第16讲 几何图形的初步（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第16讲 几何图形的初步 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 立体图形 题型01 从不同方向看几何体 题型02 几何体的展开图 题型03 正方体的展开图 命题点二 角的相关概念 题型01 几何图像中角度计算问题 题型02 与方向有关的计算 题型03 角的大小比较 命题三 平行线 题型01 由平行线的性质求角度 题型02 平行线的性质与判定综合 05·重难突破·思维进阶难 16 突破一 角平分线+角度和差综合计算 突破二 余角，补角和对顶角综合计算 突破三 平行线的性质与判定综合 06·优题精选·练能提分 18 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 立体图形 辽宁卷 T1 辽宁卷 T1 沈阳卷 T2 识别常见几何体，掌握三视图识别，会判断正方体展开图与相对面，侧重空间直观感知，不考复杂作图、表面积和体积计算 角的相关概念 辽宁卷 T6 三市联考卷 T15 掌握角的换算、余补角、对顶角、角平分线、垂直的定义与性质，能完成基础角度计算，仅作为几何基础工具，不考复杂证明。 平行线 辽宁卷 T6 辽宁卷 T4 盘锦卷 T17 识别三线八角，掌握平行公理、判定与性质，能进行简单推理和角度计算，会处理基础拐点题型，弱化复杂逻辑证明。 命题预测 立体图形：必考选择题，题号1-3 题，分值 3 分，纯送分题。90% 考查三视图，10% 考查正方体展开图，无难题。 角的相关概念：几乎不单独命题，融合在平行线、相交线题目中，考查基础角度运算，不独立设题。 平行线：必考选择题，题号4-8 题，分值 3 分，中档基础题。核心考查平行线性质 + 三角板 / 拐点模型角度计算，弱化判定证明。 考点一 立体图形 1.几何图形分类 · 平面图形：所有点都在同一平面内的图形，例如线段、角、三角形、矩形、圆等。 · 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何体，例如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球。 2.三视图 定义：从正面看得到主视图，从左面看得到左视图，从上面看得到俯视图，三者统称为三视图。 核心绘制规则：长对正、高平齐、宽相等，是判断三视图、还原几何体的核心依据。 考查形式：判断几何体的三视图形状、根据三视图推断组成几何体的小正方体最少 / 最多数量。 3.立体图形的展开图 正方体展开图（中考高频）：正方体共有11 种标准展开图。 排除口诀：一线不过四，田凹应弃之。一行正方形数量超过 4 个、出现 “田” 字形、“凹” 字形的图形，一定不是正方体展开图。 相对面判断口诀：相间、Z 端是对面。同一行间隔一个正方形的两个面是相对面；呈 “Z” 字形首尾的两个面是相对面。 常见几何体展开：圆柱展开图为矩形 + 两个等圆；圆锥展开图为扇形 + 一个圆 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从它的上面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图是某种几何体表面的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 3．（辽宁·模拟预测）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．校 B．安 C．平 D．园 4．（辽宁·模拟预测）如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体 考点二 角的相关概念 角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形. 角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 表的表示方法： 表示方法 图示 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 LAOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 ∠O 以某一点为顶，点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 ∠ 任何情况都适用 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1．（辽宁·模拟预测）燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 2．（辽宁·模拟预测）一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则 ． 3．（辽宁·模拟预测）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 4．（辽宁·模拟预测）如图，在ABC中，于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点三 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.. 平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 1．（辽宁·模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（辽宁·模拟预测）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·一模）如图，线段，以为斜边向左构造等腰直角，连接、．若满足，，，则 °． 命题点一 立体图形 ►题型 02·从不同方向看几何体 【典例1】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（辽宁模拟）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它从前面看，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，则从左面看得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． ►题型 02·正方体的展开图 【典例2】（2025·辽宁铁岭·三模）将“盛京韵，沈阳情”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“盛”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．京 B．沈 C．阳 D．情 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（    ）    A．热 B．爱 C．中 D．国 【变式2】（辽宁·模拟预测）做最好的自己！小明同学将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“自”时，下面的字是（    ）    A．做 B．最 C．好 D．己 【变式3】（2024·辽宁大连·三模）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（    ） A． B． C．1 D．2 命题点二 角的相关概念 ►题型 01·几何图像中角度计算问题 【典例3】（2025·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（辽宁·模拟预测）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A． B． C． D． ►题型 02·与方向有关的计算 【典例4】（2025·辽宁抚顺·三模）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（辽宁·模拟预测）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（    ）    A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【变式2】（辽宁·模拟预测）一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中点O处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（    ） A．事故船在搜救船的北偏东60°方向 B．事故船在搜救船的北偏东30°方向 C．事故船在搜救船的北偏西60°方向 D．事故船在搜救船的南偏东30°方向 【变式3】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． ►题型 03·角的大小比较 【典例5】（辽宁·模拟预测）若,,，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式1】（辽宁·模拟预测）下图所示的网格是正方形网格， ．（填“”，“”或“”） 【变式2】（辽宁·模拟预测）在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 命题点三 平行线 ►题型 01·由平行线的性质求角度 【典例6】 （2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） 【变式1】（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2023·辽宁·中考真题）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（    ）      A．48° B．58° C．68° D．78° ►题型 02·平行线的性质与判定综合 【典例7】（2024·辽宁·模拟预测）近几年我国家用汽车的发展速度非常迅猛，为了解决停车难的问题，很多地方建起了停车场，图1为某停车场门口的电子挡车杆实物图，图2是其工作时某一时刻的示意图，其中，，经使用发现，当时，挡车杆达到最高位置，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 突破一·角平分线+角度和差综合计算 【典例1】（辽宁·模拟预测）如图，，点M是上一点，过点M作，若平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023·辽宁锦州·三模）将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，，，的角平分线交于点，则的度数为 . 【变式3】（辽宁·模拟预测）已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 突破二·余角，补角和对顶角综合计算 【典例2】（2023·辽宁沈阳·一模）如图，于点A，于点D，则图中与α互补的角是 ． 【变式1】（辽宁·模拟预测）一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图，已知点在直线上，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如果一个角是它的余角的一半，则这个角是的度数是（    ） A． B． C． D． 突破三·平行线的性质与判定综合 【典例3】（辽宁·模拟预测）如图，，，点G为直线上点，交的平分线于F，，则 ． 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图：是的角平分线，，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 1．（2023·辽宁丹东·一模）从上面看如图所示的几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．（辽宁·模拟预测）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，若，，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 3．（辽宁·模拟预测）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“实”相对的字是（    ）    A．双 B．减 C．全 D．面 4．（辽宁·模拟预测）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2022·辽宁锦州·二模）如图，直线，含角的直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若，则∠2的度数为(   ) A． B． C． D． 6．（辽宁·模拟预测）如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A．B． C． D． 8．（2023·辽宁沈阳·三模）如图，，把一块直角三角板的直角顶点B落在上，顶点D落在上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2022·辽宁大连·一模）如图，直线，为的三等分线，，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 10．（2022·辽宁营口·一模）若，则的余角是 _____度． 11．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近． 12．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，一条东西向的大道上，，两景点相距，景点位于景点北偏东方向上，位于景点北偏北西方向上，则，两景点相距 ． 13．（2022·辽宁抚顺·一模）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，则当时间为：时钟面角为 1．（2025·贵州遵义·一模）将量角器和含角的三角板按如图方式摆放，点O、B、C在同一条直线上，是量角器所在圆O的切线，切点为A（点A在量角器上对应的刻度为）．则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（辽宁·模拟预测）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ． 3．（辽宁·模拟预测）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第16讲 几何图形的初步 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 立体图形 题型01 从不同方向看几何体 题型02 几何体的展开图 题型03 正方体的展开图 命题点二 角的相关概念 题型01 几何图像中角度计算问题 题型02 与方向有关的计算 题型03 角的大小比较 命题三 平行线 题型01 由平行线的性质求角度 题型02 平行线的性质与判定综合 05·重难突破·思维进阶难 27 突破一 角平分线+角度和差综合计算 突破二 余角，补角和对顶角综合计算 突破三 平行线的性质与判定综合 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 立体图形 辽宁卷 T1 辽宁卷 T1 沈阳卷 T2 识别常见几何体，掌握三视图识别，会判断正方体展开图与相对面，侧重空间直观感知，不考复杂作图、表面积和体积计算 角的相关概念 辽宁卷 T6 三市联考卷 T15 掌握角的换算、余补角、对顶角、角平分线、垂直的定义与性质，能完成基础角度计算，仅作为几何基础工具，不考复杂证明。 平行线 辽宁卷 T6 辽宁卷 T4 盘锦卷 T17 识别三线八角，掌握平行公理、判定与性质，能进行简单推理和角度计算，会处理基础拐点题型，弱化复杂逻辑证明。 命题预测 立体图形：必考选择题，题号1-3 题，分值 3 分，纯送分题。90% 考查三视图，10% 考查正方体展开图，无难题。 角的相关概念：几乎不单独命题，融合在平行线、相交线题目中，考查基础角度运算，不独立设题。 平行线：必考选择题，题号4-8 题，分值 3 分，中档基础题。核心考查平行线性质 + 三角板 / 拐点模型角度计算，弱化判定证明。 考点一 立体图形 1.几何图形分类 · 平面图形：所有点都在同一平面内的图形，例如线段、角、三角形、矩形、圆等。 · 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何体，例如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球。 2.三视图 定义：从正面看得到主视图，从左面看得到左视图，从上面看得到俯视图，三者统称为三视图。 核心绘制规则：长对正、高平齐、宽相等，是判断三视图、还原几何体的核心依据。 考查形式：判断几何体的三视图形状、根据三视图推断组成几何体的小正方体最少 / 最多数量。 3.立体图形的展开图 正方体展开图（中考高频）：正方体共有11 种标准展开图。 排除口诀：一线不过四，田凹应弃之。一行正方形数量超过 4 个、出现 “田” 字形、“凹” 字形的图形，一定不是正方体展开图。 相对面判断口诀：相间、Z 端是对面。同一行间隔一个正方形的两个面是相对面；呈 “Z” 字形首尾的两个面是相对面。 常见几何体展开：圆柱展开图为矩形 + 两个等圆；圆锥展开图为扇形 + 一个圆 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从它的上面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看几何体．解答本题的关键是掌握从上面看的观察位置． 画出从上向下看得到的平面图形，判断即可． 【详解】解：从上面看，得到的图形为： 故选：C． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图是某种几何体表面的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握棱柱展开图的特征是解题的关键． 通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱． 故选：C． 3．（辽宁·模拟预测）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．校 B．安 C．平 D．园 【答案】A 【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”， 故选：A． 4．（辽宁·模拟预测）如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体 【答案】B 【分析】本题考查常见几何体的展开图形识别，理解并掌握常见几何体的展开图特征是解题关键．根据常见几何体圆锥的展开图形特征进行判断即可． 【详解】解：由展开图可知，该图形的侧面展开后是扇形，底面为圆， ∴该立体图形为圆锥， 故选：B． 考点二 角的相关概念 角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形. 角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 表的表示方法： 表示方法 图示 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 LAOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 ∠O 以某一点为顶，点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 ∠ 任何情况都适用 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1．（辽宁·模拟预测）燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质．根据题意求得是等边三角形，推出，先根据平行线的性质可得，可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，标记， 由题意，知， ∵三个村庄之间的直线距离两两相等， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴村位于村北偏东方向上， 故选：A． 2．（辽宁·模拟预测）一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角板，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握题意，可得，，根据，可得，则，即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（辽宁·模拟预测）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【详解】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°， ∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°， ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°． 故选D． 4．（辽宁·模拟预测）如图，在ABC中，于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．利用直角三角形的性质，通过角之间的关系来求解的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 考点三 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.. 平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 1．（辽宁·模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质．利用旋转的性质得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：旋转角度， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（辽宁·模拟预测）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，延长交于，利用平行线的性质求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ， ∵一副直角三角板中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·辽宁大连·一模）如图，线段，以为斜边向左构造等腰直角，连接、．若满足，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，涉及三角形内角和定理、直角三角形的性质、周角的度数，根据等腰直角，得出，根据三角形内角和定理，计算出的度数，根据周角的度数是，则，计算得出答案即可，熟练掌握知识点、观察图形、计算相关角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵以为斜边向左构造等腰直角， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 命题点一 立体图形 ►题型 02·从不同方向看几何体 【典例1】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，得到从上面看的图形，进而得出答案． 【详解】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为3个小正方形，第二行是1个小正方形，选项C中的图形符合题意， 故选：C． 【变式1】（辽宁模拟）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它从前面看，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，根据从前面看到的图形画图即可，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：它从前面看到的图形是， 故选：． 【变式2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，则从左面看得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的从左面看到的平面图形，旨在考查学生的抽象概括能力． 找出从左面看到的平面图形即可． 【详解】解：该几何体从左面看得到的平面图形有2层，上层有1个，在最左端，下层有3个， 符合条件的是图C 故选：C ． ►题型 02·正方体的展开图 【典例2】（2025·辽宁铁岭·三模）将“盛京韵，沈阳情”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“盛”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．京 B．沈 C．阳 D．情 【答案】C 【分析】此题考查正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“盛”字所在面相对面上的汉字是“阳”， 故选：C． 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（    ）    A．热 B．爱 C．中 D．国 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可． 【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”， 故选：B． 【变式2】（辽宁·模拟预测）做最好的自己！小明同学将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“自”时，下面的字是（    ）    A．做 B．最 C．好 D．己 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，注意正方体的空间图形，从相对面入手． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “做”与“己”是相对面， “最”与“的”是相对面， “自”与“好”是相对面； 故选：C． 【变式3】（2024·辽宁大连·三模）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点，利用相反数的定义即可求出A的值． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴A与2是相对面， ∴． 故选：B． 命题点二 角的相关概念 ►题型 01·几何图像中角度计算问题 【典例3】（2025·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是先根据平角的定义求出∠3，再根据“两直线平行，同位角相等”即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角板的直角顶点落在直尺的一边上，， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：C． 【变式1】（辽宁·模拟预测）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 故选：B． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差先求出∠BOC，然后求出∠2即可． 【详解】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD， ∴∠AOB=∠COD=90°． ∴∠BOC=∠AOB-∠1=90°-50°=40°， ∠2=∠COD-∠BOC=90°-40°=50°． 故选C． 【点睛】本题主要考查角的和差以及垂直的定义，熟练掌握相关的概念是解题的关键． ►题型 02·与方向有关的计算 【典例4】（2025·辽宁抚顺·三模）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，平行线的性质，根据结合平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（辽宁·模拟预测）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（    ）    A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．    故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 【变式2】（辽宁·模拟预测）一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中点O处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（    ） A．事故船在搜救船的北偏东60°方向 B．事故船在搜救船的北偏东30°方向 C．事故船在搜救船的北偏西60°方向 D．事故船在搜救船的南偏东30°方向 【答案】B 【分析】根据点的位置确定应该有方向以及距离，进而利用方位角转化为方向角得出即可． 【详解】A. 事故船在搜救船的北偏东60°方向，是从0°算起30°方向不是事故船方向，故选项A不正确；     B. 事故船在搜救船的北偏东30°方向，是从0°算起60°方向是事故船的方向，故选项B正确； C. 事故船在搜救船的北偏西60°方向，是从0°算起150°方向，不是事故船出现的方向，故选项C不正确；     D. 事故船在搜救船的南偏东30°方向，是从0°算起300°方向，不是事故船的方向，故选项D不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了方位角的定义，确定方位角的两个要素：一是方向；二是角度，掌握理解定义是解题关键． 【变式3】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方位角的计算，平行线的性质，过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示：    根据题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． ►题型 03·角的大小比较 【典例5】（辽宁·模拟预测）若,,，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据小单位化大单位除以进率,可得答案. 【详解】解: ∠P=25°12′=25.2°,∠R=25.2° 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查角的大小比较．关键是将单位统一，即度、分、秒的换算. 【变式1】（辽宁·模拟预测）下图所示的网格是正方形网格， ．（填“”，“”或“”） 【答案】> 【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小. 【详解】解：如下图所示， 是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为 另：此题也可直接测量得到结果． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键. 【变式2】（辽宁·模拟预测）在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的大小比较，利用角的大小进行比较即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵C点是内部任一点， ∴与的大小无法确定，必大于， 故选：D． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出角的度数，然后再比较大小就容易了． 根据题意和图得出：，，再根据，从而得出，然后结合图观察出，，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知：， 同理， 又， ， 由图可知，， ， 故选：D． 命题点三 平行线 ►题型 01·由平行线的性质求角度 【典例6】 （2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 【变式1】（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 【变式2】（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，即可解答． 【详解】解：图中是含有角的直角三角尺， ， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式3】（2023·辽宁·中考真题）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（    ）      A．48° B．58° C．68° D．78° 【答案】B 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”和“邻补角互补”来求∠2的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B      【点睛】本题考查了平行线的性质．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． ►题型 02·平行线的性质与判定综合 【典例7】（2024·辽宁·模拟预测）近几年我国家用汽车的发展速度非常迅猛，为了解决停车难的问题，很多地方建起了停车场，图1为某停车场门口的电子挡车杆实物图，图2是其工作时某一时刻的示意图，其中，，经使用发现，当时，挡车杆达到最高位置，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得． 【详解】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图， ，， 四边形ABCD是平行四边形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定与性质是解决本题的关键． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，过点N作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 突破一·角平分线+角度和差综合计算 【典例1】（辽宁·模拟预测）如图，，点M是上一点，过点M作，若平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质得出，再由邻补角及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 故选：D． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，邻补角及角平分线的定义，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【变式1】（2023·辽宁锦州·三模）将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 根据平行线的性质得出的度数，再利用角的和差以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：根据题意可得， ∵ 故选：B． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，，，的角平分线交于点，则的度数为 . 【答案】/58度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质求得，再根据角平分线的定义求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴． 故答案为：． 【变式3】（辽宁·模拟预测）已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 突破二·余角，补角和对顶角综合计算 【典例2】（2023·辽宁沈阳·一模）如图，于点A，于点D，则图中与α互补的角是 ． 【答案】或 【分析】根据垂直定义可得，根据同角的余角相等可得，再根据平角定义可得，，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互补， ∵， ∴与互补， 故图中与α互补的角是和， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂线，补角，三角形内角和定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【变式1】（辽宁·模拟预测）一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角、补角的运算，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解几何问题是解题的关键．假设出这个角的度数，并表示出这个角的余角和补角的度数，根据题意找出等量关系列出方程求解即可解答本题． 【详解】解：设这个角是，则这个角的余角和补角分别为和，根据题意得：， 解方程，得：， 所以，这个角是． 故选：A． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图，已知点在直线上，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余互补的概念及计算，掌握互余、互补的概念及计算方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如果一个角是它的余角的一半，则这个角是的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角的计算，一元一次方程的应用．根据题意，设这个角的度数为，则它的余角的度数为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角的度数为，依题得 解得． 故选：B． 突破三·平行线的性质与判定综合 【典例3】（辽宁·模拟预测）如图，，，点G为直线上点，交的平分线于F，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．也考查了三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先根据平行线的性质求出与的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵交的平分线于F， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图：是的角平分线，，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求出，再由角平分线的定义求出，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 1．（2023·辽宁丹东·一模）从上面看如图所示的几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出从上边看得到的图形即可得答案． 本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从上边看得到的图形的画法是解题的关键． 【详解】解：从上面看的平面图形是：有列，从左到右正方形的个数分别为：、、． 故选：C． 2．（辽宁·模拟预测）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，若，，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质．根据题意，易得，利用平角的定义求出，即可．掌握旋转角是对应点与旋转中心所形成的夹角，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点恰好落在的延长线上， ∴， 即：旋转角为； 故选：D． 3．（辽宁·模拟预测）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“实”相对的字是（    ）    A．双 B．减 C．全 D．面 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征：1、同行或同列隔一个的．2、“Z”字型两端（“Z”字型两端是指紧挨着中间竖线的两个面）进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “面”与“实”是对面， 故选：D． 【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 4．（辽宁·模拟预测）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案. 【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意， 而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意， 故选：D． 【点睛】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养． 5．（2022·辽宁锦州·二模）如图，直线，含角的直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若，则∠2的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出∠ACD=50°，再利用平行线的性质得出结果． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=180°-∠ACB-∠1=90°-40°=50°， 又∵a∥b， ∴∠3=∠ACD=50°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线得到的同位角相等． 6．（辽宁·模拟预测）如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，并作出适当的辅助线是解题的关键．由题可得，，，设，相交于点G，过点G作，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题知，，， ， 如图，设，相交于点G，过点G作，则， ，， ， ， ． 故选：B． 7．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥， 故选：C． 8．（2023·辽宁沈阳·三模）如图，，把一块直角三角板的直角顶点B落在上，顶点D落在上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．由平行线的性质可得，再由题意可求得，即可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．（2022·辽宁大连·一模）如图，直线，为的三等分线，，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由得到，，分为的三等分线且和为的三等分线且两种情况求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， 当为的三等分线且时， , ∵是的外角， ∴， 当为的三等分线且时， , ∵是的外角， ∴， 综上，的度数为或， 故选：C 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 10．（2022·辽宁营口·一模）若，则的余角是 _____度． 【答案】 【分析】利用余角的定义进行求解即可． 【详解】解：， 的余角为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为． 11．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近． 【答案】50 【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD=AC=50海里． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， 根据题意得，∠ABC=30°，∠ACD=60°， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°=∠ABC． ∴CA=CB． ∵CB=50×2=100（海里）， ∴CA=100（海里）． 在Rt△ADC中，∠ACD=60°， ∴（海里）． 故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近． 故答案为：50 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，点到直线的距离垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键， 12．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，一条东西向的大道上，，两景点相距，景点位于景点北偏东方向上，位于景点北偏北西方向上，则，两景点相距 ． 【答案】10 【分析】根据题意可得，∠CAB=30°，∠CBA=60°，所以∠ACB=90°，根据AB=20km，和锐角三角函数即可求出A，C两景点距离． 【详解】解：根据题意可知： ∠CAB=30°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=90°， ∵AB=20km， ∴AC=AB×cos30°= （km）． ∴A，C两景点相距km． 故答案为：km． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 13．（2022·辽宁抚顺·一模）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，则当时间为：时钟面角为 【答案】45 【分析】根据分针每分钟转，时针每分钟转进行求解即可． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴当时间为：时钟面角为， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了钟面角的计算，熟知时针和分针每分钟走的度数是解题的关键． 1．（2025·贵州遵义·一模）将量角器和含角的三角板按如图方式摆放，点O、B、C在同一条直线上，是量角器所在圆O的切线，切点为A（点A在量角器上对应的刻度为）．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，四边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和四边形内角和定理是解题的关键，由切线的性质可得，结合题意可得，，再根据四边形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵是量角器所在圆O的切线， ∴， ∵，， ∴四边形中，． 故选：C． 2．（辽宁·模拟预测）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及余角关系，①根据条件，得，与为同位角，根据平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），可推导，故①正确； ②由，可得为等腰三角形（底角相等），但又因为，即可得出平分；故②正确；③由余角关系得，可得，故③正确，所以，结合，再通过平分及等腰三角形性质，计算，故④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确，符合题意； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③． 3．（辽宁·模拟预测）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作的平行线，利用平行线的判定和性质即可解答； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，根据三角形内角和求得，即可解答； （3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ； （2）解：， ， 是的平分线， ， ，， ， ； （3）解：当点在点左边时，如图， ，，平分， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ，即； 当点在点右边时，如图， ，， 平分， ， ， ，即， 综上，或． 1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，易得，根据平行线的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 6．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $