精品解析：2025-2026学年高一上学期1月第1次周测数学试题

2025-2026学年高一上学期1月第1次周测数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：B. 2. 命题“存在，使得”的否定（ ） A. 不存在，使得 B. 存在，使得 C. 对任意的，都有 D. 对任意的，都有 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定规则求解即可. 【详解】由特称命题的否定规则得原命题的否定为： 对任意的，都有，故D正确. 故选：D 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义及性质直接计算. 【详解】由分层抽样可知， 解得， 故选：D. 4. 若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围. 【详解】函数的对称轴为， 由于在上是减函数，所以. 故选：B 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】因为均为上的增函数，故为上的增函数， 而，， 故的零点所在的区间为， 故选：B. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 7. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】AB选项，，所以AB选项错误. C选项，，， 所以的图象关于点对称，C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 8. 若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】当，则，， 依题意可得，解得， 即的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 的值域是 B. 是偶函数 C. 在区间上是增函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；根据函数解析式求解判断D. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，的值域是，是非奇非偶函数，在区间上是增函数， 故AC正确，B错误； 对于D，当时，由，解得（舍去）； 当时，由，解得（舍去）或， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD 10. ，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】赋值法可判断AD；利用在上为增函数可判断B；由不等式性质可判断C. 【详解】对于A，取，有，但显然，故A错误； 对于B，在上为增函数，又因为，所以，故B正确； 对于C，由，可得，故，所以，故C正确； 对于D，当，有，但，故D错误. 故选：BC. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在下列四个数：①，②，③，④中，最大的数是__________.（填写序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，结合指数函数的单调性判断它们的大小. 【详解】因为，，，， 所以最大. 故答案为：④ 13. 圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据弧长公式得出扇形的半径，即可根据扇形的面积公式得出答案. 【详解】圆心角为1，弧长为， 所以扇形的半径为：， 即扇形的面积为：， 故答案为：1. 14. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，根据的单调性，分析计算，即可得答案. 【详解】当时， 为一次函数， 因为单调递减，所以， 当时，为反比例函数， 因为单调递减，所以， 所以由题意可知，解得，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，写出C所有子集. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用列举法表示出集合，再应用集合的并、补运算求集合； （2）应用列举法表示出集合，再写出其所有子集即可. 【小问1详解】 由题设，， 所以，； 【小问2详解】 由，其所有子集为. 16. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： （1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; （2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 【答案】（1）分钟 （2）（i）分布列为 Y 1 2 3 P ；（ii）3次 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义运算求解即可； （2）（i）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望； （ii）根据独立重复实验的概率可得，结合对数运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为：直方图中每个小矩形底边中点乘以每个矩形面积的和， 即（分钟）. 【小问2详解】 （i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：Y的可能取值有1，2，3， 则，，， 故Y的分布列为 Y 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）由题意可知：每次抽到1名运动积极型学生的概率为， 可得，即， 两边取对数可得，即， 可得， 故至少需抽3次. 17. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）甲 【解析】 【分析】（1）利用事件的相互独立性即可求解； （2）根据已知条件分别写出甲或乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的分布列和数学期望，再进行比较大小即可判断. 【小问1详解】 第一阶段甲次都未中的概率为， 所以进入第二阶段的概率为， 乙得分不少于分的情况包括乙投中次或次， 投中次的概率为，投中次的概率为， 所以乙得分不少于分的概率为， 因为两个阶段的比赛相互独立， 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； 【小问2详解】 若甲参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 若乙参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 所以， 因为，所以，，所以， 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明： 函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； （2）在上单调递减，证明： 令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用恒等式可证明是奇函数； （2）利用定义法来证明函数单调性即可； （3）利用奇偶性和单调性转化不等式，即可利用一元二次不等式恒成立来求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若，求该函数在上的最大值和最小值； （2）求该函数在上的最小值； （3）若该函数在区间上的最大值为4，求实数m的值. 【答案】（1）最大、最小值分别为； （2） 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为. （3）或. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的单调性计算求解； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. （3）利用二次函数的性质，分对称轴的不同位置分类讨论列式计算求解； 【小问1详解】 当时，，易知函数在上单调递增， 当时，函数取最小值；当时，函数取最大值； 【小问2详解】 开口向上，对称轴， 当，即时，函数在上单调递增，当时取最小值为； 当，即时，函数在上单调递减，当时取最小值为； 当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 当时取最小值为； 综上， 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为. 【小问3详解】 由题意可得函数，对称轴为，且二次函数开口向上， 当时，函数在上单调递增，当时取最大值为，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，当时取最大值为，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 当或时取最大值为或，解得或. 综上所述：实数的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期1月第1次周测数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在，使得”的否定（ ） A. 不存在，使得 B. 存在，使得 C. 对任意的，都有 D. 对任意的，都有 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）． A. B. C. D. 4. 若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 8. 若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 的值域是 B. 是偶函数 C. 在区间上是增函数 D. 若，则 10. ，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在下列四个数：①，②，③，④中，最大的数是__________.（填写序号） 13. 圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为________ 14. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，写出C所有子集. 16. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： （1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; （2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 17. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求该函数在上的最大值和最小值； （2）求该函数在上的最小值； （3）若该函数在区间上的最大值为4，求实数m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $