精品解析：湖南株洲市石峰区六校2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025年下学期期末素养监测样本卷（九年级） 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数图象经过点，则该反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，设反比例函数的关系式为，再将点的坐标代入解析式，即可求出解． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为． 故选：A． 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义：邻边比斜边，是解本题的关键．根据三角函数的知识进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ， 解得：， 故选：A． 3. 随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从4000件电子元件中随机抽取1000件进行检测，其中有3件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，弄清题意是解答本题的关键；根据随机抽取1000件进行检测，其中有3件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品． 【详解】解：（件）， 即这批电子元件中大约有12件次品， 故选：C． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 5. 如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意．   故选：B ． 6. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 7. 如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有个队参加比赛，则列式，即可作答． 【详解】解：设共有个队参加比赛，依据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场，得：， 故选：D． 9. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 10. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．当时，，从而抛物线与轴的交点坐标为，从而判断①正确；弦分别求出抛物线与轴的两个交点坐标分别为，设对称轴与轴交于点，连接，由顶点为，得，从而得，进而得是等腰直角三角形，故②正确；当时，抛物线与轴的一个交点坐标为，由对称轴，得另一个交点坐标为，故③错误；由抛物线的性质可判断④正确． 【详解】解：①∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴，故①正确； ②当时，， ∴对称轴为，顶点为， 令得，， 解得：或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为， 设对称轴与轴交于点，连接，如图， ∵顶点为， ， ∵轴， ， ， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ③当时，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵对称轴， ∴另一个交点坐标为， ∴，故③错误； ④∵抛物线上有两点和，若，且， ，即， ∴到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴．故④正确． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上. 【详解】解：∵抛物线 的开口向上， ∴ ， ∴ . 故答案为： 12. 某小区共有200户居民，从中随机抽取5户，每户月均用水量如下：（单位：吨）8，10，10，13，14．由此估计这200户居民每月共用水约为__________吨． 【答案】2200 【解析】 【分析】用小区200户家庭乘以随机抽取的用户的平均月用水量即可． 【详解】解： （吨）， 故答案为：2200． 【点睛】本题考查了平均数的计算和用样本估计总体的知识，熟知上述计算过程是解题的关键． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 14. 已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是______米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出，再求出当时的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：∵当频率赫兹时，波长米， ∴， ∴， ∴， 当时，，即当频率为34赫兹时，波长是10米， 故答案为：10． 15. 如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得：，然后根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 16. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故． 【详解】解：都是正方形， ， ， ， ， 与的面积比为， ， 设，则， ， 在中， ， 由“青朱出入图”可知：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、负指数幂与零指数幂的运算，熟练计算是解题的关键． 根据特殊三角函数值、负指数幂与零指数幂的运算即可． 【详解】解： ． 18. 已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 19. 为弘扬中华民族的优秀文化，某校开展以学习“四书”（大学、中庸、孟子、论语）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表： 主题 频数 频率 A大学 6 0.12 B中庸 20 m C孟子 0.18 D论语 n 合计 50 1 请结合上述信息完成下列问题： （1） ， ； （2）请补全条形统计图（画图后请标注C、D的数据）； （3）若该校共上交书画作品1900份，根据抽样调查结果，请估计以“孟子”为主题的作品份数． 【答案】（1）0.4；0.3 （2） 补全条形统计图如图所示． （3）342 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用主题的频数除以50可得的值；用1分别减去，，主题的频率可得的值． （2）分别求出，主题的频数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用1900乘以主题的频率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：0.4；0.3； 【小问2详解】 解：主题的频数为，主题的频数为． 【小问3详解】 解：（份． 估计以“孟子”为主题的作品份数约为342份． 20. 某地新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米，求车道的宽是多少米? 【答案】车道的宽为3米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系建立等式． 设车的宽为x米，根据喷漆面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽为x米， 根据题意得：， 解得，（舍）， 答：车道的宽为3米． 21. 如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽，测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，测角仪与的夹角为，又测得点C与河岸点B之间的距离为，已知，，点A，B，C，D，E，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且于点E． （1）求点C到直线的距离的长； （2）求河宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数是解题的关键． （1）由题意可得，则可求得； （2）求得，解直角三角形可求得，根据即可． 【小问1详解】 解：，测角仪与的夹角为， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ， ， ． 23. 综合与探究： （1）问题情景：如图，，连接交于点O，，，，则 ． （2）拓展延伸：如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N． ①当时，求线段的长． ②当P，Q在运动的过程中始终保持时，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②是定值 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得，再由相似三角形的性质解答即可； （2）①证明，，可得，，即可求解；②设，同理①可得，，从而得到，，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②是定值， 设． 同理①，得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）若点A的坐标为，求抛物线的解析式； （2）若此抛物线经过点，，求证：； （3）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：抛物线关于直线对称， ， 解得， ， 把点，代入， 可得，， ， ， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求得抛物线的解析式为，把点，代入可得，，求出关于的式子，进行配方，再利用平方的非负性即可解答； （3）设，过作轴，过作于，过作于，求出，得，再证，可得，，故，代入得：，解出值得的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线关于直线对称，与轴交于， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由抛物线的对称轴为直线，设， 当时，如图，过作轴，过作于，过作于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 设，， ， 把代入得：， 解得（负数舍去）， 的坐标为； 当时，如图，过作轴，过作于，过作于， 同理可得， 设，， ， 把代入得：， 解得（正数舍去）， 的坐标为； 综上，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末素养监测样本卷（九年级） 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数图象经过点，则该反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 3. 随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从4000件电子元件中随机抽取1000件进行检测，其中有3件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 10. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是____________． 12. 某小区共有200户居民，从中随机抽取5户，每户月均用水量如下：（单位：吨）8，10，10，13，14．由此估计这200户居民每月共用水约为__________吨． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 14. 已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是______米． 15. 如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则__________． 16. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 已知a为方程的一个根，求代数式的值． 19. 为弘扬中华民族的优秀文化，某校开展以学习“四书”（大学、中庸、孟子、论语）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表： 主题 频数 频率 A大学 6 0.12 B中庸 20 m C孟子 0.18 D论语 n 合计 50 1 请结合上述信息完成下列问题： （1） ， ； （2）请补全条形统计图（画图后请标注C、D的数据）； （3）若该校共上交书画作品1900份，根据抽样调查结果，请估计以“孟子”为主题的作品份数． 20. 某地新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米，求车道的宽是多少米? 21. 如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽，测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，测角仪与的夹角为，又测得点C与河岸点B之间的距离为，已知，，点A，B，C，D，E，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且于点E． （1）求点C到直线的距离的长； （2）求河宽． 23. 综合与探究： （1）问题情景：如图，，连接交于点O，，，，则 ． （2）拓展延伸：如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N． ①当时，求线段的长． ②当P，Q在运动的过程中始终保持时，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）若点A的坐标为，求抛物线的解析式； （2）若此抛物线经过点，，求证：； （3）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $