1.3 乘法公式 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式 北师大版数学七年级下册同步练习 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 　即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² 完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1） 公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2） 公式的变化： ①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab ⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 一、单选题 1.下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子：① ；② ； ③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．只有①② C．只有② D．只有① 3.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 二、填空题 4.计算： . 5.计算： ． 6.如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ． 7.对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题． 【简单情形】化简 （1）____________； （2）____________； （3）____________； 【复杂问题】化简 （4）____________； 【总结规律】 （5）观察以上各式，可以得到：____________； 【方法应用】 （6）利用上述规律，计算，并求出该结果个位上的数字． 8.．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的值是 ． 三、计算题 9.运用乘法公式计算： (1) (2) 10.计算： (1)． (2)． (3)． 11.用简便算法计算 (1) (2) 12.利用乘法公式计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 四、解答题 13．（1）已知，求代数式的值． （2）若，求 14.下面是小明同学化简求值的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 当时，原式．……第四步 (1)小明同学第________步开始出现错误． (2)写出正确的化简求值过程． 15.已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ． ， ， ，， ． 【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 16.数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片多少张，号卡片多少张，号卡片多少张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 17.阅读下列材料并解答下面的问题： 利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如： 或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若n满足，求式子的值． 答案解析 1、 单选题 1.【答案】D 【详解】解：A、，可以使用平方差公式； B、，可以使用平方差公式； C、，可以使用平方差公式； D、，两项都不相同，可变形为完全平方公式，不能使用平方差公式． 故选：D． 2.【答案】A 【分析】本题考查平方差公式：、完全平方公式：，根据公式一一判断即可． 【详解】解：，故①符合题意； ，，故②符合题意； ，故③符合题意； 故选：A． 3.【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∵， ∴， 又∵ ∴ 故选为：B． 2、 填空题 4.【答案】 【分析】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握公式的运算法则． 【详解】解：， 5.【答案】4 【分析】在前面乘一个，然后再连续利用平方差公式计算. 【详解】解： ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，添加是解题的关键． 6.【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 7.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），个位上的数字是5 【分析】（1）利用平方差公式求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （4）根据前3个等式的规律，即可得出结论； （5）根据前4个等式的变化规律，即可得出结论； （6）利用（5）的结论，进行计算，然后根据计算结果得到个位上的数字即可． 【详解】解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为； （3）， 故答案为：； （4）根据前3个等式可得， 故答案为：； （5）观察以上各式，可以得到：， 故答案为：； （6） ， ∵，，，，，…， 又， ∴的个位上的数字与的个位上数字相同， ∴的个位上的数字为， 【点睛】本题考查平方差公式、多项式乘以多项式、数字类规律探究，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 8.【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 3、 计算题 9.【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可； （2）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可． 【详解】（1） ； （2） ． 10.【答案】(1) (2)39996 (3)2022 【分析】（1）（2）（3）运用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【点睛】本题考查平方差公式的运用．熟记公式形式是解题关键． 11.【答案】(1)1 (2)90000 【分析】（1）将变形为，运用平方差公式计算，即可求解； （2）将变形为，则原式可逆用完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【点睛】题词考查利用平方差与完全平方公式进行简便计算，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键． 12.【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完全平方公式求解即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 四、解答题 13.【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值， （1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，再由得到，最后利用整体代入法求解即可； （2）根据，把等式两边同时平方得到，则． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴原式； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14.【答案】(1)二 (2)，，过程见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． （1）根据去括号，合并同类项法则判断即可； （2）去括号，合并同类项，代入计算即可． 【详解】（1）解：第二步错误，去括号没有变号． 故答案为：第二步； （2）原式 ． 当时，原式． 15.【答案】(1)3 (2)12 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 化简，得：， 将代入得， 解得：． （2）， ， 化简，得， 即， 则 16.【答案】(1)； (2)需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； (3)①的值为；②． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）大正方形的面积直接求和间接求，得到等式即可； （2）根据题意列出算式，利用多项式乘多项式法则计算，合并后即可判断； （3）①利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算即可求出答案； ②令，则有，代入化简求值即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； （2）解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， （3）解：①，，， ， ，即的值为； ②令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． 17.【答案】(1)10 (2)34 (3)0 【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值； （2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求； （3）原式利用完全平方公式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴原式； （2）解：把两边平方得：， 则； （3）解：∵， ∴ 则 【点睛】此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $