第19讲 等腰三角形（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第19讲 等腰三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 等腰三角形的性质与判定 题型01 等腰三角形的性质与判定综合 命题点二 等边三角形的性质与判定 题型01 等边三角形的性质与判定综合 命题点三 垂直平分线的性质与判定 题型01 垂直平分西那的性质与判定综合 05·重难突破·思维进阶难 11 突破一 等边三角形与旋转综合 突破二 等腰三角形与全等三角形的综合 06·优题精选·练能提分 14 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质与判定 辽宁卷 T22 抚顺/葫芦岛卷T9， 掌握等角对等边 等边三角形的性质说判定 辽宁卷 T6 辽宁卷 T4 抚顺/葫芦岛卷 T25 结合旋转、对称理解特殊性质 垂直平分线的性质与判定 辽宁卷 T19 本溪/铁岭/辽阳卷 T17/9 会尺规作图，理解垂直平分线的性质。 命题预测 近3年辽宁中考该板块为必考内容，分值占比 6-12 分，覆盖选择、填空、解答全题型，以基础中档题为主，压轴题多以等腰存在性、垂直平分线模型渗透考查，2026 年将延续 “基础稳、综合活、重应用” 的命题思路。 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1．（辽宁·模拟测试）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 考点二 等边三角形的判性质与判定 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1．（辽宁·模拟测试）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． 【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，小李家位于空地旁的点，通过测量．，请直接写出线段的长． 2．（辽宁·模拟测试）（1）在与中，点在线段上，点在边右侧．，，，根据题意回答问题： ①如图1，当点与点重合时，求证：； ②如图2，当点线段上时，求证：； （2）如图3，在等边中，点，分别为线段，上一点，，连接交于点，连接，若，求的值． 考点三 垂直平分线的性质与判定 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的对角线，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点，，交于点，连接，．若，，则平行四边形的面积为（    ）    A．16 B．24 C．32 D．64 2．（辽宁·模拟测试）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 命题点一 等腰三角形的性质与判定综合 ►题型 01·等腰三角形的性质与判定 【典例1】（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【变式1】（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 【变式2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·辽宁抚顺·二模）【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上． 【问题初探】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 命题点二 等边三角形的性质与判定综合 ►题型 01· 等边三角形的性质与判定综合 【典例2】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2】（辽宁·模拟测试）如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【变式3】（辽宁·模拟测试）是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则______°． (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②连接，若，C，P三点共线，，求的长． 命题点三 垂直平分线的性质与判定综合 ►题型 01·垂直平分线的性质与判定综合 【典例3】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 【变式1】（辽宁·模拟测试）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（辽宁·模拟测试）如图，在中，，，则的度数为 ． 【变式3】（辽宁·模拟测试）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则 ． 突破一 等边三角形与旋转综合 【典例1】（辽宁·模拟测试）如图，中，，将绕A点逆时针旋转得到 ，连接交于点F． (1)求的度数； (2)若，四边形是菱形，求的长度． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图，是等边三角形，点D在边上， (1)如图1，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，连接，求证：； (2)如图2，在（1） 的条件下，延长至点F，连接，若，求证：； (3)如图3，延长至点H，连接，，若，，求的长． 突破二 等腰三角形与全等三角形的综合 【典例2】（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【变式1】（辽宁·模拟测试）如图1，是等腰直角三角形，点是轴上的一点，边交轴于点． (1)若点，直接写出点的坐标___________； (2)如图2，将沿轴负方向平移一定单位后，使边交轴于点．过点作轴且，连接．过点作轴交于点，连接，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，若点坐标为，点在第一象限内，连接，过点作交轴于点，在上截取，连接，过点作，交于点，试探究点在上的位置关系，并说明理由． 【变式2】（辽宁·模拟测试）（1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，过点，作，，垂足分别为、．求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，是等腰直角三角形，，．求点坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，求点的横坐标． 1．（辽宁·模拟测试）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（    ） A． B． C． D．或 2．（辽宁·模拟测试）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 3．（辽宁·模拟测试）如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 4．（辽宁·模拟测试）在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 6．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 7．（辽宁·模拟测试）如图，中，，平分，点E为的中点，则的长为 ． 1．（2025·辽宁大连·一模）如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，若，求的面积． 2．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点． (1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长． (2)将问题一般化：如图，当时，求的长． (3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长． 3．（辽宁·模拟测试）如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 1．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 7．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． 8．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ． 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 10．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 12．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第19讲 等腰三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 等腰三角形的性质与判定 题型01 等腰三角形的性质与判定综合 命题点二 等边三角形的性质与判定 题型01 等边三角形的性质与判定综合 命题点三 垂直平分线的性质与判定 题型01 垂直平分西那的性质与判定综合 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 等边三角形与旋转综合 突破二 等腰三角形与全等三角形的综合 06·优题精选·练能提分 40 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质与判定 辽宁卷 T22 抚顺/葫芦岛卷T9， 掌握等角对等边 等边三角形的性质说判定 辽宁卷 T6 辽宁卷 T4 抚顺/葫芦岛卷 T25 结合旋转、对称理解特殊性质 垂直平分线的性质与判定 辽宁卷 T19 本溪/铁岭/辽阳卷 T17/9 会尺规作图，理解垂直平分线的性质。 命题预测 近3年辽宁中考该板块为必考内容，分值占比 6-12 分，覆盖选择、填空、解答全题型，以基础中档题为主，压轴题多以等腰存在性、垂直平分线模型渗透考查，2026 年将延续 “基础稳、综合活、重应用” 的命题思路。 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1．（辽宁·模拟测试）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点二 等边三角形的判性质与判定 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1．（辽宁·模拟测试）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． 【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，小李家位于空地旁的点，通过测量．，请直接写出线段的长． 【答案】【思考探究】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 思考探究：根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：思考探究：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ； 理解应用：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知： ， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 2．（辽宁·模拟测试）（1）在与中，点在线段上，点在边右侧．，，，根据题意回答问题： ①如图1，当点与点重合时，求证：； ②如图2，当点线段上时，求证：； （2）如图3，在等边中，点，分别为线段，上一点，，连接交于点，连接，若，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，构造全等三角形是解题关键． （1）①根据全等三角形的判定和性质即可证明；②在上截取，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，结合等角对等边得出，即可得出结果． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：在上截取，连接，如图所示： ∵，，， ∴与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上截取，连接，如图所示： ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点三 垂直平分线的性质与判定 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的对角线，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点，，交于点，连接，．若，，则平行四边形的面积为（    ）    A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．本题先求证四边形为菱形，从而得到，再由平行线间的距离相等，面积比等于底边比得，求出，，从而问题即可求解． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：A． 2．（辽宁·模拟测试）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 命题点一 等腰三角形的性质与判定综合 ►题型 01·等腰三角形的性质与判定 【典例1】（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 【变式1】（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 则四边形的周长是， 故选：D． 【变式2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义．利用平行四边形的性质得出，，进而得出，，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出的长，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ，， 的角平分线交于点，， ， ∴， ， ∵， ∴． 故选：C． 【变式3】（2024·辽宁抚顺·二模）【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上． 【问题初探】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）成立，见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，平行线的性质等，正确作出啨线是解答本题的关键． （1）连接，分别证明和即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，连接，证明，，得出，得出，证明，，即可得出结论； （3）如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接，，解题思路同（2） 【详解】（1）证明：如图，连接 答图1 当，点E与点C重合时，， 由旋转可得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 证明：如图，过点D作，交于点M，连接 ∴ ∵当，点E在线段上时，， ∴， ∴ ∴，， 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴ （3）成立 证明：如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接， ∴， ∴ ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 命题点二 等边三角形的性质与判定综合 ►题型 01· 等边三角形的性质与判定综合 【典例2】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)成立，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论； （2） 仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论； （3）结论仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图 ①∵为等边三角形， ∴， 又为中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴． （2）仍然成立，理由如下： 如图，过点D作交AC于M ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴． （3）的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图． 作交的延长线于， ∴ ∴为等边三角形， ，， 而， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定及三线合一，熟练掌握该知识点是关键．根据等边三角形的判定解答即可． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 为角平分线，， ． 故选：C． 【变式2】（辽宁·模拟测试）如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长． 【详解】解：∵在等边中，，D是的中点， ∴，， ∴． ∵将绕点A旋转后得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 【变式3】（辽宁·模拟测试）是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则______°． (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②连接，若，C，P三点共线，，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②8 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可； （2）①如图1，连接，在上取一点，使，证明，则，证明是等边三角形，则，；②由，C，P三点共线，可得，证明，则，由①知，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： 如图1，连接，在上取一点，使， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ②解：∵，C，P三点共线， ∴， 由折叠可知，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴， 解得，， ∴， ∴的长为8． 命题点三 垂直平分线的性质与判定综合 ►题型 01·垂直平分线的性质与判定综合 【典例3】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形中，，是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线与边交于点G，连接，则的长是（   ） A． B． C．3.4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．利用基本作图得到垂直平分，则，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求得即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得，即的长为3.4， 故选：C． 【变式1】（辽宁·模拟测试）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D， ∴直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（辽宁·模拟测试）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，能从作图痕迹中判断出线段垂直平分线和角平分线是解答的关键． 根据作图痕迹，利用线段垂直平分线和角平分线的定义，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，是垂直平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（辽宁·模拟测试）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的性质可知、，根据等边对等角可得、，根据角之间的关系可以得到． 【详解】解：在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为： ． 突破一 等边三角形与旋转综合 【典例1】（辽宁·模拟测试）如图，中，，将绕A点逆时针旋转得到 ，连接交于点F． (1)求的度数； (2)若，四边形是菱形，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和菱形的性质是解答的关键． （1）证明得到，再根据三角形的内角和定理可得即可解答； （2）利用菱形的性质得到，，则，进而求得，然后利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】（1）解：∵绕A点逆时针旋转得到 ，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设、相交于O，如图， ∵，，， ∴，即； （2）解：∵，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图，是等边三角形，点D在边上， (1)如图1，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，连接，求证：； (2)如图2，在（1） 的条件下，延长至点F，连接，若，求证：； (3)如图3，延长至点H，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）先证明，再根据证明； （2）过点D作，得，证明是等边三角形，再证明和即可得出结论； （3）延长至点M，使，连接，过点D作，证明 得，设，则 ,在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得， ∴， ∴，     ∴； （2）证明：如图，过点D作， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图，延长至点M，使，连接， ∴, ∵, ∴, ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴, 过点D作， ∵ ∴ ∴, 设，则 在中，, ∴ 解得： ∴． 突破二 等腰三角形与全等三角形的综合 【典例2】（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 【变式1】（辽宁·模拟测试）如图1，是等腰直角三角形，点是轴上的一点，边交轴于点． (1)若点，直接写出点的坐标___________； (2)如图2，将沿轴负方向平移一定单位后，使边交轴于点．过点作轴且，连接．过点作轴交于点，连接，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，若点坐标为，点在第一象限内，连接，过点作交轴于点，在上截取，连接，过点作，交于点，试探究点在上的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为的中点，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点C作轴于点，再证明即可； （2）在上截取，连接．先证明，得，，再证明，得即可； （3）过点O作交的延长线于点R，连接．先证明是等腰直角三角形，得，，再证明，得，，设，则，推出，再证明即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点， ，是等腰直角三角形，， ，，，， ，， ， ，， 故的坐标为， 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接．如图2， 轴，轴， ． 在和中， ， ， ，． ， ， 即， 是等腰直角三角形， ， ． 在和中， ， ， ， ； （3）解：点为的中点．理由如下： 过点作交的延长线于点，连接．如图3， ，， ， 是等腰直角三角形， ，． ，， ，， ． 在和中， ， ， ，． 设，则， ， ，， 得， 在和中， ， ， ，即点为的中点． 【变式2】（辽宁·模拟测试）（1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，过点，作，，垂足分别为、．求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，是等腰直角三角形，，．求点坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，求点的横坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，由同角的余角相等可得，最后利用证明即可得证； （2）过点作轴，垂足为．证明得出，，再结合题意可得，．从而可得，．求出．最后再由点在第四象限，即可得解； （3）过点作轴，垂足为．证明得出，再证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． 在中，， ， ， ． 在和中， ， （2）如图1，过点作轴，垂足为． ． ， ， ， ． 又，， ， ，． 点，点， ，． ，． ． 点在第四象限， ； （3）如图2，过点作轴，垂足为． ，． ， ， ， ， ． ， ， 又， ， ． 又， ， ． 轴， ， ． ，， ， ． ， 点在第三象限， 点的横坐标为． 1．（辽宁·模拟测试）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为4和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为8，则4、8、8可以构成三角形，周长为20； 当4为腰时，其它两边为4和8，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 故选：C． 2．（辽宁·模拟测试）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（辽宁·模拟测试）如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 4．（辽宁·模拟测试）在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和，解题关键在于熟练掌握垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，即可得到结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 6．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，进而求得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，线段的和差等，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质． 7．（辽宁·模拟测试）如图，中，，平分，点E为的中点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，掌握这两个知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到D为的中点，然后得到为的中位线，即可求得结果． 【详解】解：∵，平分， ∴D为的中点， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 1．（2025·辽宁大连·一模）如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）三角形的外角的性质结合直角三角形的两锐角互余，即可得证； （2）在上截取，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系即可得出结论； （3）过点作于点，证明，得到，证明为等腰直角三角形，推出，在中，勾股定理定理，求出的长，进而求出的长，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上截取，由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 过点作于点，则：， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 2．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点． (1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长． (2)将问题一般化：如图，当时，求的长． (3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质可得，，则有，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）过点作，交于点，证明是等边三角形，通过性质证明，又，则，故有，即，最后由线段和差即可求解； （）过点作，交于点，与（）同理可得是等边三角形，，再证明，则，即，然后通过求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， 与（）同理可得是等边三角形，， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴． 3．（辽宁·模拟测试）如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而根据三角形的外角性质求得 ，即可证明平分∠； （2）连接，证明是等边三角形，结合（1）的结论，证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形 ， ， ， ， 又 ， ， 平分； （2）证明：连接，如图，    是等边三角形 ， ，， ，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 1．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【答案】D 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当3是腰时， ∵3＋3＞5， ∴3，3，5能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）， 当5是腰时， ∵3＋5＞5， 5，5，3能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）， 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 6．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 7．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 8．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 10．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 12．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（） ，理由见解析； ，理由见解析；（）或． 【分析】（） ．证明可得，即得，进而可得； ．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（） ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 2 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $