精品解析：山东济南市槐荫区2025-2026学年度第一学期期末质量检测七年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末质量检测 七年级数学 （2026.01） 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷满分为40分；第II卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本次考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为米，该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列调查适合全面调查（普查）的是（ ） A. 了解济南市民消费水平 B. 了解某品牌保温杯的保温情况 C. 调查神舟十九号载人飞船的零部件是否符合标准 D. 了解济南市七年级学生的视力情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了普查和抽查，全面调查适用于总体较小或要求精确的重要调查，神舟飞船零部件必须每个检查，符合普查特点． 【详解】解：A选项：了解济南市民消费水平，如果采用全面调查工作量太大，且该项调查不需要太高的精确度， 采用抽查的方式即可，故A选项不适合全面调查； B选项：了解某品牌保温杯的保温情况，该项调查对产品具有破坏性， 不适合采用全面调查的方式，故B选项不适合全面调查； C选项：调查神舟十九号载人飞船的零部件是否符合标准， 神舟十九号载人飞船的零部件的精确度要求高， 必须采用全面调查，故C选项适合全面调查； D选项：了解济南市七年级学生的视力情况，如果采用全面调查工作量太大，且该项调查不需要太高的精确度， 采用抽查的方式即可，故D选项不适合全面调查． 故选：C． 4. 如图所示为几何体的平面展开图，其对应的几何体名称为（ ） A. 正方体 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥的展开图特点作答． 【详解】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算与乘方运算，熟练掌握有理数的运算法则和符号判定规则是解题的关键． 本题为有理数运算的正误判断题，解题思路是根据有理数的减法、乘方、乘法、除法法则，逐一计算每个选项并判断对错． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A项错误； ∵ ， ∴ ，故B项错误； ∵ ， ∴ ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 6. 已知，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减或乘同一个数，等式仍成立；但除以同一个数时，除数不能为零，否则等式不一定成立，由此求解即可． 【详解】由于，根据等式的基本性质有： A、，成立； B、，成立； C、，成立； D、，当时成立，但a可能为0，因此不一定成立． 故选：D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘法，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方法则，熟知以上知识是解答本题的关键． 分别根据幂的乘方法则、单项式乘法、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答即可． 【详解】解： A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算正确，符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意． 故选：B． 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解． 设买羊的人数为x人，根据羊的价格不变，列出方程即可． 【详解】解：设买羊的人数为x人， 根据题意，可列方程为， 故选：D． 9. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 10. 班级板报有一正六边形区域，为展现数学之美，现要将其规划为“低多边形风格”，构造过程如下：在正六边形内取一定数量的点，连同正六边形的6个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到正六边形内所有区域都变成三角形（不计被分割的三角形）．如图，当正六边形内有100个点时，可分得的三角形个数为（ ） A. 204 B. 206 C. 214 D. 202 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了规律探究，解题关键得到规律是“每多一个点，增加两个三角形”，运用归纳的方法，推出公式，据此即可求得答案．观察图形，分别找出n为1，2，3时，有多少个三角形，找出规律，推出公式，即可求出答案． 【详解】解：当时，可分得6个三角形； 当时，可分得个三角形； 当时，可分得个三角形； ∴规律为：当正六边形内有n个点时，可分得个三角形， 当时，有个． 故选：A． 第II卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 木工师傅在锯木料时，一般先在木料上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这是因为_________________. 【答案】两点确定一条直线． 【解析】 【分析】依据两点确定一条直线来解答即可． 【详解】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 故答案为两点确定一条直线． 【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键． 12. 如图，点O是直线上一点，，则的度数为___________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】根据平角的定义，进行计算即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 13. 近年来，随着“文博热”持续升温，越来越多年轻观众走进博物馆，领略博大精深的中华优秀传统文化．婷婷在博物馆购买了4张冰箱贴，分别是“木质凤冠”“金属凤冠”“大盂鼎”和“船型彩陶壶”冰箱贴．让乐乐从中随机抽取一张，则乐乐抽到“金属凤冠”冰箱贴的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率计算，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵有“木质凤冠”“金属凤冠”“大盂鼎”和“船型彩陶壶”四种冰箱贴， ∴乐乐抽到“金属凤冠”冰箱贴的概率是， 故答案为：． 14. 如果是方程的解，那么_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查方程的解的定义，关键是将解代入方程得到关于的新方程，再求解． 【详解】解：是方程的解， 将代入方程，得，解得； 故答案为：． 15. 已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 _____． 【答案】10或20##20或10 【解析】 【分析】此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算． 【详解】解：∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴BM＝AB＝15，BN＝BC＝5， 如图，点C在线段AB上时， MN＝BM−BN＝15−5＝10， 如图，点C在线段AB的延长线上时， MN＝BM＋BN＝15＋5＝20； 故答案为：10或20． 【点睛】此题考查了两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键． 16. 定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数……则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，数字规律，根据差倒数的计算方法，分别求出，，，，值，找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，， ∴每三个循环一次， ∵， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方和同底数幂除法运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查去分母解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键；根据解一元一次方程的方法和步骤求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 方程的两边都除以，得． 19. 化简并求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，准确的计算是解决本题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再将代入求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 20. 如图，在同一个平面内有四个点，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： （1）作射线； （2）作直线与直线相交于点； （3）在射线上作线段，使线段与线段相等． 【答案】（1）如图所示，射线即为所求； （2）如图所示，点即为所求； （3） 线段即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了射线、直线的作法以及利用圆规截取等长线段； （1）用直尺将连接，使射线从出发经过，射线即为所求； （2）用直尺分别连接和，两条直线的交点即为点； （3）用圆规量取线段的长度，延长，以点为圆心，长为半径，在延长线上画弧，与它的交点为，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 【答案】大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个 【解析】 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，找准数量关系，列方程是解题的关键；设编织大号中国结个，则小号中国结编织个，根据题意列方程即可； 【详解】解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， 解得 ， ， 答：大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个． 22. 某学校倡导学生进行体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每周开展体育锻炼所用时长t（单位：小时）”进行了调查，并将收集的数据整理分析，数据共分为以下四组，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了_____名学生； （2）请补全频数直方图； （3）在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为_____． （4）根据图中的统计信息，你还能得到什么信息？ 【答案】（1）150 （2） 补全频数分布直方图如下： （3） （4） 该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数的频率为． 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解答本题的关键． （1）将B组人数除以所占百分比即可求出共调查了多少名学生； （2）将调查的总人数减去A组，B组，D组频数即可求出C组人数，再补全频数分布直方图； （3）将C组频数除以调查人数乘以即可求出扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数； （4）依据图中信息得出结论，合理即可，如：将该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数除以调查人数即可． 【小问1详解】 解：分为四组，其中B组30人，占比， ∴在这次抽样调查中，共调查了（名）， 故答案为：150； 【小问2详解】 解：C组频数为：． 【小问3详解】 解：扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； 【小问4详解】 略 23. 为落实“五育并举”，全面发展素质教育，槐荫区某学校为学生量身定制了“趣味运动会”活动．为此，某班级准备购买羽毛球拍5副和羽毛球盒（不少于5盒）．现了解情况如下：两个商店都销售某种品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价都是120元，羽毛球每盒定价都是30元．经洽谈后，商店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球：商店全部按定价的9折优惠． （1）在商店购买需付_____元；在商店购买需付_____元（请用含的代数式表示，并填写化简后的答案）； （2）当为多少时，两个商店优惠方案付款一样？ （3）当为40时，去哪家商店购买更划算？请通过计算说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，两个商店优惠方案付款一样 （3）在商店购买更划算，理由： 当时， 在商店购买需付：（元）， 在商店购买需付：（元）， 因为元，故在商店购买更划算． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出算式和方程． （1）根据两家店的优惠方式分别列出费用代数式； （2）结合（1）列方程即可求解； （3）把代入（1）中的代数式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：A商店购买：元， B商店购买：元； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， 当时，两个商店优惠方案付款一样； 【小问3详解】 略 24. 【问题情境】为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板始终在直线上方围绕点旋转． 【操作探究】 （1）如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____度，_____度； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，请直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】（1），； （2） 证明：平分， ； ， ； ， ， 是的平分线； （3） 【解析】 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，关键是利用直角、平角的性质和角平分线的定义进行角的推导与转化． （1）利用三角板的直角，结合已知，通过计算；再利用平角，通过计算； （2）先由平分得出，再结合推出，，从而得到，证明平分； （3）设，则，推出；再由得出，进而得到的数量关系． 【小问1详解】 解：，， ； ， ； 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 平分， ， ； ， ， ． 25. 【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①5；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形与几何意义，掌握完全平方公式的灵活变形是解决问题的关键． （1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图1中阴影部分的面积为长方形的面积，分别表示出来，再根据两个图中的阴影部分面积是相同的，即可得到等式； （2）图4中阴影正方形边长为，其面积可以由面积公式求解，也可以由边长为的大正方形的面积减去4个长方形的面积求得； （3）①由（2）得，再代值计算即可； ②利用整体思想，将，分别看成一个整体，结合完全平方公式可得，从而可求出的值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 故答案为：； （2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：， 方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：， 所以可得到等式：； 故答案为：； （3）①由（2）得， ∵， ∴， 故答案为：5； ②方法1：， ． 方法2：令， 则， 所以． 26. 已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足． （1）_____，_____，_____，点和点之间的距离为_____； （2）若点在数轴上对应的数为，当点、点间距离是点、点间距离的4倍时，请求出的值； （3）若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，，，2 （2）或 （3）存在符合条件的值， 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系、绝对值与平方的非负性、数轴上两点距离公式，以及代数式： （1）利用平方与绝对值的非负性求出，再代入计算，最后用数轴两点距离公式求距离； （2）先明确的距离表达式，根据题目倍数关系建立绝对值方程，再解方程得到的值； （3）先写出运动秒后点的坐标，再表示出的长度，代入化简，最后通过含的项系数为的条件求出定值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 点和点之间的距离为． 故答案为：1，，，2． 【小问2详解】 解：， ， 或． 【小问3详解】 解：存在符合条件的值， 经过秒点表示的数是，点表示的数是， ， ， 由题意，， ， 即存在符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量检测 七年级数学 （2026.01） 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷满分为40分；第II卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本次考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为米，该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查适合全面调查（普查）的是（ ） A. 了解济南市民消费水平 B. 了解某品牌保温杯的保温情况 C. 调查神舟十九号载人飞船的零部件是否符合标准 D. 了解济南市七年级学生的视力情况 4. 如图所示为几何体的平面展开图，其对应的几何体名称为（ ） A. 正方体 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 10. 班级板报有一正六边形区域，为展现数学之美，现要将其规划为“低多边形风格”，构造过程如下：在正六边形内取一定数量的点，连同正六边形的6个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到正六边形内所有区域都变成三角形（不计被分割的三角形）．如图，当正六边形内有100个点时，可分得的三角形个数为（ ） A. 204 B. 206 C. 214 D. 202 第II卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 木工师傅在锯木料时，一般先在木料上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这是因为_________________. 12. 如图，点O是直线上一点，，则的度数为___________． 13. 近年来，随着“文博热”持续升温，越来越多年轻观众走进博物馆，领略博大精深的中华优秀传统文化．婷婷在博物馆购买了4张冰箱贴，分别是“木质凤冠”“金属凤冠”“大盂鼎”和“船型彩陶壶”冰箱贴．让乐乐从中随机抽取一张，则乐乐抽到“金属凤冠”冰箱贴的概率是________． 14. 如果是方程的解，那么_____． 15. 已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 _____． 16. 定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数……则的值为_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程：． 19. 化简并求值：，其中． 20. 如图，在同一个平面内有四个点，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： （1）作射线； （2）作直线与直线相交于点； （3）在射线上作线段，使线段与线段相等． 21. 列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 22. 某学校倡导学生进行体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每周开展体育锻炼所用时长t（单位：小时）”进行了调查，并将收集的数据整理分析，数据共分为以下四组，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了_____名学生； （2）请补全频数直方图； （3）在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为_____． （4）根据图中的统计信息，你还能得到什么信息？ 23. 为落实“五育并举”，全面发展素质教育，槐荫区某学校为学生量身定制了“趣味运动会”活动．为此，某班级准备购买羽毛球拍5副和羽毛球盒（不少于5盒）．现了解情况如下：两个商店都销售某种品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价都是120元，羽毛球每盒定价都是30元．经洽谈后，商店每买一副羽毛球拍赠一盒羽毛球：商店全部按定价的9折优惠． （1）在商店购买需付_____元；在商店购买需付_____元（请用含的代数式表示，并填写化简后的答案）； （2）当为多少时，两个商店优惠方案付款一样？ （3）当为40时，去哪家商店购买更划算？请通过计算说明理由． 24. 【问题情境】为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板始终在直线上方围绕点旋转． 【操作探究】 （1）如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____度，_____度； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，请直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 25. 【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 26. 已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足． （1）_____，_____，_____，点和点之间的距离为_____； （2）若点在数轴上对应的数为，当点、点间距离是点、点间距离的4倍时，请求出的值； （3）若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $