第七章 三角函数（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版高一必修第三册

第七章 三角函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 2．函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 3．若下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，， 则，B正确； 对于C选项，，， 则，C错误； 对于D选项，，， 所以，D错误. 故选：B 4．已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 5．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 【答案】D 【详解】观察图象，得，则，而，解得，， 由，得，解得， 令函数的最小正周期为，由，得， 因此，， 对于A，当时，，而当， 即时，函数取到最小值，A错误； 对于B，，而当时，函数取到最小值，B错误； 对于C，是奇函数，图象关于原点对称，C错误； 对于D，是奇函数，图象关于原点对称，D正确. 故选：D 6．车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】加工后木块的横截面的形状如图所示，    其中 O 为横截面的中心， , ，，计算可得 , :, 所以加工后木块的体积为 . 故选： B . 7．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】，则， 因为， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是8. 故选：B． 8．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，若函数的图象与直线在上有4个交点，记这4个交点的横坐标从小到大依次为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位， 得，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得， 函数的图象与直线在上有4个交点， 因为，所以，对称轴为，且，所以可知这4个交点对应的相位成对地关于中心对称， 又因为,在上有4个交点，记这4个交点的横坐标从小到大依次为，，，， 则，则， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】ACD 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：ACD. 11．已知函数，满足，且对任意，都有，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．的单调递增区间为 D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数满足， 所以的图象关于点对称，则有， 即． 对任意，都有，则为最大值， 所以， 则有，因为，所以， 所以函数的解析式为． 对于A，当时，，此时取得最小值， 故的图象关于直线对称，A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以函数的值域为，B错误； 对于C，令， 解得， 所以的单调递增区间为，C正确； 对于D，，则， 令则在上的图象如下， 当时，， 由图可知，要使得函数图象在上与直线的交点只有5个， 那么应在点（包括）的横坐标之间时符合题意． 所以令，则或， 同理令，解得或， 所以点的横坐标依次为， 所以，解得，D错误． 故选：AC． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】 因为，， 所以． 故答案为： 13．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 【答案】 【详解】，， 令，定义域为， ，， ， 所以是奇函数，所以， 而，， 所以. 故答案为：. 14．已知函数，，，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以，不一定，使得成立， 比如当时，，因为，所以不存在这样的； 当时，， 因为，，使得成立， 所以， 于是有或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（1）已知角的终边与单位圆在第四象限交于点，且点的坐标为．求的值． （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】 【详解】（1）解：因为点在单位圆上，所以，所以， 又角的终边在第四象限，所以，故. 由三角函数定义，，. ， 故. （2）证明： . 所以. 16．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值. 【答案】(1) , ； (2),. 【分析】 【详解】（1）由的振幅为2，且经过点，得，， 则，，解得，， 而，因此，， 又与关于轴对称，所以. （2）依题意，， 当时，，， 而，在上递减，在上递增， 则当 时，恰有两个不同的零点， 由，得，则， 所以. 17．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 18．我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． (1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且的最小值为． （i）求的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 【答案】(1)存在， (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】 【详解】（1）存在正常数，使得是“伴随函数”． 因为，所以， 因为，所以， 所以一个的值为． （2）（i）由得，， 所以是周期为的函数，且最小正周期为． 所以． 由得，，所以为的一条对称轴， 所以，． 因为，所以，所以． （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象，可知方程在上的根之和为： 当时，； 当时，； 当时，. 19．已知函数，在同一周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由同一周期内，函数取得最大值和取得最小值的横坐标差可得， ， ， 当时，取最大值，则，， ， ， 向右平移个单位得， 横坐标伸长到原来的倍，则对应的系数变成原来的，得， 纵坐标伸长到原来的2倍，得． （2）当时，， 当时，从递减到， 当时，从递增到2， 当时，从2递减到1， 当时，在和上各有一个解； 当时，在和上各有一个解； 综上，． （3）当时，，故， 令，则， 转化为在上有解， 即，设，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增， ，在单调递减，在单调递增， 当时取最小值， 当时，，当时，， 在上的取值范围是． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 2．函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．若下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 5．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 6．车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（    ）． A． B． C． D． 7．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 8．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，若函数的图象与直线在上有4个交点，记这4个交点的横坐标从小到大依次为，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 11．已知函数，满足，且对任意，都有，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．的单调递增区间为 D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知，则 ． 13．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 14．已知函数，，，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（1）已知角的终边与单位圆在第四象限交于点，且点的坐标为．求的值． （2）证明：． 16．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值. 17．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 18．我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． (1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且的最小值为． （i）求的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 19．已知函数，在同一周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，方程有解，求实数的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $