精品解析：宁夏平罗中学2025-2026学年高三上学期第一次适应性考试（期末）数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一次适应性考试试题 高三数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分． 每道题只有一个选项符合题目要求．） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解指数型不等式得出集合，再进行集合间运算即可. 【详解】由可解得，故， 所以. 故选：B. 3. 立德中学高三某班有男生人，女生人.在某次数学定时练习中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，则该班本次数学成绩的平均分为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数公式可求得该班本次数学成绩的平均分. 【详解】由题意可知，该班本次数学成绩的平均分为分. 故选：C. 4. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到函数一个周期为2，从而代入计算即可. 【详解】，故的一个周期为2， 所以. 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦的和角公式展开已知条件，再通过平方关系结合二倍角公式求解. 【详解】依题意得：， 化简得：， 所以， 因为，， 代入得：， 解得：. 故选：C. 6. 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ） A. 若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B. 若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C. 若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D. 若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式，结合的不同取值范围分析人口数的变化趋势即可. 【详解】当时，，则逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A正确； 当时，，则逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B正确，C错误； 时，，则值不变，所以这期间人口数不变，故D正确. 故选：C. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线，记为第一象限的点，双曲线的焦距为，即可得到为等腰直角三角形，从而得到的坐标，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为，记为第一象限的点，如下图所示： 记双曲线的焦距为，依题意可得，，又， ，， 为等腰直角三角形， ，则点的坐标为，所以， ，. 故选：C 8. 已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义转化为在上恒成立，通过同构转化不等式后进行参变分离，再构造新函数利用导数求最值得解. 【详解】的定义域为， ，． 由题意，得在上恒成立， 即时，恒成立. 令 ，在单调递增， 若，则恒成立， 若，则由的单调性可得， 故恒成立. 即，令，则， 令，得， 当时，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减， ． 所以，即m的最小值为． 故选：B. 二、多选题：（每小题6分，共18分． 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分．） 9. 已知，且第6项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,B:利用第6项与第7项的二项式系数相等，故；对于C：将代入即可求得结果；对于D：将和代入，即可求得结果. 【详解】对于A：因为第6项与第7项的二项式系数相等，所以，则，故A不正确， 对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B正确； 对于C：令，得，所以C正确； 对于D：令，得，令，得， 所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 【答案】BC 【解析】 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可得求出的范围. 【详解】由题意， 在中，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，当时，， ∴， 当方程有三个不等的实根时， ∴，即，故B正确； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， ∵，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， ∴当即时，的图象在上方的正整数解为，C正确； 设切点为，则切线斜率， 切线方程为， ∵切线过点， ∴， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有两个不同的非零实根， ∴且，即且， 解得或或，D选项错误. 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分．） 12. 已知向量，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出在处的切线方程，设切点为，即可得到方程组，解得即可. 【详解】由，则，则，又当时， 所以曲线在处的切线为； 对于，可得，设切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程．） 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【小问1详解】 因，则， 又，所以， 从而，则是以为首项，公比为4的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得：. 则 16. 据国家权威机构统计，中国有3000万青少年具有不同程度的心理障碍，中小学生心理障碍患病率高达21.6％-42％，心理治疗专家表示，现在很多家庭只关注孩子的文化课学习，却往往忽略了青少年时期最重要的人格形成因子-------心理健康的培养和矫正.现随机调查了200名青少年是否参加过心理健康培训及其心理健康问题得到如下结果 参加过培训 未参过培训 合计 心理健康 64 36 100 有心理障碍 46 54 100 合计 110 90 200 （1）从未参加过培训的90人中按心理是否健康分层抽样抽取5人，再从这5人中任选3人做一次心理疏导，求3人中心理健康人数X的分布列和期望. （2）判断是否有95％的把握认为心理健康与参与培训有关. 附 0.150 0.100 0.050 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）分布列见解析，期望为 （2）有95％的把握认为心理健康与参与培训有关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出心理健康和有心理障碍的人数，得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出期望； （2）计算出卡方，与3.841比较后得到结论. 【小问1详解】 未参加过培训的90人中, 心理健康和有心理障碍的人数之比为， 故分层抽样抽取的5人中，心理健康和有心理障碍的人数分别为和， X的可能取值为0,1,2， ，，， 故分布列为 0 1 2 数学期望为； 【小问2详解】 ， 故有95％的把握认为心理健康与参与培训有关. 17. 已知是圆的两条互相垂直的直径，若将圆绕沿顺时针方向旋转一周后得到球，点（异于点）是圆旋转过程中点所形成的轨迹上的一点． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用和证得平面，最后利用线面垂直性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，结合即可得到相关点的坐标，最后算出平面和平面的法向量，再利用公式即可得到二面角的正弦值. 【小问1详解】 （1）如图，连接， 由题意易得为的中点，，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，因为，所以是等边三角形， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 所以，故二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值； （3）如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动． 【答案】（1） （2）证明见解析；3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知得到方程组，解方程组即得解； （2）不妨设，则，求出的值即得解，再利用基本不等式求解； （3）不妨设直线求出直线，直线，化简即得解. 【小问1详解】 解：椭圆和双曲线的焦距相同，． 将代入椭圆方程：可得． 或（舍），故所求椭圆方程为： 【小问2详解】 解：如图1，不妨设，则． ，易知， ，当且仅当，即时等号成立． 【小问3详解】 解：不妨设直线联立可得 ，可知直线． 同理可得：可知直线． 可知：． ，解得. 19. 设函数． （1）求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的最小值； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数研究单调性，利用单调性即可得值域； （2）参变分离，构造函数，利用二阶导数判断单调性即可得解； （3）利用裂项相消法化简求和即可得证. 【小问1详解】 由，，得 因为，则，，即 所以在区间单调递减，即值域为． 【小问2详解】 在区间上，由恒成立，得， 设，当时，，故只需研究时的情形. ，设， 在区间上，， 所以，在区间上单调递减，所以， 即在区间上单调递减，所以， 所以，解得，故的最小值为1． 【小问3详解】 由，，得即， 所以 由（1）可知，当时，，即， 所以当时，． 当时，有， 又由（2）知时，，所以 所以，故， 所以 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一次适应性考试试题 高三数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分． 每道题只有一个选项符合题目要求．） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 立德中学高三某班有男生人，女生人.在某次数学定时练习中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，则该班本次数学成绩的平均分为（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ） A. 若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B. 若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C. 若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D. 若在某一时期内，则这期间人口数不变 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. e 二、多选题：（每小题6分，共18分． 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分．） 9. 已知，且第6项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分．） 12. 已知向量，，则__________． 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 14. 已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程．） 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 16. 据国家权威机构统计，中国有3000万青少年具有不同程度的心理障碍，中小学生心理障碍患病率高达21.6％-42％，心理治疗专家表示，现在很多家庭只关注孩子的文化课学习，却往往忽略了青少年时期最重要的人格形成因子-------心理健康的培养和矫正.现随机调查了200名青少年是否参加过心理健康培训及其心理健康问题得到如下结果 参加过培训 未参过培训 合计 心理健康 64 36 100 有心理障碍 46 54 100 合计 110 90 200 （1）从未参加过培训的90人中按心理是否健康分层抽样抽取5人，再从这5人中任选3人做一次心理疏导，求3人中心理健康人数X的分布列和期望. （2）判断是否有95％的把握认为心理健康与参与培训有关. 附 0.150 0.100 0.050 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17. 已知是圆的两条互相垂直的直径，若将圆绕沿顺时针方向旋转一周后得到球，点（异于点）是圆旋转过程中点所形成的轨迹上的一点． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值； （3）如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动． 19. 设函数． （1）求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的最小值； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $