专题07 解直角三角形实际问题（6种类型36道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级下册

专题07 解直角三角形实际问题 （6种类型36道） 地 城 类型01 比较路线的远近 1．某区正着力推进“健康生活，宜居城区”建设，在郊区建成一处风景优美、设施完善的健身公园．健身公园的环形步道的平面图如图所示，环形步道是五边形，处为公园正门，、、、处分布了各种健身设施，在步道中距离处120米的处设有休息凉亭，连，点在的正东方，点在的北偏东上，点在的北偏西且在的东北方向上，点在的北偏西上．已知，米，米．（参考数据：，）    (1)求到的距离； (2)周日早上，小育和小才相约去公园锻炼身体，他们在正门处汇合后先打算一起去步道上的凉亭处热身．小育认为走路线①：更近；小才认为走路线②：更近；请你通过计算说明路线①近？还是路线②近？（结果精确到） 【答案】(1)点到的距离为米 (2)路线②更近，说明见解析 【详解】（1）解：过点作于，交于，过作于，如图，    由题中，， ∴， ． 由题等腰直角三角形中， 设，则， 由题在中， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴米 答：点到的距离为250米． （2）由（1）可知：， ， ∴路线①的长度为米． 过点作于， 在中， ∴， ∴ ∴， ∴路线②长度为 ∵， ∴路线②更近． 2．如图，在某公园一个三角形水池旁修建了两条步行路线：；．经测量，点在点的正西方处，点在点的正南方，点在点的北偏西方向，点在点的正南方40m处，点在点的正西方，点在点的北偏东方向．（结果精确到．参考数据： (1)求的长； (2)小亮想要选择一条较短的路线步行，请计算说明他应该选择路线①还是路线②． 【答案】(1) (2)他应该选择路线②，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点． ． 由题意得， 四边形是矩形． ． 在中，，， ． ， ． 在中，， ． ． 的长约为． （2）解：他应该选择路线②． 理由如下： 在中，， ． 在中，， ． 路线①的总路程， 路线②的总路程． ， 他应该选择路线②． 3．小南家预计“五·一”小长假外出游玩，小南爸爸从地图上了解四处国家级风景区，，，，如图，从点测得，两点分别在正南方向和南偏东方向；从点测得， 两点分别在南偏东方向和南偏西方向，点在点的正西方向千米处．（参考数据：， ，） (1)求，两风景区的距离（结果取根号）； (2)小南家预计从景点到游玩，小南爸爸设计两条路线：①，② 请计算说明选择哪条路线较近（结果精确到整数）？ 【答案】(1)，两风景区的距离为千米 (2)路线：①较近 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中，，， ∵ ∴， ∴ 答：，两风景区的距离为千米 （2）解：由（1）可得， ∴ 在中，， ∴ ∴路线：①较近 4．某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于的正东方向，点位于的正东方向，点位于点的西南方向1200米处，点位于点的南偏西方向，点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，，，，，） (1)求小明家点到商家点的距离．（结果保留根号） (2)骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【答案】(1)小明家点到商家点的距离为米； (2)骑手选择送餐路线①才能更快地将外卖送到小明家． 【详解】（1）解：过作于，过作于，如图所示： 由题意得：，，，， 在中，，. 在中，，， ， ． 答：小明家点到商家点的距离为米； （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ，． 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 路线①， 路线②， ， 骑手选择送餐路线①才能更快地将外卖送到小明家． 5．如图，一艘货船从港口出发，需要运至其正北方向海里处的港口，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口出发，经港口，休整，最后驶向港口；②由港口出发，经港口休整，最后驶向港口（休整时间忽略不计）．经勘测，港口在港口东北方向，港口在港口正北方向海里处，港口在港口东南方向，港口在港口南偏西方向，港口在港口北偏西方向． (1)求港口和港口之间的距离．（结果保留根号） (2)考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位） 【答案】(1)海里 (2)路线① 【分析】（）由题意可得，，即得，再解直角三角形即可求解； （）分别过点作垂直，垂足分别为点，解直角三角形求出，求出路线①和②的路程，比较即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，海里， ∴， ∴海里， ∴港口和港口之间的距离为海里； （2）解：如图，分别过点作垂直，垂足分别为点，则， 由题意得，，，， 海里， ∴四边形是矩形， ∴海里，， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴海里， ∴海里， 又∵海里， ∴路线①的路程为海里， 路线②的路程为海里， ∵， ∴应选择路线①． 6．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小西准备从点跑步到点去见小渝，小西决定选择一条较短线路，请计算说明小西应选择路线，还是路线？ 【答案】(1)的长度为米 (2)小西应选择路线 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，度所对的直角边为斜边的一半，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作交于点，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）根据度所对的直角边为斜边的一半得出，正切的定义求出，根据余弦的定义求出，分别求出路线和的距离，判断即可； 【详解】（1）解：过点作交于点，如图， 由题意，得，， 在中，， ∴， 在中，，且， ∴，； 又∵， ∴的长度为米； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴，， ∴路线长为：， 路线长为：， ∵， ∴小西应选择路线． 7．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向．地 城 类型02 谁先到达目的地 (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)小依先到停车场，说明见过程 【详解】（1）解：过点B作于点F，过点B作于点G，则四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：小依先到停车场，说明如下： 如图，延长交于点I，过点E作于点H， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则小依走过的路程为， ∴小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， ∴小钟所用的时间约为， ∵， ∴小依先到停车场． 8．如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果精确到米） (2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到） 【答案】(1)米 (2)小华先到 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（秒），小华所花时间：（秒）， ∵， ∴小华先到达展区． 9．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，运送到位于A港北偏东方向的D港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港，因装载工人人手不够，甲货轮花了5个小时装载货物，然后沿正北方向航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的西北方向航行一定距离到达C港，3个小时后装载好货物，再沿正东方向航行一定距离到达D港．（参考数据：， (1)求B，D两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行30海里，乙货轮每小时航行60海里，哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达D港 【详解】（1）解：过点B作于点G，作，交于点H，故， 根据题意得：海里，， 在中，海里， 在中，, ∴海里，海里， ∴海里， 在中，海里， 答：B，D两港之间的距离为海里； （2）解：过点作于点M， ∵， ∴， ∴， 由（1）知海里，海里，海里，海里， ∴， ∴海里，海里， 根据题意得：，则， ∴海里， ∴海里，海里， ∴甲货轮所用时间为：（小时）， 乙货轮所用时间为：（小时）， ∵， ∴甲货轮先到达D港． 10．五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向． （参考数据：，） (1)求A与B之间的距离；（结果保留根号） (2)小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)爸爸不能比小嘉和妈妈先到达平台D，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）如图，过作于，过作于，过作于，再利用，，，利用三角函数解答即可； （2）分别计算小嘉和妈妈步行的时间与爸爸步行的时间，再比较即可. 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，过作于， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴. （2）解：由题意可得：， ∴小嘉和妈妈步行的时间为（分钟）， 在中，，， ∴， ∴爸爸步行的时间为（分钟）； ∴爸爸b不能比小嘉和妈妈先到达平台D. 11．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，D两港装载物资，运送到位于A港正东方向的C港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港．2小时后，甲货轮装载好货物，再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东方向航行一定距离到达D港．乙货轮花了1小时装载货物，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．（参考数据：） (1)求A，C两港之间的距离（结果保留整数）； (2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行20海里，乙货轮每小时航行10海里，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)乙货轮先到达C港 【详解】（1）解：过点A作于点E，过点B作于点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）在上取点G，使，连接，设于点H， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴乙货轮到达C港用时， （小时）， ∵， ∴甲货轮到达C港用时， （小时）． ∵， 故乙货轮先到达C港． 12．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港、乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．    (1)求，两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离海里； (2)甲货轮先到达港． 【详解】（1）解：如图，过作于点，      ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴海里， 海里， ∴海里， ∴海里， ∴，两港之间的距离海里； （2）解：    由（）得：，，海里，海里， ∴海里； 由题意得：，，， ∴， ∴海里，海里， ∴甲行驶路程为：海里， 乙行驶路程为：海里， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 13．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) (1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) (2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 【答案】(1) (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解． 【详解】（1）分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ （2）16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 14．五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机．已知点位于点东北方向且米．点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米．    (1)求两个入口的距离；（结果保留根号） (2)妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为60米/分，在商店处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)能 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，，解、求得、，即可求解； （2）通过解，求得、，进而求得，根据“时间=路程速度”求得整个行走的时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，   四边形是矩形， ， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， （米）， 答：两个入口的距离为米． （2）解：在中，，， （米）， 在中，，， （米）， 四边形是矩形， （米）， （米）， ， 妈妈和小明可以能准时登机． 15．如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据：    ） (1)求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）； (2)早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数） 【答案】(1)米 (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴米， 答：D，E两打卡点之间的距离米； （2）解：小王9点45分前能回到A点，理由如下： 如图：延长交于， 由题意得：，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（分钟）， 而早上9点，小王出发，则大概9点42分能回到点A， ∴小王9点45分前能回到A点． 16．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） (1)求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） (2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 【答案】(1)海里 (2)能，见解析 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 由题意得：，，，， ∴，，， 在中，， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴海里； （2）解：过点作于点O， 在中，，， ∴， ∴小艇从到用时（小时）， 而检查用时分钟小时， ∴小艇从到再检查用时（小时）， 由题意得：， ∵中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴用时：（小时）， ∵， ∴能及时将维修配件送达灯塔M． 17．去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，）地 城 类型03 判断是否能按时 (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 【答案】(1) (2)能在受台风影响前及时撤离 【分析】本题考查了解直角三角形的应用在实际生活中的运用，正确理解题意，添加辅助线是解决本题的关键． （1）过点C作于D，在中，求出，， 在中，即可求出； （2）假设30分钟台风行驶到点F处，过点F作于点H，连接，在中，，，， 最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于D， 由题意得：，，， 在中，，， 在中，（千米）， 答：当台风中心到达B地时距海港C还有千米． （2）解：过点F作于点H，连接． 在，，∴， ∴， ∴， ∴台风速度为， ∴现在台风在直线l上的速度为 假设30分钟台风行驶到点F处，则， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， 而， ∵， ∴不会收到影响，能及时撤离． 18．日前一名男子报警称，在菲律宾南部发现印有马来西亚国旗的飞机残骸，怀疑是失联的马航MH370客机，马来西亚警方立即派出直升机前去查证．飞机在空中A点看见残骸C的俯角为20°，继续沿直线AE飞行16秒到达B点，看见残骸C的俯角为45°，已知飞机的飞行度为3150米/分． （参考数据：tan20°≈0.3，cos20°≈0.9，sin20°≈0.2） （1）求残骸到直升机航线的垂直距离CD为多少米？ （2）在B点时，机组人员接到总指挥部电话，8分钟后该海域将迎来比较大的风浪，为了能及时观察取证，机组人员决定飞行到D点立即空投设备，将残骸抓回机舱（忽略风速对设备的影响），已知设备在空中的降落与上升速度均为700米/分．设备抓取残骸本身需要6分钟，请问能否在风浪来临前将残骸抓回机舱？请说明理由． 【答案】（1）CD为360米；（2）能在风浪来临前将残骸抓回机舱．理由见解析 【详解】试题分析：（1）设CD=x米，根据题意得到BD=x米，根据正切的概念列式计算即可； （2）计算出直升飞机往返需要的时间与8分钟进行比较即可． 解：（1）设CD=x米， ∵∠DBC=45°， ∴BD=x米， 由题意得，AB=3150×=840米， tanA=，即=0.3， 解得，x=360米 ∴残骸到直升机航线的垂直距离CD为360米； （2）直升飞机从B到D需要的时间：≈0.11分， 直升飞机从D到C和返回需要的时间：≈1分， 0.11+1+6=7.11＜8， ∴能在风浪来临前将残骸抓回机舱． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 19．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）地 城 类型04 坡度与坡角 (1)求点D到的距离； (2)求塔的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)点D到的距离为5米 (2)塔的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）过点D作于点G，利用坡度进行求解即可； （2）过点D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）解：过点D作于点G． 在中， ， ，即， ∵米， 米， 答：点D到的距离为5米； （2）解：过点D作于点H，则四边形是矩形． 米， 设，则米， 在中， ， ， 在中，米， 米， 在中， ， ． 解得米， 答：塔的高度约为米． 20．重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． (1)求点到山脚的水平距离； (2)求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)点到山脚的水平距离为米 (2)建筑物的的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得米，，先由斜坡的坡度为：，设米，米，从而利用勾股定理求出，再根据米，求出的值，从而求出，的长，进行计算即可解答； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，根据题意可得米，，先米，从而表示出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义，列出关于的方程，即可求出的值，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则米，， 斜坡的坡度为：， ， 设米，米， （米）， 米， ， ， （米），（米）， 米， （米）， 点到山脚的水平距离为米； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 则米，， 设米， 米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， 米，米， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的的高度为米． 21．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点G，在中，求出，在中，求出，进而求出； （2）过点F作于点H，过点E作于点M，证明出，在中，求出，在中，求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 在中， 米， （米）， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：的距离为米； （2）如图，过点F作于点H，过点E作于点M， 由题意，知， ∴四边形是矩形， ， 在中， 32米，， （米）， ， ， 又， ， 在中， 米， （米）， （米）， 米， 答：货车顶端E到水平线的距离约为米． 22．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)张老师所带队伍先到山顶 【分析】（1）设过点的水平线交于点，过点作于点，易证得四边形为矩形，故可设米，则米，在中，可求得米，米，进而可得米，米，米，由，可得，进而可得，由等角对等边可得，即，解方程即可求得的长，然后根据即可求出山顶离水平地面的高度； （2）由（1）可知米，进而可得米，米，米，再列式求出路线一所需时间和路线二所需时间，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（坡度坡比问题），解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 23．“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】(1)米 (2)小华先到达终点处 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在的正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 24．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 答：到三楼地面的高度为． （2）如图，过点作于点，过点作于交于， 由题意可知，，四边形、四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ． 答：日光灯到三楼地面的高度为． 25．国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，，地 城 类型05 方位角相关问题 (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 26．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)； (2)甲先到达点 ． 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 27．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【详解】（1）解：延长交于， 由题意， 在中， ∵米， ∴米， 米， 在中， ， ， 米，米， ， ， ， ， 米， 答：的长度为米； （2）解：， ∴，， ，， ， 作， 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 米， 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米， 小明用时：， 米， 小亮用时， ， ∴小亮早到． 28．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作，交的延长线于点，假设，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 假设， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据题意得， , ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 29．如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)小明家A到小亮家B的距离是米； (2)小亮先到达图书馆，理由见解析． 【分析】本题考查直角三角形的应用—方位角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． （1）作于，得到，由锐角的正弦求出的长，由是等腰直角三角形，解直角三角形得到（米； （2）由三角形中位线定理求出的长，即可求出小亮行走的路程，求出的长即可得到小明行走的路程，从而求出小明，小亮行走的时间，即可解决问题； 【详解】（1）解：作于， ，， ， ， ∵米， 米， ∵ 是等腰直角三角形， 米， 小明家到小亮家的距离是米． （2）解：由上得是等腰直角三角形， ∴米， 在中，米 ∴小明的路程是米，小明的速度是米分钟， 小明从家到图书馆的时间是分钟， ，分别是，的中点， 是的中位线， 米， 小亮的路程是米， 小亮从家到图书馆的时间是分钟， 小亮先到达图书馆． 30．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 31．“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：）地 城 类型06 建筑物相关俯角仰角 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质和判定，过点A作，交的延长线于点F，得到四边形为矩形，求出，设，则，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点F， ∵点B，D在同一水平线上，， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意知，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：“生命之树”主体的高度约为． 32．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 33．如图1所示的贵州民族文化宫是贵州民族特色建筑，某数学兴趣小组利用所学的知识测量文化宫的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图2，在点处，测得处到文化宫底部处的水平距离为，，无人机沿着方向飞行到达处，此时测得文化宫顶部处的仰角为．已知于点，点，，，，均在同一平面内． (1)求的长； (2)求贵州民族文化宫的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)38m (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，熟悉直角三角形中的边角关系是解题的关键．熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到求得，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ； 答：的长为； （2）解：在中，， ， ， 过作于， 则四边形是矩形， ，， ， ， 答：贵州民族文化宫的高度约为． 34．如图1是我们衡阳市的地标建筑 “首峰之眼”摩天轮．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了米到达点C，最后再沿水平方向向左行走米到达摩天轮最低点N处（A，B，C，M，N均在同一平面内）． (1)求点C到的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】(1)12米 (2)88米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为．在中，，设，得到，解得，则米．米； （2）延长交于点，证明四边形是矩形．则米，米．得到米，在中，由得到，即可求出摩天轮的高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在中， 设 解得 则米．米． 答：点到的距离是12米． （2）延长交于点， ∵，由题意知， 四边形是矩形． 米，米． （米） 在中，∵， （米）． （米）． 35．安徽广播电视中心建筑结合了前沿的科技成果和现代的建筑理念，建筑布局整体平面造型如飞翔的凤凰，而立面灵感则来自己于“龙”之精神，展现了安徽广电“升腾”之意，同时隐喻安徽“蓬勃向上”的发展态势．形式简洁现代，富有动感．安徽广播电视中心大楼用篆书字体打乱书写有万方安徽的地名、河名、湖名、山名等的汉字幕墙，体现人性化设计，营造出浓厚的文化氛围．某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：）    【答案】214米 【详解】解：过点作于点，    则米，， 在中，， ， 解得， 在中，， ， （米）． 观景台的高约为214米． 36．湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的仰角为，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点D处用测角仪测得塔底B的仰角为．请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山的高度约为多少米．（参考数据：） 【答案】小山高度约为94米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意可设米，则米，由列方程求解即可． 【详解】解：设米， 由题意，， ， ∴， ， 解得，， 答：小山高度约为94米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解直角三角形实际问题 （6种类型36道） 地 城 类型01 比较路线的远近 1．某区正着力推进“健康生活，宜居城区”建设，在郊区建成一处风景优美、设施完善的健身公园．健身公园的环形步道的平面图如图所示，环形步道是五边形，处为公园正门，、、、处分布了各种健身设施，在步道中距离处120米的处设有休息凉亭，连，点在的正东方，点在的北偏东上，点在的北偏西且在的东北方向上，点在的北偏西上．已知，米，米．（参考数据：，）    (1)求到的距离； (2)周日早上，小育和小才相约去公园锻炼身体，他们在正门处汇合后先打算一起去步道上的凉亭处热身．小育认为走路线①：更近；小才认为走路线②：更近；请你通过计算说明路线①近？还是路线②近？（结果精确到） 2．如图，在某公园一个三角形水池旁修建了两条步行路线：；．经测量，点在点的正西方处，点在点的正南方，点在点的北偏西方向，点在点的正南方40m处，点在点的正西方，点在点的北偏东方向．（结果精确到．参考数据： (1)求的长； (2)小亮想要选择一条较短的路线步行，请计算说明他应该选择路线①还是路线②． 3．小南家预计“五·一”小长假外出游玩，小南爸爸从地图上了解四处国家级风景区，，，，如图，从点测得，两点分别在正南方向和南偏东方向；从点测得， 两点分别在南偏东方向和南偏西方向，点在点的正西方向千米处．（参考数据：， ，） (1)求，两风景区的距离（结果取根号）； (2)小南家预计从景点到游玩，小南爸爸设计两条路线：①，② 请计算说明选择哪条路线较近（结果精确到整数）？ 4．某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于的正东方向，点位于的正东方向，点位于点的西南方向1200米处，点位于点的南偏西方向，点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，，，，，） (1)求小明家点到商家点的距离．（结果保留根号） (2)骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 5．如图，一艘货船从港口出发，需要运至其正北方向海里处的港口，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口出发，经港口，休整，最后驶向港口；②由港口出发，经港口休整，最后驶向港口（休整时间忽略不计）．经勘测，港口在港口东北方向，港口在港口正北方向海里处，港口在港口东南方向，港口在港口南偏西方向，港口在港口北偏西方向． (1)求港口和港口之间的距离．（结果保留根号） (2)考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位） 6．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小西准备从点跑步到点去见小渝，小西决定选择一条较短线路，请计算说明小西应选择路线，还是路线？ 7．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向．地 城 类型02 谁先到达目的地 (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 8．如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果精确到米） (2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到） 9．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，运送到位于A港北偏东方向的D港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港，因装载工人人手不够，甲货轮花了5个小时装载货物，然后沿正北方向航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的西北方向航行一定距离到达C港，3个小时后装载好货物，再沿正东方向航行一定距离到达D港．（参考数据：， (1)求B，D两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行30海里，乙货轮每小时航行60海里，哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 10．五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向． （参考数据：，） (1)求A与B之间的距离；（结果保留根号） (2)小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数） 11．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，D两港装载物资，运送到位于A港正东方向的C港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港．2小时后，甲货轮装载好货物，再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东方向航行一定距离到达D港．乙货轮花了1小时装载货物，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．（参考数据：） (1)求A，C两港之间的距离（结果保留整数）； (2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行20海里，乙货轮每小时航行10海里，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 12．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港、乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．    (1)求，两港之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 13．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) (1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) (2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 14．五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机．已知点位于点东北方向且米．点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米．    (1)求两个入口的距离；（结果保留根号） (2)妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为60米/分，在商店处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：，） 15．如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据：    ） (1)求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）； (2)早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数） 16．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） (1)求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） (2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 17．去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，）地 城 类型03 判断是否能按时 (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 18．日前一名男子报警称，在菲律宾南部发现印有马来西亚国旗的飞机残骸，怀疑是失联的马航MH370客机，马来西亚警方立即派出直升机前去查证．飞机在空中A点看见残骸C的俯角为20°，继续沿直线AE飞行16秒到达B点，看见残骸C的俯角为45°，已知飞机的飞行度为3150米/分． （参考数据：tan20°≈0.3，cos20°≈0.9，sin20°≈0.2） （1）求残骸到直升机航线的垂直距离CD为多少米？ （2）在B点时，机组人员接到总指挥部电话，8分钟后该海域将迎来比较大的风浪，为了能及时观察取证，机组人员决定飞行到D点立即空投设备，将残骸抓回机舱（忽略风速对设备的影响），已知设备在空中的降落与上升速度均为700米/分．设备抓取残骸本身需要6分钟，请问能否在风浪来临前将残骸抓回机舱？请说明理由． 19．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）地 城 类型04 坡度与坡角 (1)求点D到的距离； (2)求塔的高度．（结果精确到0.1米） 20．重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． (1)求点到山脚的水平距离； (2)求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 21．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 22．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 23．“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 24．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 25．国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，，地 城 类型05 方位角相关问题 (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 26．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 27．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 28．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 29．如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 30．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 31．“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：）地 城 类型06 建筑物相关俯角仰角 32．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 33．如图1所示的贵州民族文化宫是贵州民族特色建筑，某数学兴趣小组利用所学的知识测量文化宫的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图2，在点处，测得处到文化宫底部处的水平距离为，，无人机沿着方向飞行到达处，此时测得文化宫顶部处的仰角为．已知于点，点，，，，均在同一平面内． (1)求的长； (2)求贵州民族文化宫的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 34．如图1是我们衡阳市的地标建筑 “首峰之眼”摩天轮．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了米到达点C，最后再沿水平方向向左行走米到达摩天轮最低点N处（A，B，C，M，N均在同一平面内）． (1)求点C到的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 35．安徽广播电视中心建筑结合了前沿的科技成果和现代的建筑理念，建筑布局整体平面造型如飞翔的凤凰，而立面灵感则来自己于“龙”之精神，展现了安徽广电“升腾”之意，同时隐喻安徽“蓬勃向上”的发展态势．形式简洁现代，富有动感．安徽广播电视中心大楼用篆书字体打乱书写有万方安徽的地名、河名、湖名、山名等的汉字幕墙，体现人性化设计，营造出浓厚的文化氛围．某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：）    36．湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的仰角为，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点D处用测角仪测得塔底B的仰角为．请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山的高度约为多少米．（参考数据：） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $