c∞，0），单调递增区间为(a,+∞).若f(x)在[1，十c∞)上 单调递增，有0<a<l.由上知a<1.故选A. 6.C【解标】易知b=sinl>sin冬-号>号>1bg,26=sin2=sn(x-2)>sinl,所以a<Kc.故选C 7.A【解析】不妨设圆锥的高为五，母线长为1，则=2十1，根据等面积法，该圆锥内切球的半径为 合×2Xh 1 h 221+2) 千，所以该圆锥的体积与其内切球体积之比为 X1Xh ×少=}× h2 -1 =×生=号解得1=2或1=5，所以A=5或A=36,所以该圆维的体积为或2三，放选A 1-1 8.B【解析】易知e十m=0,且1n(-m)+=0,由1n(-)+=0,得7=-h(-m)=ln(-升），所以 c=-,即c2+是=0，因为函数f()=。十x单调递增，所以f(m)=f(只）=0，所以m-,即 mn=1.故选B. 9.AD【解析】对于A选项，因为b=(2cos0,2sin0),所以|b|=√4cos20+4sin0=2,A选项正确； 对于B选项，当a,/b时，满足8sin0-6co0=0,即tan0=子，B选项错误； 对于C选项，当aLb时，8cos0叶6sin0=0,解得1an0=-号，可得sin0=士号，C选项错误； 对于D选项，la一b≤|a+|-b1=5十2=7，故a-b的最大值为7，D选项正确.故选AD. 10.ABD【解析】对于A选项，(x+1)(2x十1)9=(x+1)[2(x十1)-1]°，所以a1=C号(-1)9=一1，A选项 正确； 对于B选项，令x=0,可得a。十a1十…十a10=1,B选项正确； 对于C选项，令x=一2，可得a一a1十a2…十a1o=3°，与B选项分析中的式子相加，可得2(a十a2十a4十 么+a十an)=+1,所以a十a:十a:十a十a十aw-3,c选项错误； 对于D选项，设f(x)=(x+1)(2x+1)9=a+a1(x+1)+…+a1o(x+1)1°，则f(x)=(2x十1)9+18(x十1) (2x十1)8=a1十2a2(x十1)+…十10ao(x十1)，令x=0,可得a1十2a2…十10a1o=19,D选项正确.故 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 HB 选ABD. 1ACD【解析】对于A选项，令一0，解得z=士号，所以AB1=V2,A选项正确： 对于B选项，因为22-y十=2（红名）广+装=1.所以1-7誉≥0，解得一2≤<2平，所以 7 7 △PAB面积的最大值为2，B选项错误， 对于选项，2x-y+-(音)广+牙-1，所以1-学≥0，解得-29<红<29，C选项正确， 对于D选项，不坊设P(oos0,rsin0),则2rcos0-sino0+户sinr0=1,即r=2cos9-sinco0叶sim0 1 1 eos29+-sn20+1V2os(20+） ,因为-1≤co(20+)<1,所以-22≤<6+22，D 7 2 2 2 2 选项正确.故选ACD. 12.号【解析】由于事件A,B相互独立，所以事件A,B相互独立，所以P(A+B)=P(不)+P(B)一P(AB)= 13.(合]架折】因为不T<经，且T-径所以[号，2以且)≤()儿，所以直线x=号是尚 线y=f()的一条对称轴，所以四+9=受十kx(k∈)，解得a=3k-0+号(k∈Z),且0≤≤受，所以 ∈[3,3+号]∈z0,因为w∈[受2，解得w=号此时及=0,9=0，则f)=sn号，且 3 x(音)，所以f∈（合1]： 14.π1【解析】，点M为△ABC的一个布洛卡点，且∠MAC≠∠MBA,∴.∠AMB+∠ABC=∠AMB+ ∠ABM+∠MBC=∠AMB+∠ABM+∠MAB=π，即∠AMB+∠ABC=π，故应填π（或180）；同理可知 ∠AMC+∠BAC=元，不妨记BC=a,CA=b,AB=c,∠BAM=日，在△MAB中，由正弦定理得M= sine c Sin/AMB-SiNGT-ABO-Sin/ABC-sABC①，在△MAC中，由正弦定理得MAe sina sin/AMG sin(BA sin BAC b b b b ·sn=nBAC②，由①②两式作商，可得-siA9三 bsinABC 票=名，所以=2ac=4,即ac=2,在△ABC中，由余孩定理得：=d+2-2ams乙ABC=4,又d十d≥2a,枚 2ac1-coS∠ABC)≤4,1-coS∠ABC≤1，cos∠ABC≥0，即∠ABC≤受，·△ABC的面积 S=子acsin∠ABC=sin∠ABC≤1，易知当a=G=巨时取等号，即△ABC的面积最大值为1 15.解：(1)依题意，x=4,y=30,………(1分) 2x-20(g%-0=2x-5z…y-130,… (3分) 所以r= (x,-0(- -1 -130 ≈-130×0.0076=-0.988，…(5分) √含x-0含- V10X1736 所以0.85≤r<1,即血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的，… (6分) (2)因为6= 2(x-x)(y一y 130 =13,4 2x-刀 10 (8分) 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 HB 所以a=y-名x=30-(-13)X4=82,…………(10分) 所以血液中药物浓度与代谢时间的回归方程为y=一13x十82， 所以当x=6.2h时，y心≈l.4mg/L,……… (12分) 即代谢6.2小时后，血液中药物浓度约为1.4mg/L.… (13分) 16.解：(1)因为2Sn=amam+1, 所以n≥2时，2Sm-1=a-1an,有2an=am（aw+1一aw-1），… (2分) 因为am>0,所以am十1一am-1=2,n≥2，…… (4分) 因为2a1=a1a2,所以a2=2, 所以a2m=a2+2(n-1)=2n,a2m-1=a1+2(n-1)=2n-1, 可得an=n, 则an一aw-1=1(n≥2)，即{an}是等差数列.… ……………(6分) (2)由题意知bm表示3m<an<3m+1中正整数n的个数， 因为3m<n<3m+1中有3m+1一3m一1个自然数，… (7分) 所以bn=23m-1,… (8分) 所以anbn==2n·3"-n,…… (9分) 所以T.=2(1·31+2·32+…+n·3")-(1+2+…+n), (10分) 不妨设Q.=1·31+2·32+…十n·3, 则3Qn=1·32+2·33+…+n·3+1, 两式相减可得-2Q.=31+32+32+…十3-·3+1=3二3）-n·3+1,…(13分) 1-3 所以2Q.=n·3m+1-3(1-3")=(2nm-1)·31+3 1一3 2 所以T,=2Q.-(1+2+十m)=(2m-1)·3+1-m2-n+3 2 (15分) 17.解：(1)如图，设点O为点P在底面ABC的射影，点M为线段BC中点，连接OB,OC, ,PO⊥平面ABC,ABC平面ABC, PO⊥AB,……… (1分) 又PB⊥AB,PO∩PB=P,PO,PBC平面POB,.AB⊥平面POB,…(2分) 又OBC平面POB,AB⊥OB,同理可得AC⊥OC,…………… (4分) ∠OBC=∠OCB=30°，…(5分） ∴.OM=1,又PM=√6，.PO=√5.即点P到平面ABC的距离为V5.… (6分) (2)如图，以O为坐标原点，分别以C范，OA,O市所在方向为x轴、y轴、x轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则P(0,0W5),B(√3,1,0)，C(-√5,1,0)，A(0,4,0),…(7分) PB=(W5,1,-√5)，C8=(2√3,0,0)，AB=(W5,-3,0),… (8分) 设平面PBC的一个法向量为n1=(x1,y1,之)， 则有 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 HB 令1=1，则y=√5，x1=0,n1=(0W5,1),…(10分) 设平面PAB的一个法向量为n2=(x2,y,z2), 则有 ·市=0.即8+为一54=0， m2·Ai=0'3x2-3%=0 令-1则6后-（后》 …(12分) 9V5 .cosn1,nz）= 1·n2 5 6 n·n2 (14分) 6x6 一平面PBC与平面PAB夹角的余弦值为 · (15分) 18.解：(1)设|F1F2|=2c,依题意，a=b= 点Fz(c,0)到直线bx一ay=0的距离为- b=b=AE,∴.0ALAF2,… (1分) a2+b A(,) (2分) ∴AF=√()+（台）=5，解得c=E, (3分) .a=1,b=1, .双曲线C的方程为x2一y2=1.… (4分) (2)设M(2,m,P(an),Q(x), 则直线MD,ME的方程分别为y=(z十1)，y=一2m(x-D,… (5分) 联立方程 y-婴(+D ,消去y得(9-4m2)x2-8m2x-4m2-9=0, x2-y2=1 是n-(2+）,微则P(提微 …(6分) (y=-2m(x-1) 联立方程 x2-y2=1 ,消去y得(1-4m2)x2+8m2x-4m2-1=0, .x2= 法=2m(+)=则o(-》 4m2+1 4m2+14m ………(7分) 由对称性可知，直线PQ过的定点在x轴上，设为(t,0),…(8分) :9-4m-0 12m 4m 1-4m2-0 imt (9分) 9-4m2 1-4m2 12m 4m 即4(+1m+9-924(t-1)m-t-' 所以(8t-16)m2+6t-12=0,解得t=2, 综上所述，直线PQ恒过定点(2,0) (11分) 0易知一 MDI·IME -(-1) -1 MPI·MQ (13分) 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 HB 3 若存在点M使得SAnE=SAa,则△E=1,有T S△MPQ 2 4, 即 4m2+9 1 4m2+1 2 1-4m2 2=4 (15分) 9-4m 即 6m2+ 9 2m2+2 ,即48m+72m2+27=148m-120m2+271, 3 9-4m2 1-4m ∴.48m+72m2+27=48m-120m2+27(舍)，或48m+72m2+27=-(48m4-120m2+27), .96m-48m2+54=0,.16m-8m2+9=0, ,△=82-4X16×9<0,.