第20讲 直角三角形（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第20讲 直角三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 直角三角形的性质与判定 题型01 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 题型02 含30°的直角三角形 命题点二 勾股定理 题型01 用勾股定理解三角形 题型02 利用勾股定理的逆定理求解 05·重难突破·思维进阶难 10 突破一 勾股定理解直角三角形 06·优题精选·练能提分 12 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直角三角形的性质与判定 辽宁卷 T19/24 辽宁卷 T5/23 抚顺/葫芦岛卷T24 掌握直角三角形的性质：两锐角互余；斜边上中线等于斜边的一半；30角所对直角边是斜边的一半。 掌握直角三角形判定：有一个角为直角；两锐角互余；一边中线等于该边一半的三角形是直角三角形 勾股定理 辽宁卷 T6/19/20 辽宁卷 T18 抚顺/葫芦岛卷 T24 掌握勾股定理，会求直角三角形边长； 掌握勾股逆定理，判定直角三角形； 能结合折叠、实际场景用勾股定理解决计算问题。 命题预测 近3年辽宁中考直角三角形、勾股定理每年必考，覆盖选择、填空、解答全题型，基础题占70%、中档题 20%、压轴渗透 10%，2026 年延续 “课标导向、基础稳、综合活、重推理” 的命题风格，以教材变式、图形变换、实际应用为主要命题载体。 考点一 直接三角形的性质与判定 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质： （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）两个锐角互余。 直角三角形的判定： （1）有一个角是90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）若三角形三边长a,b,c满足 a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形是直角三角形。 1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是 ． 3．（辽宁·模拟预测）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（辽宁·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 考点二 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ． 命题点一 直角三角形的性质与判定综合 ►题型 01·直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 【典例1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，D为的中点，则的长为 ． 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，．点，分别为，的中点，点是上一点，．若，则的长为 ． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为 ． ►题型 02·含 30°的直角三角形 【典例2】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【变式1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，与交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【变式3】（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 命题点二 勾股定理 ►题型 01·用勾股定理解三角形 【典例3】（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． ►题型 02·利用勾股定理的逆定理求解 【典例4】（辽宁·模拟预测）某开发区有一块四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，如图，已知，，，，且于点B．若每平方米草皮需要300元，则需要投入多少元？ 【变式1】（辽宁·模拟预测）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，， (1)求长度 (2)求的度数； 【变式3】（辽宁·模拟预测）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 突破一 勾股定理解直角三角形 【典例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【变式1】（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【变式2】（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1．（辽宁·模拟预测）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2．（辽宁·模拟预测）如图，在中，，且，则长为（　　）    A．4 B．8 C．10 D．16 3．（辽宁·模拟预测）如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（辽宁·模拟预测）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里 5．（辽宁·模拟预测）如图，分别为四边形的对角线，，点P为中点，连接，且，若，则的长为（    ）    A． B． C． D．5 6．（辽宁·模拟预测）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 7．（2025·辽宁·一模）如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，，则 的度数为 ． 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在和中，，，，若，则的长为 ． 9．（辽宁·模拟预测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 1．（辽宁·模拟预测）数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由： 【深入探究】 （2）问题2：结合问题1解决下面的问题． 如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：； 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长． 2．（辽宁·模拟预测）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图④的网格中，并标出字母所表示的线段． (4)问题解决：如图⑤，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 1．（2024·广西·中考真题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2．（2023·湖南·中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·海南·中考真题）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（    ）    A．6 B．4 C． D． 5．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 7．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 9．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第20讲 直角三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 直角三角形的性质与判定 题型01 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 题型02 含30°的直角三角形 命题点二 勾股定理 题型01 用勾股定理解三角形 题型02 利用勾股定理的逆定理求解 05·重难突破·思维进阶难 10 突破一 勾股定理解直角三角形 06·优题精选·练能提分 12 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直角三角形的性质与判定 辽宁卷 T19/24 辽宁卷 T5/23 抚顺/葫芦岛卷T24 掌握直角三角形的性质：两锐角互余；斜边上中线等于斜边的一半；30角所对直角边是斜边的一半。 掌握直角三角形判定：有一个角为直角；两锐角互余；一边中线等于该边一半的三角形是直角三角形 勾股定理 辽宁卷 T6/19/20 辽宁卷 T18 抚顺/葫芦岛卷 T24 掌握勾股定理，会求直角三角形边长； 掌握勾股逆定理，判定直角三角形； 能结合折叠、实际场景用勾股定理解决计算问题。 命题预测 近3年辽宁中考直角三角形、勾股定理每年必考，覆盖选择、填空、解答全题型，基础题占70%、中档题 20%、压轴渗透 10%，2026 年延续 “课标导向、基础稳、综合活、重推理” 的命题风格，以教材变式、图形变换、实际应用为主要命题载体。 考点一 直接三角形的性质与判定 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质： （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）两个锐角互余。 直角三角形的判定： （1）有一个角是90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）若三角形三边长a,b,c满足 a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形是直角三角形。 1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．连接，先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点O是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出、，再利用勾股定理求出的长即可 ． 【详解】解：， ， ， 点是的中点， ， 是的中线， ， 又， ． 故答案为： ． 3．（辽宁·模拟预测）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（辽宁·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 即， 故选：B． 考点二 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 命题点一 直角三角形的性质与判定综合 ►题型 01·直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 【典例1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 【变式1】（辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，D为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线等于斜边的一半是解题的关键． 先由勾股定理求出，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，．点，分别为，的中点，点是上一点，．若，则的长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质．由直角三角形的中线可得的长，然后结合线段的和差可得，最后根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：11． 【变式3】（辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决的关键是证明．根据矩形的性质证明，得，证明，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． ►题型 02·含 30°的直角三角形 【典例2】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得为等腰三角形是解决本题的关键 ． 根据为的垂直平分线，即线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得为等腰三角形，即可求解的度数，再结合的直角三角形的性质即可求解 ． 【详解】解：因为的垂直平分线交于点D， 所以可得，即为等腰三角形， 所以， 又因为 ， 所以， 又因为， 所以， 所以， 则在中，， 所以 ． 故选：B ． 【变式1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，与交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由含30度直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，由平行四边形性质求得，最后再由勾股定理及平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 由勾股定理得； ∵四边形是平行四边形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 故选：A． 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【变式3】（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，作轴于点，可证明是等边三角形，得到，得出，求出，根据勾股定理求出，得到点的坐标为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， 菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 命题点二 勾股定理 ►题型 01·用勾股定理解三角形 【典例3】（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果． 【详解】解：过点D作于M，如图， 由勾股定理可求得， 由题中作图知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为为； 故选：D．      【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【变式1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. ►题型 02·利用勾股定理的逆定理求解 【典例4】（辽宁·模拟预测）某开发区有一块四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，如图，已知，，，，且于点B．若每平方米草皮需要300元，则需要投入多少元？ 【答案】需要投入25200元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，由勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，求出面积，从而即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴为直角三角形，且， ∵，， ∴， ∵每平方米草皮需要300元， ∴（元）， 故需要投入元． 【变式1】（辽宁·模拟预测）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)购买运动型塑胶地板的总费用为22800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）由勾股定理即可求出的长度； （2）先由勾股定理的逆定理，得出为直角三角形，再根据结合三角形的面积公式求出四边形的面积，然后由运动型塑胶地板单价即可得出结果． 【详解】（1）解：米，米， 米； 答：的长度为米； （2）解：，， ， 为直角三角形，， （米）， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 【变式2】（辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 【答案】(1)； (2). 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 利用勾股定理即可求出的长度； 由可知，又因为，，可得：，利用勾股定理的逆定理可知，由，，可知，由角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ； （2）解： ，， ， ，， 由可知， ， 是直角三角形，， ． 【变式3】（辽宁·模拟预测）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 【答案】(1)7200元 (2) 【分析】本题主要运用勾股定理及其逆定理求解，解决问题的关键在于熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解； （2）在中，根据三角形面积的两种不同表示方法列出等式，即，进而求出的长度． 【详解】（1）解：连接，在中， ， 在中，，， 而， 即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需花费（元）． （2）解：如图，过点B作，垂足为E， ∴在中，， 即，即． ∴小路的最短长度为． 突破一 勾股定理解直角三角形 【典例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式1】（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 【变式2】（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 1．（辽宁·模拟预测）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2．（辽宁·模拟预测）如图，在中，，且，则长为（　　）    A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出． 3．（辽宁·模拟预测）如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 4．（辽宁·模拟预测）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里 【答案】D 【分析】本题考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作于点，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题． 【详解】解：作于点，如图所示． ， ， ， ， ， ， ． 设，则，，， ， ， ，解得，则． 故选：D． 5．（辽宁·模拟预测）如图，分别为四边形的对角线，，点P为中点，连接，且，若，则的长为（    ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，中位线的性质，延长交于点Q，根据勾股定理求出，根据、P在的垂直平分线上，得出垂直平分，根据中位线的性质得出，，设，则，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：延长交于点Q，如图所示：    ∵，， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴、P在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵点P为中点， ∴，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B． 6．（辽宁·模拟预测）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ，即， 点是的中点，， ， 故答案为：． 7．（2025·辽宁·一模）如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，，则 的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 四边形是菱形， ，根据，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】四边形是菱形 ， ， 是斜边上的中线    ， 故答案为：． 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在和中，，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关知识点是解题关键． 通过的直角三角形的性质求出、的值，通过三角函数求出，即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 9．（辽宁·模拟预测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)处到灯塔的距离为海里 (2)若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险，见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握方位角的转化及直角三角形中角的性质是解题的关键． （1）先根据方位角求出三角形内角，再结合船行驶的路程，利用等角对等边求出处到灯塔的距离； （2）过作垂线，利用直角三角形的性质求出灯塔到航线的距离，与海里比较判断是否有触礁危险． 【详解】（1）解：由已知条件可得：， ，， ， ， 海里， 答：处到灯塔的距离为海里． （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过作于点， 在中，，， ， ． 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 1．（辽宁·模拟预测）数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由： 【深入探究】 （2）问题2：结合问题1解决下面的问题． 如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：； 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由图形旋转可得，，，，进而证明即可； （2）由（1）得到，再利用三角形内角和证明，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质得到，，则有； （3）过点作于，取中点，连接，，由勾股定理得到，进而得到，在中，求出，，由，得到，则为的垂直平分线，则有，由题意推出，则，再证明，最后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：和为等腰直角三角形， ， ， （2）解：由（1）过程得 交于点， 在和中，为中点 ，， （3）证明：过点作于，取中点，连接， 在中，，，O是中点， ,, 为中点 ， 在中， ， ， 为的垂直平分线 ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得： ， 为等边三角形， 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质与判定等知识，解答过程中，利用图形旋转的性质证明是解题关键． 2．（辽宁·模拟预测）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图④的网格中，并标出字母所表示的线段． (4)问题解决：如图⑤，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析，米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； （3）画出边长为和的矩形即可； （4）过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，； 在中，； 所以， 解得； （3）解：如图，    由此可得； （4）解：如图，过点A作于点D，的长即为所求．    ∵， ∴根据图①中得到的a，b，c之间的数量关系，得， ∵米，米， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴最短距离为米． 1．（2024·广西·中考真题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题意； B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； 故选A． 2．（2023·湖南·中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 4．（2023·海南·中考真题）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（    ）    A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点，   ， 则， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 6．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 7．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 9．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 【答案】①；②；③不能，见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． ①根据直角三角形两锐角互余即可求解； ②由题意得：，，，解可求出，由即可求解； ③不能，若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算；若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算． 【详解】解：①如图： 由题意得， ∴； ②由题意得：，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为； ③不能， 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $