第28章解直角三角形-综合与实践与复习2025-2026学年人教版数学九年级下册

第28章锐角三角函数 综合与实践-测量校徽的高度 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1.站在与教学楼底部A 同一水平地面的B 处，由于大树CD 的遮拦，视线恰能看到悬挂的校徽顶部 E 处(此时 F，C，E三点在同一直线上)； 2.测量 A,D 两点和B,D 两点间的距离; 3.用测角仪测得从眼睛 F 处看校徽顶部E 处的仰角∠EFG； 4.向后退至点 H 处时，视线恰好看到校徽底部 M 处(此时 N，C，M三点在同一直线上)，测量B，H两点间的距离； 5.用测角仪测得从眼睛 N 处看校徽底部M 处的仰角∠MNG. 实验图示 测量数据 1. AD=4m 3. BH=13.5m 备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2. AE,CD,FB,NH 均与地面垂直. 参考数据：sin 3°≈0.93. 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度 EM 的值. 新情境-生活中的三角函数 1.如图，矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯截面示意图，AB=15cm，杯中水面与CD 交于点E，当水杯底面AD 与水平面的夹角为α时，则杯中水的最大深度(即AF 的长)为() A.15sinα cm B.15cosα cm C.15tanα cm 2.[生活情境]我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图,两条伞骨所成的角∠BAC=130°,点 D 在伞柄AP 上,AE=AF=DE=DF=m,则AD 的长度可表示为() A. msin65° B. mcos65° C.2msin65° 3.[学科融合]小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率 (i为入射角，r为折射角).如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC 边的方向射出.若i=30°,AB=20cm,BC=5cm,则该玻璃透镜的折射率n为( ) A.2 B.1.6 C.1.5 D.1.4 4.[新考法]某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O 旋转.从图中所示的图尺可读出 cos∠AOB 的值是( ) A. B. . C. D. D. 章末复习 高频考点一 三个概念 1.在△ABC中,AB=13,BC=5,AC=12,则 sinA 的值为 . 2.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，A，B，C都是网格的顶点，以AB 为直径的圆经过C,D 两点,则 sin∠ADC 的值为 . 3.如图,以△ABC的边AB 为直径的⊙O经过点C,CD⊥AB 于点D,若 ,则 BC 的长为 . 4.已知α是锐角，且 则 sinα 的值为 ,cosα的值为 . 5.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D 是BC边上的一点(不与点B,C重合),DE⊥AC 于点E,则 tan∠CDE 的值为 . 高频考点二 一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算 6.计算: 高频考点三 三个应用 应用1 利用仰角，俯角解直角三角形 7.如图是小涵和小宇测量公园山坡上一个信号杆高度的示意图，他们在坡面 FB 上的点D 处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A 的仰角α为45°,DE 与坡面的夹角β为72.5°,又测得点 D 与信号杆底端B 之间的距离DB为22m.已知DE=1.7m,点A,B,C在同一条直线上,AB,DE 均与水平线 FC 垂直.(参考数据： (1)求点 D 到AB 的距离;(精确到0.1m) (2)求信号杆的高AB. 应用2 利用方位角解直角三角形 8.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB=4km.在 A 处测得货轮C 在北偏东45°的方向，在B 处测得货轮C 在北偏东 的方向，求货轮 C 离海岸线l 的距离. 应用3 利用坡角解直角三角形 9.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形 斜坡AB 的坡度i=3:4.已知斜坡CD 的长为20米， ，求斜坡 AB 的长.(结果精确到米.参考数据： 高频考点四 一种数学思想———分类讨论 10.在等腰三角形纸片ABC 中，AB=AC,，将纸片沿直线l 折叠，使点 A 与点B 重合,直线l 交AB 于点D,交直线 AC 于点E,连接BE.若 求 的面积. 综合与实践-测量校徽的高度 解：由题意，得四边形 AGFB，四边形AGNH 均为矩形, ∴FG=AB=AD+BD=4+10=14,NG=AH=AD+BD+BH=14+13.5=27.5. ∵在 Rt△EFG中, ∴EG=FG·tan∠EFG=14×tan43°≈13.02. ∵在 Rt△MNG中， ∴MG=NG·tan∠MNG=27.5× ∴EM=EG-MG=13.02-11=2.02(m).答:校徽的高度 EM 约为2.02m. 新情境-生活中的三角函数 1. B 2. D 解:连接EF 交AD 于点O. ∵AE=AF=DE=DF, ∴四边形AEDF 是菱形, 在 Rt△AOE 中, ∴OA=AE·cos∠OAE=mcos65°,∴AD=2OA=2mcos65°. 故选 D. 3. A 解：∵折射光线垂直AC，法线垂直AB, ∴r=∠A, 故选A. 4. A 解:连接AD. ∵OD是直径, ∴∠OAD=90°. 由题意知OD=1,OA=0.8, +∠ODA, ∴∠AOB=∠ODA, 故选A. 章末复习 1. 2. . 3.4 5. 6.解:(1)原式 (2)原式 7.解:(1)过点 D 作DH⊥AC 于点 H.由题意,得∠DBH=β=72.5°,在Rt△DBH 中, 可求点 D 到AB 的距离约为20.9 m; (2)过点 E 作EI⊥AC 于点I. 在 Rt△DBH 中,BH=BD·cos72.5°≈22×0.30=6.6, 在 Rt△AEI 中,AI=EI=20.9, ∴AB=AI+IH-BH=20.9+1.7-6.6=16(m). 8.解:过点 C 作CD⊥l于点D,过点 B作BE⊥l,交 AC 于点E. 可求 9.解:过点 A 作AE⊥BC 于点E,过点D 作DF⊥BC 于点 F. 可求 (米). 10.解：由题意知l垂直平分AB， ∴AD=BD,EA=EB. ∴可设AD=3x,则ED=4x, ∴AE=5x=5, ∴x=1, 即AD=BD=3,ED=4, ①当点 E 在 AC 上时(如图1),则CE=AC-AE=1, ②当点 E 在CA 的延长线上时(如图2),则CE=AC+AE=11, 综上所述，△BCE 的面积为 或 学科网（北京）股份有限公司 $