专题01 任意角和弧度制四大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第三册

专题01 任意角和弧度制四大题型 题型一：象限角 题型二：区域角 题型三：扇形的弧长及面积 题型四：扇形中的最值问题 题型一：象限角 1．弧度的角的终边在第几象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 4．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 6．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（多选）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限 9．的终边在第 象限. 10．已知，，，． (1)将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角． 题型二：区域角 11．终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 12．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 13．集合中角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 14．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 15．写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 16．用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.    题型三：扇形的弧长及面积 17．如图，平面图形是扇形截去扇形所得到的，设圆弧的长度是，圆弧的长度是，平面图形的面积是，扇形的面积是，若，则（    ） A． B． C． D． 18．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（    ） A． B． C． D． 19．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 20．如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 21．如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 22．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，则（    ） A．方案一中的扇形弧长为 B．方案一中的扇形面积为 C．方案二中的扇形弧长为 D．方案二中的扇形面积为 23．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．将一把折扇打开后，其所在扇形的周长为12分米，面积是9平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度． 24．鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有独特的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图，这是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间等边三角形的面积为 . 25．如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．    26．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为，该扇形的周长为，则该扇形中所含弓形的面积为 . 题型四：扇形中的最值问题 27．已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 28．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 29．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 30．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 31．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 32．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 33．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 34．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 35．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径． (1)当，求其弧所在弓形的面积． (2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 任意角和弧度制四大题型 题型一：象限角 题型二：区域角 题型三：扇形的弧长及面积 题型四：扇形中的最值问题 题型一：象限角 1．弧度的角的终边在第几象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为负角是按顺时针方向旋转所形成的角， 所以角是以轴的非负半轴为始边，绕原点旋转所得到的角， 所以终边落在第四象限. 故选：D. 2．若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】因为，所以的终边位于第二象限. 故选：B． 3．已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错； 故选：B 4．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D. 5．若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【答案】B 【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限， 故经过一三象限， 故选：B. 6．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由题知，则， 故角的终边所在的象限是第三象限． 故选：C 7．（多选）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【详解】由为第四象限角，得， 得， 令，时，，，得的终边在第四象限； 令，时，，，得的终边在第二象限， 令，时，，，得的终边在第三象限， 故选：BCD. 8．已知，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【详解】由已知，， 当时，，即角的终边在第一象限； 当时，，即角的终边在第二象限． 所以角的终边在第一或第二象限． 故选：C 9．的终边在第 象限. 【答案】四 【详解】， 所以与的终边相同，所以终边在第四象限. 故答案为：四 10．已知，，，． (1)将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角． 【答案】(1)，第二象限；，第一象限 (2)，和；， 【分析】 【详解】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得 ， ． 又由，所以与角的终边相同，所以终边位于第二象限； ，所以与角的终边相同，所以终边位于第一象限； （2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得，． 根据终边相同角的表示，可得与终边相同的角为，，当时，；当时，． 与终边相同的角为，， 当时，． 因此，在内，与终边相同的角是和，与终边相同的角是． 题型二：区域角 11．终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 12．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 13．集合中角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C． 14．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【答案】（1）①，②，③； （2） 【详解】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； （2）. 15．写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】 【详解】依题意，角的集合为 ， 所以所求的集合为. 16．用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.    【答案】图1：； 图2：； 图3：. 【详解】图1：易知； 图2：； 图3：或 或 或 题型三：扇形的弧长及面积 17．如图，平面图形是扇形截去扇形所得到的，设圆弧的长度是，圆弧的长度是，平面图形的面积是，扇形的面积是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设扇形的面积为，则， 设，，， 因为，故，所以， 故， 故选：D. 18．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，，则，， 则，， 则该弧田的面积为. 故选：D 19．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 20．如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知圆心与弧的中点恰好重合，则和互相垂直平分， 由，且 即知为等腰直角三角形，故四边形是正方形， 因为半径，， 所以. 阴影部分的面积为扇形面积减去的面积， 即， 故选：B. 21．如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，圆弧六边形的面积， 圆弧六边形的周长，即， 所以. 故选：A 22．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，则（    ） A．方案一中的扇形弧长为 B．方案一中的扇形面积为 C．方案二中的扇形弧长为 D．方案二中的扇形面积为 【答案】D 【详解】因为是顶角为、腰长为2的等腰三角形， 所以，上的高为1，即，， 所以方案一中扇形的弧长为；扇形的面积为； 方案二中扇形的弧长为；扇形的面积为． 综上，选项D正确． 故选：D 23．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．将一把折扇打开后，其所在扇形的周长为12分米，面积是9平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度． 【答案】 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为12分米，面积是9平方分米，所以，解得， 所以扇所在扇形的圆心角为， 故答案为：. 24．鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有独特的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图，这是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间等边三角形的面积为 . 【答案】 【详解】设中间正三角形的边长为， 则有，解得， 所以. 故答案为：. 25．如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．    【答案】 【详解】设圆的半径为，由题有，解得， 又，所以，又点在圆上，，则 所以矩形的面积为， 又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为， 故答案为：. 26．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为，该扇形的周长为，则该扇形中所含弓形的面积为 . 【答案】 【详解】设扇形的弧长为，则. 又扇形的周长为，则，所以. 所以扇形的面积为    扇形中所含三角形的高为，底为，所以三角形面积为， 故该扇形中所含弓形的面积为. 故答案为：. 题型四：扇形中的最值问题 27．已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 扇形的周长为弧长与两个半径之和，即，因此， 扇形的面积公式为，将代入得： ， 这是一个关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向下，当时，取得最大值. 故选：A. 28．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为， 所以，取等号时，即， 所以面积取最大值时， 如下图所示： 设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 29．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【详解】当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置， 此时，， 则要使当点P，Q都不再运动，且满足题中两个条件时， ，且点离最远，则为的中点， 所以为的中点， 连接交于， 因为四边形ABCD是边长为的正方形， 所以，为的中点， 又因，为的中点， 所以，， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以. 故选：A. 30．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 31．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：题意可得，，得是解决本题的关键. 32．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 【答案】 【详解】设扇形所在圆半径为，∴ 如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴, ，故， 所以最大的圆周长为. 故答案为： 33．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)扇形周长的最小值为，此时 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 34．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）由，则，， 所以，即，， . （2）由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 35．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径． (1)当，求其弧所在弓形的面积． (2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为. 【分析】 【详解】（1） 由题意，当时，扇形面积； 如图，扇形中，连接，则， 所以是正三角形，则， 故所求弓形面积为； （2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则， 则扇形的周长， 当且仅当，即时等号成立， 此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $