重难点02 规律探究型问题（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“规律探究型问题”核心考点，涵盖数字类（个位数、多项式、数阵等）和图形类（累加、循环等）八大子题型，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”体系，通过典例解析与变式练习帮助学生突破从特殊到一般的抽象难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“三步转化法”（数图形量-转数字序列-推代数规律），结合杨辉三角、跨学科实例等教学活动，培养学生抽象能力与推理意识。分层设计“固根基”“拓能力”练习，配合限时测试，确保高效突破，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第一章 数与式 重难点02 规律探究型问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 数字类规律探究问题 规律探究题是初中数学、小升初衔接的核心必考题型，核心逻辑是从特殊到一般，通过观察前几项 / 前几个图形，提炼通项公式、递推关系、周期规律，再用通项解决指定项、求和、判断位置等问题。下面按数字类、图形类两大板块，细分所有高频子题型，包含特征、解法、例题、通项公式，覆盖考试全部常见考法。 1. 数与式的规律探究问题一般有：按一定周期循环类型；等差数列变化类型；等比数列变化类型； 2. 规律探究问题的解决策略： （1）从简单的情况入手∶计算出前四-五项结果，最好保留计算过程，因为规律往往隐藏在过程之中。 （2）关注问题中的不变量和变量∶ 在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量； （3）用代数式写出规律： 先写出每项中都有的相同部分，包含具体的数、式子、运算符号，再仔细观察变化的量与序号（一般为n或k）之间的关系，用式子表示出这种关系，通常为和差、或倍数关系，这样我们找到这个关系就找到了规律所在。 3.常用数列求和公式： （1）1+2+3++n=； （2）1+3+5++(2n-1)=； （3）2+4+6++2n=n(n+1)； （4） （5） （6）1×2+2×3+3×4++n(n+1)= （7） 题型01 个位数规律 个位数规律主要是计算各项式子结果的个位数，然后将它们进行加减计算，最终算出来的个位数值即是该式子的个位数。 【典例】（2024·广东梅州·模拟预测）的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1】（2025·广东东莞·一模）观察下列等式：，，，，，，…，试猜想，的个位数字是 ． 【变式2】（2024·安徽阜阳·二模）观察下列算式，回答下列问题： ，，，________， ，________，，…． (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 题型02 单/多项式规律 【典例】（2023·云南红河·二模）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第13个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·重庆·一模）已知有序单项式串x，，对其进行第一次操作：将单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，得到第一个单项式串x，，；再进行第二次操作：对第一个单项式串重复原来的操作方式，得到第二个单项式串x，，，，；……依此类推，关于操作后的单项式串，下列结论正确的个数为（   ） ①第四个单项式串中，次数最高的单项式为； ②不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式； ③第七个单项式串中所有单项式的乘积为． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 题型03 数阵类规律 【典例】（2025·广东中山·模拟预测）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【变式1】（2024·河北邢台·一模）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵． (1)如图2，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 【变式2】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 题型04 杨辉三角形类规律 【典例】（2025·辽宁·模拟预测）在人教版八年级上册数学书页提到了杨辉三角，材料如下： 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数． 根据上述材料，请回答： (1)请根据的展开式证明其对应第四行的系数； (2)请根据的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质； (3)请你预测并直接写出展开式的第二项系数______． 【变式1】（2023·广东梅州·一模）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”． … 则展开式中所有项的系数和是 ． 【变式2】（2025·安徽·二模）我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 题型05 表格类规律 【典例】（2025·广东汕头·模拟预测）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【变式1】（2025·广东阳江·模拟预测）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成下图： 记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1)______； (2)若，则______，______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【变式2】（2025·广东韶关·模拟预测）如下面表格，从第一个格子开始，从左向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b x 6 -2 … (1) x=____________． (2)从第 个格子起，前n个格子中所填整数之和为2021，则n的值为__________． 题型06 跨学科类规律 【典例】（2025·贵州遵义·一模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是 ． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类分子式中，甲醇分子式为，乙醇分子式为，丙醇分子式为，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的分子式可以用式子 来表示． 【变式2】（2024·安徽合肥·一模）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，请完成下列问题： (1)第4个结构式中H原子的个数是______； (2)第n个结构式中H原子的个数是______；用含n的代数式表示 (3)是否存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中C原子的个数；若不存在，请说明理由． 题型07 通过观察已知等式求解 【典例】（2025·湖北武汉·三模）已知，，，……，已知按一定规律排列的一组数：101、103、105、……、9997、9999．若，用含a的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知有理数，我们定义为的差倒数，如的差倒数为的差倒数为．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，···，依此类推，则的值是 ． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 题型08 通过观察已知等式猜想第n个代数式 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式∶ ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并通过计算得出第 n个式子表示的数比第个式子表示的数大多少．(用含 n的式子表示) 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论：，为此，他们继续探究3的倍数的和问题，得到如下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)用含的等式表示第个等式，并验证； (3)记第个等式的和为，数学兴趣小组发现，求的值． 【变式2】（2025·广东清远·模拟预测）【观察猜想】（1）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，直接写出第个等式为_________；猜想：第个等式为________ 【论证猜想】（2）请你证明猜想的第个等式的正确性． 【拓展运用】（3）若连续两个自然数的平方和等于另外两个连续自然数的平方差，这四个自然数中，最大的是，则最小的自然数为多少？ 重难点二 图形类规律探究问题 规律探究题是初中数学、小升初衔接的核心必考题型，核心逻辑是从特殊到一般，通过观察前几项 / 前几个图形，提炼通项公式、递推关系、周期规律，再用通项解决指定项、求和、判断位置等问题。下面按数字类、图形类两大板块，细分所有高频子题型，包含特征、解法、例题、通项公式，覆盖考试全部常见考法。 1. 图形类规律探究问题是题目给出连续变化的几何图形（如三角形、正方形、多边形叠加 / 拆分），探究图形个数、边长、周长、面积等规律； 2. 图形类规律探究问题解决策略：将图形类规律转化为代数式类规律探究 三步法：数特殊图形的 “量”（个数 / 长度 / 面积）→ 转化为数字序列 → 按数字规律推导 具体技巧： - 叠加类：图形 = 基础图形 + 增量（如第个图形比第个多个小图形） - 拆分类：将复杂图形拆分为基础图形（如三角形数 ） - 面积类：先算前 个图形面积，找 “差的规律”（如每次增加 2π） 题型01 图形固定累加型 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2026个“H”需要棋子（   ） A．10127个 B．10130个 C．10132个 D．10135个 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）【观察思考】围棋起源于中国，至今已有多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)【规律发现】请用含的式子填空： 第个图案中黑色棋子的个数为_______，白色棋子的个数为_______． (2)【规律应用】结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第个图案中黑色棋子比白色棋子多个时，求正整数的值． 题型02 图形渐变累加型 【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【变式1】（2025·广东河源·模拟预测）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 题型03 分区域累加型 【典例】（2025·广东江门·模拟预测）材料一：高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．在他十岁时，数学老师出了一道算术难题：“计算的值．”高斯思考一会后得出正确的答案，他思考到：可以令①，将这100个数倒过来相加可得②，由①+②得，所以． （1）计算： ； 材料二：【观察思考】 用菱形积木摆放一个造型，该造型由多层组成，每一层由三行的菱形积木拼成，前3层的摆放情况如图所示．同一层中每一行皆比前一行多2块，且每一层第一行皆比前一层第一行多2块． 【规律发现】 （2）①第10层的积木总块数为 ； ②前n层积木总块数为 ； 【规律应用】 （3）已知小明同学共用了576块菱形积木摆放了一个造型，求出这个造型一共摆放了多少层？ 【变式1】（2025·广东潮州·模拟预测）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 【变式2】（2025·广东揭阳·模拟预测）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 题型04 图形循环规律 【典例】（2025·广东广州·模拟预测）如图，物体从A点出发，按照（第一步）（第二步）……的顺序循环运动，则第2023步到达（    ） A．A点 B．C点 C．G点 D．F点 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A开始沿正方形的边按A→B→C→D→A逆时针方向循环运动，当它的运动路程为2022时，点P所在位置为点 ． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是(　   　) A．点F B．点E C．点A D．点C 题型05 图形类规律综合 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ． 【变式1】（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 【变式2】（2023·广东佛山·一模）在平面坐标系中，第1个正方形的位置如图所示，点的坐标为，延长交轴于点，作第2个正方形，延长交轴于点；作第3个正方形，…按这样的规律进行下去，若点、、…在直线上，则 ． 1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·二模）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 3．（2024·河南·一模）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2024次输出的结果是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·广东广州·一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…； （2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…． 利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（　　） A．2021 B．2022 C． D． 5．（2023·广东广州·一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要3根小木棒，拼第二个图形需要5根小木棒，拼第3个图形需要7根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2023根小木棒，则（　　） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 6．（2024·广东深圳·模拟预测）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得到图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（    ） A．