精品解析：河北衡水市桃城区十校2025-2026学年第一学期期期末调研检测八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末调研检测卷 八年级数学（人教版） ·全册· 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，当m是最大的负整数时，n的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定最大的负整数m的值，再代入指数方程计算n． 本题考查了有理数的分类及负指数幂的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ m是最大的负整数， ∴. ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 2. 病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此把变回原数即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 3. 下列图形中，不能求出度数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理，三角形的外角性质对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、已知三角形的三个内角的度数都为，可求得的度数为，故A不符合题意； B、另一锐角为，能求得的度数，故B不符合题意； C、根据外角性质，能求得的度数，故C不符合题意； D、另一锐角的度数不知道，不能求得的度数，故不符合题意； 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标不变，横坐标乘，得到点，则A与的关系是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 关于对称 D. 关于对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，掌握轴对称与坐标变化的关系是解题的关键． 关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此判定． 【详解】解：由图可得，点的坐标为， 点的纵坐标不变，横坐标乘，得到点， 点的坐标为， 点与点关于y轴对称， 故选：A． 5. 如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积． 【详解】解：大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成， 大正方形的面积还可以表示为， ． 故选：B． 6. 下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙均对 D. 甲乙均错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 7. 如图，在由相同正方形组成的网格坐标系中，图中所有字母表示的点均为格点．从、、、四个点中选取一个点与点、构成一个三角形，若这个三角形与全等，则这个点可以是下列格点中的（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与勾股定理的应用，熟练掌握用勾股定理计算格点三角形边长及全等三角形的判定条件是解题的关键． 设网格中小正方形边长为，先计算三边长度，再分别计算点、、、与、构成的三角形三边长度，最后通过判定定理逐一验证是否与全等． 【详解】解：∵设网格中小正方形边长为， ∴，，， 取点，构成， ∵，，， ∴三边为，，，与三边，，不对应相等， ∴与不全等， 取点，构成， ∵，，， ∴三边为，，，与三边，，不对应相等， ∴与不全等， 取点，构成， ∵，，， ∴三边为，，，与三边，，不对应相等， ∴与不全等， 取点，构成， ∵，，， ∴，，， ∴（）， 故选：． 8. 如图，在中，，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得出及的度数，结合、，即可证出，由全等三角形的性质可得出，再根据三角形内角和定理及平角等于，得出． 【详解】解：，， ． 在和中， ， ， ， ，， ． 故选：C． 9. 王老师有两根小棒(如图)，如果要把其中的一根剪成两段，那么下而剪法中，根小捧一定能围成三角形的是( ) A. 小棒正中间剪一刀 B. 小棒正中间剪一刀 C. 小棒任意剪一刀 D. 小棒任意剪一刀 【答案】B 【解析】 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答． 【详解】解：根据分析可知，小棒正中间剪一刀时，最小的两边之和， 故3根小棒一定能围成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 10. 已知，，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，计算出的结果，根据判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11. 在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和三角形的三边关系，等腰三角形的定义．利用因式分解，把原式变形为，再结合三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵在中，它的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故选：A 12. 已知，，，若，则的值为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，可得, ，代入 即可求解．本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式形式是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 已知，则______________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，根据同底数幂的乘法逆运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 三个分式的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为， 第二个分式的分母为， 第三个分式的分母为． ∴这三个分式的最简公分母为． 故答案为：． 15. 如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 先由外角性质求得，再根据“”证明，得，再对运用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点．当取最小值时，的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由三线合一性质得到，则，根据垂线段最短性质可知当时，取最小值，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵是的中点， ∴平分， ∴， ∴， 当时，取最小值，此时， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，． （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是解题的关键． （1）先列出分式，再进行计算即可； （2）先列出分式，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． （1）求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； （2）若，且，分别求m，n的值． 【答案】（1），分解因式为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用、因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握平方差公式的因式分解方法，以及通过整体代入求解方程组是解题的关键． （1）通过观察图形，用大正方形面积减去重叠部分得到左侧图形面积，用小正方形面积减去重叠部分得到右侧图形面积．两者作差即可得到面积差，再对得到的代数式进行因式分解． （2）将第（1）题得到的因式分解结果代入已知条件差，结合求出的值，再通过解二元一次方程组求出和． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 分解因式为：； 【小问2详解】 解：，且， ， 解方程组：， 解得． 19. 如图，的两条角平分线相交于点． （1）用尺规作图过点作的平行线，分别交、于点、；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数； （3）若的周长为，，直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作平行线的基本作图方法，作，分别交、于、，则． （2）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线定义得到，最后在中用内角和定理求． （3）利用平行线性质和角平分线定义证明、，从而将的周长转化为，再加上即可得到的周长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：， ， 、分别平分、， ，， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 、分别平分、， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线与平行线结合构造等腰三角形的模型，以及利用线段转化计算周长的方法是解题的关键． 20. 为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案． 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可． （1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由； （2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】（1） 解：嘉嘉，理由：在和中， ， ， ，故嘉嘉的方案可行． （2） 解：对淇淇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等），并能通过构造全等三角形将不可直接测量的线段转化为可测量线段是解题的关键． （1）对于嘉嘉的方案，通过构造、，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的． （2）对于淇淇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 对于实数，，，，规定一种运算，如． （1）计算：________； （2）嘉琪说：“不论取何值，的结果均不变．”请对嘉琪的说法进行说理； （3）化简：． 【答案】（1）2； （2） 解：∵， ∴嘉琪的说法正确． （3） 【解析】 【分析】（1）直接套用题目给定的新运算公式，代入数值计算即可． （2）先按新运算展开表达式，再观察计算结果是否含变量，若不含则说明结果与无关． （3）先分别对两个二阶行列式用新运算展开，再将结果转化为分式形式，最后进行分式的化简运算． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、整式的运算、分式的化简以及平方差公式与完全平方公式的应用，熟练掌握新运算的规则，以及整式和分式的运算法则是解题的关键． 22. 综合与实践 【情境】同学们在小组探究过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图难以完成的三等分角问题． 【模型】如图是小组设计出的三等分角的仪器——勾尺（图1）．勾尺的直角顶点为，每臂的对边均平行，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足三点共线． 【操作】小组利用手中的勾尺，通过下列操作步骤将三等分： 第一步：画经过的直线，使；（图2） 第二步：移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上；（图3） 第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．（图4） 【探究】该小组欲利用图4证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程． 证明：过点作于，由题意得（不用证明） 又∵…… 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、平行的性质以及线段垂直平分线的性质，首先利用平行线的性质得到直角，进而判定点在的平分线上， 通过垂直平分线段，推导出三个角相等，从而证明射线和射线是的三等分线． 【详解】证明：过点作于，由题意得 又，， ， ， 点在的平分线上， ； ，， 垂直平分线段， ， ， ， ， 射线和射线是的三等分线． 23. 某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 【答案】（1）①元买到的竹条捆数为捆；；②每捆竹条元，元能买到彩纸包 （2）珍珍每天可以制作小飞马个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题干中描述的数量之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程． （1）①根据方程中每一个分式表示的意义确定■表示元买到的竹条捆数为捆；根据淇淇设的表示每包彩纸的价格，列方程即可； ②分别用淇淇的方法和嘉嘉的方法求解； （2）制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样，列方程求出的值． 【小问1详解】 ①解：表示每捆竹条的价格， ■表示元买到的竹条捆数为捆； 淇淇设每包彩纸元， 依题意得方程：； 故答案为：元买到的竹条捆数为捆，； ②解：选淇淇的方法： 设每包彩纸元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； 选嘉嘉的方法： 设元买到的竹条捆数为捆， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， (元)，(元)， (包)， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 珍珍每天可以制作小飞马个． 24. 如图1，是边长为的等边的高，点是线段上的一个动点（不与端点重合），以为一边在下方作等边，连接． （1）的长为________； （2）求证：； （3）若连接，在点运动过程中，线段的最小值为________； （4）延长交的延长线于点．如图，当为等腰三角形时： ①求的度数；②直接写出求的面积． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3） （4）①；②1 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质直接求解即可； （2）利用等边三角形的性质可得，，，进而得，再根据判定定理“”即可求证； （3）由等边三角形的性质可得，，进而由全等三角形的性质得，即得到点在定直线上运动，可知当时，线段取最小值，利用直角三角形的性质解答即可求解； （4）①利用三角形内角和定理可得，即得，由点不与点重合，可得当为等腰三角形时，必定为，即可得，再根据平角的定义解答即可求解；②过点作于点，由直角三角形的性质得，又由①得，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵是边长为的等边的高， ∴； 【小问2详解】 证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴； 【小问3详解】 解：∵是边长为的等边的高， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点在定直线上运动， ∴当时，线段取最小值，如图， 在中，∵， ∴， ∴线段的最小值为； 【小问4详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点不与点重合， ∴点不与点重合，， ∴，， ∴当为等腰三角形时，必定为， ∴， ∴； ②过点作于点，如图， ∵， ∴， 又由①可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末调研检测卷 八年级数学（人教版） ·全册· 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，当m是最大的负整数时，n的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 病毒由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成，没有细胞结构，比细胞小得多．某病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 下列图形中，不能求出度数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标不变，横坐标乘，得到点，则A与的关系是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 关于对称 D. 关于对称 5. 如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（ ） A. B. C. D. 6. 下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙均对 D. 甲乙均错 7. 如图，在由相同正方形组成的网格坐标系中，图中所有字母表示的点均为格点．从、、、四个点中选取一个点与点、构成一个三角形，若这个三角形与全等，则这个点可以是下列格点中的（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 8. 如图，在中，，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 王老师有两根小棒(如图)，如果要把其中的一根剪成两段，那么下而剪法中，根小捧一定能围成三角形的是( ) A. 小棒正中间剪一刀 B. 小棒正中间剪一刀 C. 小棒任意剪一刀 D. 小棒任意剪一刀 10. 已知，，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 12. 已知，，，若，则的值为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 27 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 已知，则______________．（用含的代数式表示） 14. 三个分式的最简公分母是________． 15. 如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为______． 16. 如图，在中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点．当取最小值时，的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，． （1）化简：； （2）化简：． 18. 新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． （1）求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； （2）若，且，分别求m，n的值． 19. 如图，的两条角平分线相交于点． （1）用尺规作图过点作的平行线，分别交、于点、；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数； （3）若的周长为，，直接写出的周长． 20. 为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案． 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可． （1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由； （2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 21. 对于实数，，，，规定一种运算，如． （1）计算：________； （2）嘉琪说：“不论取何值，的结果均不变．”请对嘉琪的说法进行说理； （3）化简：． 22. 综合与实践 【情境】同学们在小组探究过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图难以完成的三等分角问题． 【模型】如图是小组设计出的三等分角的仪器——勾尺（图1）．勾尺的直角顶点为，每臂的对边均平行，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足三点共线． 【操作】小组利用手中的勾尺，通过下列操作步骤将三等分： 第一步：画经过的直线，使；（图2） 第二步：移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上；（图3） 第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．（图4） 【探究】该小组欲利用图4证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程． 证明：过点作于，由题意得（不用证明） 又∵…… 23. 某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 24. 如图1，是边长为的等边的高，点是线段上的一个动点（不与端点重合），以为一边在下方作等边，连接． （1）的长为________； （2）求证：； （3）若连接，在点运动过程中，线段的最小值为________； （4）延长交的延长线于点．如图，当为等腰三角形时： ①求的度数；②直接写出求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $