11.6角平分线第1课时（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

11.6 角平分线 第十一章 三角形的证明及其应用 第1课时 学 习 目 标 1.证明并掌握角平分线的性质定理及判定定理;（重点） 2.能利用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． O B A C 2.如图，∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC ＝ =∠AOB. （或∠AOB ＝2 ＝2 ） 知识回顾 1.角平分线的定义： 从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个 的角，这条射线叫作这个角的平分线. 相等 ∠BOC ∠BOC ∠AOC 注意：角平分线是一条 ，而不是直线或线段. 射线 情境引入 我们曾经探索过角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角 相等. 请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流. P A O B C D E 两边的距离 新知探究 探究一：角平分线的性质 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 1 2 ∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). 证明： ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠1=∠2， ∠PDO=∠PEO， ∠1=∠2， OP= OP， ∵ 新知探究 角平分线的性质定理： 知识归纳 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离. (三个条件缺一不可) 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). B A D O P E C 此定理可以证明线段相等. 新知探究 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE= . 3cm 新知探究 探究二：角平分线的判定 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 你能写出定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性. 转化为几何语言 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证：点OP平分∠AOB. P A O B D E 1 2 新知探究 P A O B D E 1 2 证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E, ∴∠ODP=∠OEP= 90°. ∵PD= PE，OP=OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP ( HL ). ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. P A O B C D E 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 新知探究 角平分线的判定定理： 知识归纳 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 应用条件： ①位置关系：点在角的内部； ②数量关系：该点到角两边的距离相等. 此定理可以判断点是否在角平分线上. 新知探究 2.如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=_______. 30° 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 例1 典例分析 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10， ∴DE=AD=×10=5(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 典例分析 如图，∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：AP平分∠BAC. 例2 A P B C 1 2 3 4 Q N M 证明：过点P作PQ⊥AB于点Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M. ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴PQ=PN，PN=PM， ∴PQ=PM. ∵PQ⊥AB，PM⊥AC， ∴AP平分∠BAC. 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=10cm，BD=6cm，那么点D到直线AB的距离是（　　） A．10cm B．6cm C．16cm D．4cm 2.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)A. PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD B D 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=（　　） A． B．2 C．3 D．+2 4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° A B D C M 巩固练习 C B 5.如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是 　. 巩固练习 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 6.如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD=3，如果E是射线OB上一点，那么线段CE长度的最小值是　 ． 3 7.如图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等. 巩固练习 P 解：如图所示，点P即为所求. 巩固练习 8.已知:如图所示，P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线. 证明: ∵PD⊥OA，PE⊥OB, ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∵PF=PG，DF=EG, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE. ∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB, ∴OC是∠AOB的平分线. 课堂小结 角平分线1 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段. 辅助线添加 感谢聆听! $