不存在点M,使得△MDE与△MPQ的面积相等.…(17分) 19.解：(1)f(x)=(1十2x)e2x-a(e2-1),f(0)=1,……(1分) f(0)=一a=0,解得a=0,…………(2分) fx）=xe2,f(x=(1+2x)e,令f(x)=0,解得x=- .............................. (3分) 可得f)在(-，一)上单调递减，在(-合，十∞)上单调递增所以fx)在x=一号处取得极小值。 ∴f)的极小值为f(-)=一是 (4分) (2)由f(x)=x2e得xe2x-(x2十a)e+ax=0,即(e-x)(xe-a)=0, e2-x=0或xe2一a=0,……(5分) 令F(x)=e-x,则F(x)=e-1, 易知当x∈(-o∞，0)时，F(x)<0;当x∈(0，+∞)时，F(x)>0, ∴.F(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， .F(x)≥F(0)=1,即e-x≥1， 方程e一x=0无解。…(6分)） 令G(x)=xe,则G'(x)=(x+1)e, 易知当x∈（一∞，一1）时，G(x)<0;当x∈(-1，十∞)时，G(x)>0, .G(x)在（一∞，一1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， G()的最小值为G-1)=-。 易知函数y=xe的大致图象如图所示， ①当a<-是时，方程xe=a无解， 此时关于x的方程f(x)=xe的实数解的个数为0；…(7分) ②当a=- 。或≥0时，方程x=a有唯一解， 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 HB 此时关于x的方程f(x)=x2e的实数解的个数为1；…(8分) ③当-。<a<0时，方程xe=a有两解， 此时关于x的方程f(x)=x2e的实数解的个数为2. 综上所述，当a<-。时，关于x的方程f(x)=e的实数解的个数为0； 当a=一】或a≥0时，关于x的方程f(x)=x2e的实数解的个数为1； 当一】<a<0时，关于x的方程f(x)=x2e的实数解的个数为2. e ……………(9分) (3)当a=0时，g()=fC2=c,假设g(x)=c(x>0)存在“级转置区间”， 即车在正实数，a,使得s)=《在区间m,小上的值域恰为[产会]， 易知g)=e在区间[m,]上单调递增，e“=六，且e= m ∴lne=ln齐，即m=l以-ln, ∴之=m=l以-la,即2+lm-以=0，同理可得之+1hm-l以=0，…（(10分) 设函数(x)=之十lnx一l以，易知m,n为h(x)的两个零点， .函数h(x)至少有两个零点，…（11分) 对函数0求绿得)=一合+女=。，zE0,十)， 设p()=兰x∈0，十o),则p)=D -,x∈(0，+∞)， 易知当x∈(0，l)时，p(x)单调递减，当x∈(1，十c∞)时，p(x)单调递增，.p(x)≥p(1)=e, ①当0<a≤e时，则h'(x)≥0， .五(x)在(0，十∞)上单调递增，不可能有三个零点，不合题意；… …(12分) ②当λ>e时，h'(x)恰有两个零点x1,x2, 其中G∈(0,1)，x∈(1，十∞)，-三=A, .h(x)在(0，x1)单调递增，在(x1,x2)单调递减，在(x2,十o∞)单调递增，……(13分) “h(a)=产+lha-l以=子+2a-, 同理()=十2n2一， (14分) 设()=2x一x+是，则()-二（D<0,在0，十∞)上单调递减， T2 0<4<1a)=2u-+>1)=0恒度立，即>0， 2>l心9(z)=2nz,-2十<91)=0恒成立，即h(2)<0,……6 且当x→0时，h(x)→-o,当x→+o∞时，h(x)→十∞， .由零点存在性定理可知h(x)在（(0，x1),(x1,x2),(x2,十∞)上各有一个零点，即h(x)有三个零点，符合 题意， .当a=0时，g(x)存在“入级转置区间”，且入的取值范围为(e,十∞).………(17分) 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 HB