专题02 三角函数的概念与诱导公式八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第三册

专题02 三角函数的概念与诱导公式八大题型 题型一：终边上的点与三角函数值 题型二：圆上的动点与旋转点 题型三：同角三角函数中由条件等式求三角函数 题型四：正余弦和差与积关系的应用 题型五：正余弦齐次式的计算 题型六：诱导公式的化简求值 题型七：利用互余互补关系求值 题型八：利用诱导公式与同角三角函数关系进行证明 题型一：终边上的点与三角函数值 1．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 4．（多选）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（   ） A． B． C． D． 5．已知角终边上一点坐标，则 . 6．在平面直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则x= ；= ． 题型二：圆上的动点与旋转点 7．在平面直角坐标系xOy中，角与角的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将终边按逆时针方向旋转恰与终边重合，则的一个取值为 ． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系xOy中，将向量按顺时针方向绕原点O旋转后得到向量，则ab的值为 . 10．设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 ． 题型三：同角三角函数中由条件等式求三角函数 11．若，且，则（    ） A． B． C． D． 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 14．若，则（    ） A． B． C．1 D． 15．若实数，满足方程组，则的一个值可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 题型四：正余弦和差与积关系的应用 16．在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 17．已知是关于的一元二次方程的两根，则实数（   ） A． B． C． D． 18．已知关于x的方程的两个根为，，，则（   ） A． B． C． D． 19．（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 21．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（   ）    A． B． C． D． 题型五：正余弦齐次式的计算 22．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知，则 . 24．已知，则 ． 25．已知，，则 ． 26．已知，则的最小值为 ． 题型六：诱导公式的化简求值 27．化简： ． 28．已知角（）终边上点坐标为，则 . 29．若为第二象限角，且，则的值是 ． 30．已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 31．求的值． 32．化简： (1)，； (2)，． 33．已知 (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型七：利用互余互补关系求值 34．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 35．已知，且，则（   ） A．0 B． C． D． 36．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 37．已知，则（   ） A． B． C． D． 38．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．已知，且为第二象限角，则 . 题型八：利用诱导公式与同角三角函数关系进行证明 40．证明：． 41．证明：． 42．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 43．求证：． 44．已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 45．求证：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角函数的概念与诱导公式八大题型 题型归纳 题型一：终边上的点与三角函数值 题型二：圆上的动点与旋转点 题型三：同角三角函数中由条件等式求三角函数 题型四：正余弦和差与积关系的应用 题型五：正余弦齐次式的计算 题型六：诱导公式的化简求值 题型七：利用互余互补关系求值 题型八：利用诱导公式与同角三角函数关系进行证明 题型专练 题型一：终边上的点与三角函数值 1.已知a是第二象限的角，P(x,8)为其终边上的一点，且sina= ，则x=( A.-6 B.±6 C.32 D.32 3 3 【答案】A 【详解】依题意，x<0,r=OP=√x2+64(0为坐标原点)， 4 则sina= 8 2+645,所以x=-6. 故选：A 2.已知角a的终边过点P(-3,2cosa),则cosa=() A.3 B.-V3 2 C. D.、1 2 2 【答案】B -3 【详解】由三角函数的定义可得cosa= =<0, 9+4cos2 整理可得4cos2a+9cos2a=9,即4cos4a+9cos2-9=0, 4ooa-儿cosa+列=0，可得ams2a=子放cosa=- 2 1/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B 3.(多选)己知点P(m,-2m)(m≠0)是角o终边上的一点，则() A.当m=1时，sina=- 2v5 5 B.角a为第四象限角 C.tana=-2 D.sina·cosa<0 【答案】ACD 【详解】由三角函数的定义可得 x=m,y=-2m,r=m2+(-2m)=5 m,sina = -2m 2,ana=2m-2, 5 m 对于A,当m=1时，P(1,-2),此时r=√5，.sina= -2。_25,故A正确， 55 对于B,当m>0时，x=m>0,y=-2m<0,a在第四象限； 当m<0时，x=m<0,y=-2m>0,在第二象限，故B错误， 对于C,根据三角函数的定义可知tana=-2m=-2,故c正确， m -2mm-2m22 对于D,sina.cosa= 5m*5m5m2=- -X- 5<0，故D正确 故选：ACD. 4.(多选)平面直角坐标系中，若角的终边经过点P(1,m),且m<-1,则下列各式的值一定大于0的是 () A.sina cosa B.tanasina C.sina cosa D.sina-tana 【答案】BD m 【详解】由三角函数的定义得sina= <0,c0sa= =>0,tan=m<-1, Vm2+1 Vm2+1 m 1+m sinacosa <0,tanasina =>0,sina +cosa = =<0, √m2+1 Vm2+1 由-tana>l,-l<sina<0,得sina-tana>0. 故选：BD 5.已知角a终边上一点坐标P(1,2),则cosa=」 【答案】55 55 2/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 【详解】由题设cosa= ⑤ V12+225 故答案为： s 6.在平面直角坐标系xOy中，角与角B均以原点为顶点，以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点 以(-刊在角B的终边上.若mB=写则=：5加a= 【答案】 -3 V10 10 【详解】依题意，anB会=解得x三-3，因此M3,-),角Q的终边过点3， 1V10 于是OM'=V32+12=√10，sina= V1010 故答案为：-3，V0 10 题型二：圆上的动点与旋转点 7.在平面直角坐标系xOy中，角与角B的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y 轴对称.若将α终边按逆时针方向旋转”恰与B终边重合，则α的一个取值为 6 【答案】 5π 12 (答案不唯一) 【详解】由题意o与B关于y轴对称，则a+B=π+2kπ(k∈Z), 又将a终边按逆时针方向旋转工恰与B终边重合，则B=a+兀+2m(k∈Z, 6 6 求解得a= 5 1 +2rkeZ,不妨取k=0时，a=5π 12 故答案为： 5π (答案不唯一). 12 8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P、Q从点A1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向 12 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第4次相遇时，点P的 3/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 c. 2’2 【答案】C 【详解】相遇时间为t=4×2π÷ 元11=8秒， 1212 故P转过的角度为工x8=2 12 3 其对应的坐标为 2 3, 9 故选：C 9.在平面直角坐标系xOy中，将向量OP 1V3 22 按顺时针方向绕原点0旋转后得到向量00=(a,b) ,则ab的值为」 【答案】3 【详解】设经过点P的终边角度为α(0<α<2π)，由根据题意，利用任意角的三角函数的定义得： cosa=- 'sina=3 则a=2 2 3 a-cos a- 3 l=sin =cos元，b=sinc-3/=s 3 32×24 故答案为： V3 10.设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置(0，)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角 00<日<孕后到达点R,然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角等到达点R,若点R的纵坐标是了，则点 2 P的坐标是一 【答案】(5 2’2 【详解】解：初始位置B0,)在匹的终边上， 2 R所在射线对应的角为？-0， 4/19 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B所在射线对应的角为石-0， 由题意可知，加哈-8)=- 1 又8-0e(58 3'6), 则名0云解符0-子 6 R所在的射线对应的角为？-0-若 6 由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是（名如身，即(5 故答案为：5，昌 22 题型三：同角三角函数中由条件等式求三角函数 1 11.若a∈(0，π，且2sina-c0sa=1, 2 sina cosa-cos'a=（） A.2 B. 9 3 C.5 D.-25 3 39 【答案】B 【详解】因为2sina-cosa=1,所以cosa=2sina-1, 又sin2a+cos2a=1, 所以sin2a+2sina-1)2-1,即5sin2a-4sina=0, 叉ae0,,所以sina三所以cosa中 3 5 15 所以2 sina cos-cos2a=249=3. 2525 故选：B 12.“sina+cosB=0"是“sin2a+sin2B=1"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 【详解】若sina+cosB=0,则sina=-cosB, 所以sin2a+sin2B=cos2p+sin2B=1,即充分性成立； 若sin2a+sin2B=1,则sin2a=cos2B,即sina=±cosB, 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以sina+cosB=0不成立， 所以"sina+cosB=0"是"sin2a+sin2B=1"的充分不必要条件， 故选：A 2021π 13.已知a是第四象限角，且3 sin2a=8cosa,则cosa+ =() 2 A.-2V2 3 B.3 c.22 3 【答案】c 【详解】因为3sin2a=8cosa，所以9sin4a=64cos2a, 又因为sin2a+cos2a=1,所以64sin2a+64cos2a=64,即64sin2a+9sin4a=64, 整理得9sin4a+64sin2a-64=0, 解得sin'a=8或sina=-8(舍去 又因为a是第四象限角，所以sina<0,故s如a=-22 3 2021π 所以cosa+ =cosa+1010r+刀）=cos 3 故选：C 14.若，sina 2则sina-cosa=(） 1+cosa A B. 1 C.1 D. 19 5 5 【答案】B 【详解】由 sina =1可得cosa=2sina-1, 1+cosa 2 代入cos'a+sin'a=1可得5sim2a-4sina=0,解得sina=4或sina=0（舍) 所以cosa=号所以sina-cosa-方 1 故选：B 3cosx=2sinB+1'则B的一个值可以是 3sinx=2cos B 15.若实数a,B满足方程组 (写出满足条件的一 个值即可) 【答案】号（答案不唯，满足B-号+2x,keZ即可） 6/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3sinx=2cos B 【详解】由 3cosx=2sin B+sc(2cos B)+(2sin B+1) 即9=4+4simB+1,所以siB=1,所以B=T+2kπ，keZ, 2 所以当0时，B-受 故答案为：受（答案不唯，满足B-号+2x,keZ即可） 题型四：正余弦和差与积关系的应用 16.在4BC中，若4为最大内角，且si4+cos4=D,则三角形ABC为() 5 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【答案】C 【详解】由sinA+cosA=0 两边平方，(sinA+cosA)2=1+2sin4osA= 3 sin AcosA=- <0, 10 又因Ae0,π，则sinA>0,故cosA<0, 可知角A为钝角，故三角形ABC为钝角三角形 故选：C 17.已知sina,cosa是关于x的一元二次方程3x2-x+m=0的两根，则实数m=() B.3 c.4 9 【答案】B 【详解】已知sina,cosa是关于x的一元二次方程3x2-x+m=0的两根， sina+cosa=3 1 则有 m sina·cosa= 3 又由(sina+cosa'=sin2a+cos2a+2sina-cosa=1+2sina·cosa, 符兮1空，解得m= 4 9 3 故选：B 18.已知关于x的方程2x2-x+a=0的两个根为sina,cosa,ae(0,),则sin3a+cos3a=() A.3 B.1 c.11 D.5V万 4 8 16 16 7/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】由韦达定理得sina+cosa= ,sina cosa=a 1 2 2 又sin2a+cos2a=1,故(sina+cosa)2-2 sina cosa= 4a=1,解得a= 1 3 41 sin'a cosa =(sina +cosa)(sin2a-sina cosa +cos2a) =(sina+cosa)(1-sina cosa)= 1. 故选：C 19.(多选)已知0∈ 个 cos0+sin0=- 5 ,则下列结论正确的是() 1 A.c0s0=- 2v5 B.tanθ=- 5 C.sin0-cos0=35 5 D.sin0cos0=2 5 【答案】ABC 【详解】“sin9+cos9=-5 sin+cossin 1 5 六sin0-cos0=-号<0，D错误， sin >0,cos0 (sin6-c0s02=1-2sim0-cos9=l+4_9 55' .sin0-cos0 5,C正确： 5 由sin0+cos0=- ,sm9-cos0=3y5得n0=5 5 ,c0s0=-25 1 则an8=一2 选项A正确，选项B正确. 故选：ABC 20.如果角0满足sin日+cos0=V5,那么tan日+，1 。的值是() tan A.-1 B.-2 C.1 D.2 【答案】D 8/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解)sin9+os9上2，in6+cos6I+2sin9cos6=2即sin0cos8号 那么tan0+1= sin0 cos0 sin20+cos20 1 =2,即D正确， tan0 cos0 sin sin0 cos0 sin0 cos0 故选：D 21.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图 所示，直角三角形中最小的一个角为a(0°<a<45）,且小正方形与大正方形的面积之比为1：4，则tana= () a A.4-V7 B.4-V7 C.4±V7 D.4±V万 4 3 4 3 【答案】B 【详解】设大正方形的边长为aa>0),则小正方形的边长为a(cosa-sina), 依题意可得cosa-5ma-,放1-2 sin cos 1 4 4 3 sina cosa 3 tana 3 即sina cosa= 8 sin'a+cosa 8 tan?a+1=8=3tan'a-8tana+3=0, 解得tana= 4-V 或tana=4+V万 3 3 因为0°<a<45°，则0<tana<1,故tan= 4-7 3 故选：B 题型五：正余弦齐次式的计算 22.已知sina+3cosa 1,则tana=() 2sina-cosa A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D sina +3cosa 【详解】解： sina +3cosa cosa tana+3 2sina-cosa2sing-cosa-2tana-1 1, cosa 即tana+3=2tana-1, 解得tana=4. 9/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：D. 23.己知tana= sina+2cosa 3， 则 5cosa-sina 【答】店 【详解】由题意分式的分子与分母都除以Cosa, 可得sina+2cosa-tana+2 5cosa-sina 5-tana 1 又tana= 3 1 5 +2 sina+2cosa 3 5 5cosa-sina 1616 5 3 故答案为： 5 16 24.已知tana=2,则sina(cosa-sina）=_ 【答案1-04 【详解】已知tana=2, 则sina(cosa-sina)= sina cosa -sin2a tana-tan2a 2-22 2 cos2a +sin2a tan2a+1 22+1 5 咸答案为：号 25.已知sin0+cos0= 下。，6∈(0，π)，则s1n0二2cos0 4sin0+1 = 【答案】23-77 12 【分析】 【详解】解法1：由sin0+cos0=】→(sin0+cos0]2=1+2sin0cos0=} 得sin0cos0= 8,则sin6,cos0是方程2-)-3=0的两根， 2x-8 1±√万 该方程可化为8x2-4x-3=0,解得x2= 4 又0e(0,到时，sn0>0,从而sin0-1+5,cos8=l上万 4 4 10/19