243 B．192 C．256 D．768 7．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 8．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 9．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写： a 1 2 3 4 5 … 8 … S 1 3 6 … … 【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ． 【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由． 10．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 11．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 12．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 13．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点02 规律探究型问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 34 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 数字类规律探究问题 规律探究题是初中数学、小升初衔接的核心必考题型，核心逻辑是从特殊到一般，通过观察前几项 / 前几个图形，提炼通项公式、递推关系、周期规律，再用通项解决指定项、求和、判断位置等问题。下面按数字类、图形类两大板块，细分所有高频子题型，包含特征、解法、例题、通项公式，覆盖考试全部常见考法。 1. 数与式的规律探究问题一般有：按一定周期循环类型；等差数列变化类型；等比数列变化类型； 2. 规律探究问题的解决策略： （1）从简单的情况入手∶计算出前四-五项结果，最好保留计算过程，因为规律往往隐藏在过程之中。 （2）关注问题中的不变量和变量∶ 在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量； （3）用代数式写出规律： 先写出每项中都有的相同部分，包含具体的数、式子、运算符号，再仔细观察变化的量与序号（一般为n或k）之间的关系，用式子表示出这种关系，通常为和差、或倍数关系，这样我们找到这个关系就找到了规律所在。 3. 常用数列求和公式： （1）1+2+3++n=； （2）1+3+5++(2n-1)=； （3）2+4+6++2n=n(n+1)； （4） （5） （6）1×2+2×3+3×4++n(n+1)= （7） 题型01 个位数规律 个位数规律主要是计算各项式子结果的个位数，然后将它们进行加减计算，最终算出来的个位数值即是该式子的个位数。 【典例】（2024·广东梅州·模拟预测）的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数的规律探索，熟练掌握乘方类型数的个位数字的规律是解题的关键．分别探索和的个位数字，转化为探索和即可． 【详解】解：的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：D． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）观察下列等式：，，，，，，…，试猜想，的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】根据题目中的数据可知尾数出现的规律是3、9、7、1四个数字依次循环，从而可以得到的个位数字，本题得以解决． 【详解】∵，，，，，， …1， ∴的个位数字是3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了规律性数字问题，观察题中的数据找到其中的规律是解题的关键． 【变式2】（2024·安徽阜阳·二模）观察下列算式，回答下列问题： ，，，________， ，________，，…． (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 【答案】(1)97，793 (2)7 (3)0 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是所给的数总结出存在的规律． （1）直接进行计算即可解答； （2）从所给的算式可得：末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现，再分析所求的式子进行求解即可． （3）由原式变形为，再根据（2）发现的规律求解即可． 【详解】（1），，，， ，，，…． 故答案为：97，793； （2）、、、、、、， 其末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现， ， 的个位数字是7， 故答案为：7； （3） 这一数列的末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现， ，且， 的末位数字为：0． 题型02 单/多项式规律 【典例】（2023·云南红河·二模）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第13个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析单项式的系数和指数与单项式的序号之间的关系找出规律即可． 【详解】解：由按一定规律排列的单项式：，，，，…， 观察可得规律为：， 第13个式子为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，正确找出单项式的系数和指数与单项式的序号之间的规律是解题的关键． 【变式1】（2025·重庆·一模）已知有序单项式串x，，对其进行第一次操作：将单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，得到第一个单项式串x，，；再进行第二次操作：对第一个单项式串重复原来的操作方式，得到第二个单项式串x，，，，；……依此类推，关于操作后的单项式串，下列结论正确的个数为（   ） ①第四个单项式串中，次数最高的单项式为； ②不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式； ③第七个单项式串中所有单项式的乘积为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律类，单项的次数，单项式乘单项式等知识，由规律得出每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，可判断①，第次操作后单项式的个数为个，可判断②，每次操作后所有单项式的乘积的次数为上一次操作后的次数，可判断③，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第次操作：x，，（最高次数为） 第次操作：x，，，（最高次数为） 第次操作：x，，，，，（最高次数为） 第次操作：x，，，，，，，，，（最高次数为） 第次操作：x，，，，，，，，，，，，，，，，（最高次数为） ， 由上可知，每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和， 第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为：， ∴第四个单项式串中，次数最高的单项式为，故①符合题意， 每次操作后单项式的个数为： 第次操作：2个， 第次操作：个， 第次操作：个， 第次操作：个， 第次操作：个， ， 由上可知，第次操作后单项式的个数为：个， 若存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式，则： ， 解得：， ∴存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式，故②不符合题意， 每次操作后所有单项式的乘积的次数为： 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， ， 由上可知，每次操作后所有单项式的乘积的次数为上一次操作后的次数， ∴第五次操作：， 第六次操作：， 第七次操作：， ∴第七个单项式串中所有单项式的乘积为，故③符合题意， 综上，符合题意的有①③，共个， 故选：C． 【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，根据题目所给多项式，总结出第个多项式中各项的系数与次数，即可解答，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个多项式是， 故选：． 题型03 数阵类规律 【典例】（2025·广东中山·模拟预测）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 【变式1】（2024·河北邢台·一模）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵． (1)如图2，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 【答案】(1)8 (2)见详解 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据题意列出代数式． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）用含a的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题． 【详解】（1）解：， 方框中的四个数的平均数为8； （2）解：方框中的四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 为整数 这个和能被4整除． 【变式2】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】每行的最后一个数是这个行的行数的平方，第行的数字的个数是，所以2021在第45行，45行最后一个数字是2025，从2025往前数4个数据得到2021，进而得出2021是第85个数据，从而得出答案． 【详解】解：每行的最后一个数是这个行的行数的平方， 第行的数字的个数是， ， 所以2021在第45行， ， 行最后一个数字是2025， 第45行有个数字，从2025往前数3个数据得到2022，从而得出2021是第86个数据， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化．解题的关键是确定第45行的最后一个数字和第45行的第一个数字． 题型04 杨辉三角形类规律 【典例】（2025·辽宁·模拟预测）在人教版八年级上册数学书页提到了杨辉三角，材料如下： 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数． 根据上述材料，请回答： (1)请根据的展开式证明其对应第四行的系数； (2)请根据的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质； (3)请你预测并直接写出展开式的第二项系数______． 【答案】(1)证明见解析 (2)第七行的系数为：，，，，，，；递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和 (3) 【分析】本题考查了整式乘法，数字规律的探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用整式的乘法求解验证即可； （2）写出的展开式补齐第七行的系数，根据题意知每行系数的规律为：每个数字等于上一行的左右两个数字之和； （3）观察数字规律即可知：从第二行开始第二项的系数与的次幂相等，即可求解． 【详解】（1）解：， 的展开式的系数为，，，， 的展开式的系数对应第四行的系数； （2）解：， 第七行的系数为：，，，，，，， 杨辉三角的性质：递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和； （3）解：由题意知，从第二行开始第二项的系数与的次幂相等， 展开式的第二项系数为， 故答案为：． 【变式1】（2023·广东梅州·一模）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”． … 则展开式中所有项的系数和是 ． 【答案】 【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式的项系数和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键． 【变式2】（2025·安徽·二模）我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 【答案】(1)10； (2) (3) 【分析】本题考查对题干“杨辉三角”规律的理解，以及规律的运用，解题的关键是找出展开式的各项系数规律并灵活运用． （1）根据“杨辉三角”规律写出多项式的展开式，即可得到展开式中的第三项； （2）根据“杨辉三角”规律得到多项式展开式； （3）根据“杨辉三角”规律得到为的展开式，即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：多项式的展开式各系数依次为1，5，10，5，1， 多项式的展开式中第三项系数是10． 故答案为：； （2）解：由题意可得：． 故答案为：； （3）解： ， 当时，原式． 题型05 表格类规律 【典例】（2025·广东汕头·模拟预测）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 【变式1】（2025·广东阳江·模拟预测）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成下图： 记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1)______； (2)若，则______，______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)41 (2)169；5 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类． （1）根据题意可知，然后即可计算出相应的值； （2）根据规律可得是第个奇数，是第行，第5个数，可得到m、n的值； （3）设“”字第一行中间数为，由题意得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， 由表格可得 ∴， 故答案为：41； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， ∵， ∴是第个奇数， ∵， ∴是第行，第5个数， ∵， ∴，， 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于200，理由如下： 设“”字第一行中间数为， 由题意得， 解得， ∵47位于第4行最后一个数，所以不能与其他数构成“”字状， ∴所覆盖的4个数之不和能等于200． 【变式2】（2025·广东韶关·模拟预测）如下面表格，从第一个格子开始，从左向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b x 6 -2 … (1) x=____________． (2)从第 个格子起，前n个格子中所填整数之和为2021，则n的值为__________． 【答案】（1）1；（2）1213． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据即可列出等式，即可计算出x的值． （2）根据题意和表格中的数据，可知表中的数据为1、6、-2依次出现，即三个相邻格子的和为5，前n个格子的和为2021，即有，即． 【详解】（1）根据题意可得：． ∴． 故答案为1． （2）根据题意可得：． ∴，． ∴表格中的数据为1、6、-2依次出现，即． ∴三个相邻格子的和为， ， ∴． 故答案为1213． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据题意求出表中未知数，再找出规律是解答本题的关键． 题型06 跨学科类规律 【典例】（2025·贵州遵义·一模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察发现出规律成为解题的关键． 经观察可以发现：烷烃中氢原子数是碳原子的2倍加上2，据此规律即可解答． 【详解】解：碳原子个数为1时，氢原子数为个， 碳原子个数为2时，氢原子数为个， 碳原子个数为3时，氢原子数为个， ……， 以此类推，可知，碳原子个数为n时，氢原子数为个． 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类分子式中，甲醇分子式为，乙醇分子式为，丙醇分子式为，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的分子式可以用式子 来表示． 【答案】 【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+1”，依次规律即可解决问题． 【详解】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an， 观察，发现规律：a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1，…， ∴an=2n+1． ∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+1OH． 故答案为：CnH2n+1OH． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=2n+1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键． 【变式2】（2024·安徽合肥·一模）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，请完成下列问题： (1)第4个结构式中H原子的个数是______； (2)第n个结构式中H原子的个数是______；用含n的代数式表示 (3)是否存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中C原子的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，该碳氢化合物中C原子的个数为 【分析】本题主要考查了找规律，解题关键是找规律并正确应用． （1）由第1个结构式中有1个C和个H，第2个结构式中有2个C和个H，第3个结构式中有3个C和个H，…，可得第4个结构式中H原子的个数是； （2）总结规律即可得第n个结构式中H原子的个数是； （3）若存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成，可得，即可得该碳氢化合物中C原子的个数为 【详解】（1）解：由第1个结构式中有1个C和个H，第2个结构式中有2个C和个H，第3个结构式中有3个C和个H，…， 得第4个结构式中H原子的个数是； 故答案为：10 （2）解：总结规律得第n个结构式中H原子的个数是； 故答案为： （3）解：若存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成， 得， 解得：， ∴该碳氢化合物中C原子的个数为． 题型07 通过观察已知等式求解 【典例】（2025·湖北武汉·三模）已知，，，……，已知按一定规律排列的一组数：101、103、105、……、9997、9999．若，用含a的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，幂的乘方，将表示为，再根据题意化简即可，熟读题意，能够将原式补全是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知有理数，我们定义为的差倒数，如的差倒数为的差倒数为．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，···，依此类推，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用规定的运算方法，分别算得a1，a2，a3，a4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ， …… ∴数列以5，，三个数依次不断循环， ∵， ∴； 故答案为：5； 【点睛】此题考查数字的变化规律，关键是找出数字之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项归纳数列的奇偶项规律是解题的关键． 先计算数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项的规律，再代入（奇数）求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， …， ∴ 当为奇数时，；当为偶数时，； ∵ 是奇数， ∴ ， 故选：A． 题型08 通过观察已知等式猜想第n个代数式 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式∶ ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并通过计算得出第 n个式子表示的数比第个式子表示的数大多少．(用含 n的式子表示) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查找规律，以及整式的混合运算，解题的关键在于根据题意找出等式规律． （1）根据题干所给规律直接写出第7个等式即可； （2）根据题干所给规律写出第n个等式，以及第个式子，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可得第7个等式为：； 故答案为：． （2）解：第 n个等式为： 第个等式为∶ ， 则 ， ∴第 n个式子表示的数比第个式子表示的数大 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论：，为此，他们继续探究3的倍数的和问题，得到如下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)用含的等式表示第个等式，并验证； (3)记第个等式的和为，数学兴趣小组发现，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)674 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）仿照题意写出第5个等式即可； （2）根据题意可得，第个等式可以表示为，再根据题中的结论即可得到结论，再证明结论即可； （3），再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：根据题意可知第个等式为，证明如下： ∵， ∴ ， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2025·广东清远·模拟预测）【观察猜想】（1）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，直接写出第个等式为_________；猜想：第个等式为________ 【论证猜想】（2）请你证明猜想的第个等式的正确性． 【拓展运用】（3）若连续两个自然数的平方和等于另外两个连续自然数的平方差，这四个自然数中，最大的是，则最小的自然数为多少？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了数字类规律变化，根据已知等式得出变化规律是解答本题的关键． （1）根据前个等式的规律写出第个等式和第个等式即可； （2）根据前个等式可得规律：两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大的数的平方，即可得出第个等式，然后证明等式的左边右边即可； （3）由得， ，化简解出的值即可得解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，； （2）左边， ， 右边， 左边右边， 原等式成立； （3）由得， ， ，解得，（舍去）， 最小的自然数为． 重难点二 图形类规律探究问题 规律探究题是初中数学、小升初衔接的核心必考题型，核心逻辑是从特殊到一般，通过观察前几项 / 前几个图形，提炼通项公式、递推关系、周期规律，再用通项解决指定项、求和、判断位置等问题。下面按数字类、图形类两大板块，细分所有高频子题型，包含特征、解法、例题、通项公式，覆盖考试全部常见考法。 1. 图形类规律探究问题是题目给出连续变化的几何图形（如三角形、正方形、多边形叠加 / 拆分），探究图形个数、边长、周长、面积等规律； 2. 图形类规律探究问题解决策略：将图形类规律转化为代数式类规律探究 三步法：数特殊图形的 “量”（个数 / 长度 / 面积）→ 转化为数字序列 → 按数字规律推导 具体技巧： - 叠加类：图形 = 基础图形 + 增量（如第个图形比第个多个小图形） - 拆分类：将复杂图形拆分为基础图形（如三角形数 ） - 面积类：先算前 个图形面积，找 “差的规律”（如每次增加 2π） 题型01 图形固定累加型 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2026个“H”需要棋子（   ） A．10127个 B．10130个 C．10132个 D．10135个 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从3开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从1开始连续的整数，进而得到第个“H”需要棋子（个），令进行求解即可． 【详解】解：观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从3开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从1开始连续的整数， ∴第个“H”需要棋子（个）， 当时，；即摆成第2026个“H”需要棋子10132个； 故选C． 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★． 【答案】60 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过归纳总结，得到其中规律是解题的关键． 根据图形的特点归纳总结规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有个五角星， 第二个图形有个五角星， 第三个图形有个五角星， 第四个图形有个五角星， ∴第20个图形共有个五角星， 故答案为：60． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）【观察思考】围棋起源于中国，至今已有多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)【规律发现】请用含的式子填空： 第个图案中黑色棋子的个数为_______，白色棋子的个数为_______． (2)【规律应用】结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第个图案中黑色棋子比白色棋子多个时，求正整数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据已知图形找出规律即可求解； （）根据（）的规律列出方程，进而即可求解； 本题考查了图形的变化规律问题，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， ， ∴第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得． 题型02 图形渐变累加型 【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 【变式1】（2025·广东河源·模拟预测）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，勾股定理，由特殊情况总结出一般规律，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， 按照此规律继续下去，则， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，第42个图形的边数正好是1980 【分析】本题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，找出规律是解题的关键． （1）根据前4个图形的边数即可得到规律求出第5个图形的边数； （2）得到规律：正边形“扩展”而来的多边形的边数为，然后再代入求值； （3）根据题意得到方程，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由图形可知，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为； 图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为； 图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的，边数为； …… ∴图⑤中的多边形是由正七边形“扩展”而来的边数为， 故答案为：； （2）解：观察发现，由正边形“扩展”而来的多边形的边数为， 即由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为， 故答案为：； （3）解：有，理由如下： 由题意得： 解得：或（舍） ∴多边形是由正44边形“扩展”而来的，由题规律可知，第42个图形的边数正好是1980． 题型03 分区域累加型 【典例】（2025·广东江门·模拟预测）材料一：高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．在他十岁时，数学老师出了一道算术难题：“计算的值．”高斯思考一会后得出正确的答案，他思考到：可以令①，将这100个数倒过来相加可得②，由①+②得，所以． （1）计算： ； 材料二：【观察思考】 用菱形积木摆放一个造型，该造型由多层组成，每一层由三行的菱形积木拼成，前3层的摆放情况如图所示．同一层中每一行皆比前一行多2块，且每一层第一行皆比前一层第一行多2块． 【规律发现】 （2）①第10层的积木总块数为 ； ②前n层积木总块数为 ； 【规律应用】 （3）已知小明同学共用了576块菱形积木摆放了一个造型，求出这个造型一共摆放了多少层？ 【答案】（1）250500；（2）①69；②；（3）这个造型一共摆放了12层 【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字运算的特点，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． （1）利用连续的偶数相加等于两端的数相加乘数的个数除以2，直接列式分别计算得出答案即可． （2）①得出第n（n为正整数）层有块，代入计算即可； ②依照（1）的方法求解即可； （33）根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题目中的求解过程知，． 故答案为：250500； （2）①根据题意得：第n（n为正整数）层由（块）菱形积木拼成， ∴第10层的积木总块数为（块）． ②第一层由（块）菱形积木拼成， 第二层由（块）菱形积木拼成， 第三层由（块）菱形积木拼成． ∴． 故答案为：①69；②； （3）由题意得，， 解得，（舍去）， 答：这个造型一共摆放了12层． 【变式1】（2025·广东潮州·模拟预测）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 【答案】观察与思考：（1）15；（2），；拓展探究：一盒棋子的数量为144枚． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，数字类规律探索，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）摆放5层，探究组共用去棋子的数量为枚； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）探究组共用去棋子的数量为（枚）， 故答案为：15； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， 故答案为：，； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 【变式2】（2025·广东揭阳·模拟预测）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】(1)31， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”， …． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 题型04 图形循环规律 【典例】（2025·广东广州·模拟预测）如图，物体从A点出发，按照（第一步）（第二步）……的顺序循环运动，则第2023步到达（    ） A．A点 B．C点 C．G点 D．F点 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据物体的运动规律找出每8步一个循环是解题的关键．根据物体的运动规律可知：每8步一个循环，结合可知第2023步和第7步到达同一点，进而即可得出结论． 【详解】根据物体的运动规律可知，每8步一个循环， 又， ∴第2023步到达G点． 故选：C． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A开始沿正方形的边按A→B→C→D→A逆时针方向循环运动，当它的运动路程为2022时，点P所在位置为点 ． 【答案】C 【分析】先分析得出一周的路程为4，然后运用整式的除法得出所走的圈数，从而得出点P的位置； 【详解】由分析可知：动点P从A开始沿正方形的边按A→B→C→D→A逆时针方向运动一周路程为4， ∴当它的运动路程为2022时，， ∴点P应该从点A运动到点C； 故点P所在的位置是C； 故答案是C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化类问题，结合实际考查了整式的除法问题，关键是找到点P运动的规律． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是(　   　) A．点F B．点E C．点A D．点C 【答案】A 【详解】分析：利用菱形的性质，电子甲虫从出发到第1次回到点A共爬行了8cm（称第1回合），而2014÷8=251……6，即电子甲虫要爬行251个回合，再爬行6cm，所以它停的位置是F点． 详解：一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，从出发到第1次回到点A共爬行了8cm， 而2014÷8=251……6， 所以当电子甲虫爬行2014cm时停下，它停的位置是F点． 故选A． 点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 题型05 图形类规律综合 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，的度数，找出规律即可求解． 【详解】解：， ∴， 即第一个等腰三角形的底角度数为； ， ∴， 即第二个等腰三角形的底角度数为； 同理可得： 第三个等腰三角形的底角度数为； 第四个等腰三角形的底角度数为； … 综上所述，第个等腰三角形的底角的度数是； ∴第个等腰三角形的底角度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形中角度规律，涉及等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，由前面几个等腰三角形，找出底角度数规律是解题的关键． 【变式1】（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 【答案】A 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找出前四个图形的规律是解题的关键．通过第1、2、3和4个图案找出规律，进而得出第n个图案中长为1的线段和为，代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，长为1的线段和为 第2个图案由4个小正方形组成，长为1的线段和为 第3个图案由9个小正方形组成，长为1的线段和为 第4个图案由16个小正方形组成，长为1的线段和为 … 由此发现规律是： 第n个图案由个小正方形组成，长为1的线段和为， 第50个图形中长为1的线段和为． 故选：A． 【变式2】（2023·广东佛山·一模）在平面坐标系中，第1个正方形的位置如图所示，点的坐标为，延长交轴于点，作第2个正方形，延长交轴于点；作第3个正方形，…按这样的规律进行下去，若点、、…在直线上，则 ． 【答案】 【分析】先利用一次函数求出，再用三角形相似得出，，找出规律，即可求． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，， 正方形，正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， 同理可得，， 同理可得，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出前几个正方形的边长，找出规律． 1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及规律型：数字的变化类，设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，，将三个数相加，可得出三个数之和为，进而可得出三个数之和为的倍数，即可得出结论．根据各数之间的关系，找出三个数之和为3的倍数是解题的关键． 【详解】解：设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，， ∴三个数之和为或， ∴三个数之和为的倍数， 又∵， ， ， ， ∴方框中三个数的和可能是． 故选：B． 2．（2025·广东深圳·二模）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得：， ∴， 故选：A． 3．（2024·河南·一模）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2024次输出的结果是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，根据数值转换机中的规律，确定出第2024次输出的结果即可． 【详解】把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 故输出的结果是、、循环， 依此类推， ， 第2024次输出的结果为． 故选：D． 4．（2024·广东广州·一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…； （2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…． 利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（　　） A．2021 B．2022 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件的规律，得到f（2022）和f（）的值，即可求解． 【详解】解：∵f（1）=2=， f（2）=4=， f（3）=6= … ∴； ∵f（）＝2， f（）＝3， f（）＝4 ⋯ ∴f（）=2022 ∴f（2022）﹣f（）=4044-2022=2022． 故选：B． 【点睛】本题考查找规律的能力，关键在于找到题目的规律才能正确解题． 5．（2023·广东广州·一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要3根小木棒，拼第二个图形需要5根小木棒，拼第3个图形需要7根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2023根小木棒，则（　　） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】探索遵循的规律是，建立方程计算即可． 【详解】根据题意，遵循的基本规律是第n个图形需要根小木棒， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了整式的加减中规律探索，一元一次方程的解法，熟练掌握探索规律，灵活解方程是解题的关键． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得到图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（    ） A．243 B．192 C．256 D．768 【答案】D 【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数． 【详解】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41=12； 操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42=48； 操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43=192； 所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44=768； 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，锻炼学生的观察能力和总结能力． 7．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 8．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 9．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写： a 1 2 3 4 5 … 8 … S 1 3 6 … … 【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ． 【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由． 【答案】问题提出：见解析；变式探究：；应用拓展：，经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时 【分析】问题提出：根据前4个图形归纳类推出一般规律，再填表即可； 变式探究：观察图形可知，第1-3个图形的小圆圈总数依次为，再结合问题提出中的结论，归纳类推出一般规律即可得； 应用拓展：观察图形可知，经过1-4轮分裂后细胞总数依次为，再结合变式探究中的结论，归纳类推出一般规律，然后根据“细胞总数达到1261个”建立方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：问题提出：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为， 第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为， 第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为， 第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为， 则当时，， 当时，， 将表格填写如下： 1 2 3 4 5 … 8 … 1 3 6 10 15 … 36 … 变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为， 第2个图形的小圆圈的总数为， 第3个图形的小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为， 故答案为：； 应用拓展：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为， 经过2轮分裂后细胞总数为， 经过3轮分裂后细胞总数为， 经过4轮分裂后细胞总数为， 归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为， 假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 所以假设成立， 所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时． 【点睛】本题考查了图形的规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 10．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键． （1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答； （2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为， 这个海螺图形的周长为， ，且接近， ，且接近， ，且最接近的整数是13， 即最接近的整数是13． 11．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 12．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 13．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查对新定义阶乘的理解，归纳法的运用，裂项法的运用； （1）按照阶乘的定义展开等式的左右两边，即可发现左右两边是完全一样的算式； （2）运用归纳法从算式中归纳出规律从而得出结果； （3）这种分数形式的加法首先考虑裂项相消的方法，由题意得，然后将原式扩大得到，然后即可裂项相消，得出，所以. 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）解：∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴. 故答案为：. （3）解：∵ ∴ ∵ ∵ ∴ 综上所述 ∴. 故答案为：1. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $