精品解析：湖南岳阳市岳阳县2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测高二数学试卷

2024年下学期期末教学质量监测试卷 高二 数学 温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷．本试卷共4页，有19道题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ） A. B. － C. D. － 4. 已知一组按从小到大排列的数据：1，2，2，2，3，3，3，，5，6．则“”是“此组数据的75百分位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 6. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（ ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 二、选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的一个零点为 D. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 10. 已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若、为相互独立事件，则 B. 若、为互斥事件，则 C. 若、为互斥事件，则 D. 若发生时一定发生，则 11. 已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交、轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，，若，则______． 13. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为______． 14. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______. 四、解答题．（本题共5个小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某公司在一次入职面试中，共设有轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知张三能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响． （1）求张三不需要进入第三轮测试的概率； （2）求张三通过面试的概率． 16. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，证明是等差数列，并求的前项和． 17. 已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹所形成曲线的方程； （2）若过点的直线交曲线于、两点，且（其中为坐标原点），求的面积． 18. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求； （2）若是边上一点，且，设边上的高为，求． 19. 如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，当在何位置时，二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末教学质量监测试卷 高二 数学 温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷．本试卷共4页，有19道题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的运算求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简可得复数. 【详解】因为，所以，故. 故选：C. 3. 已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ） A. B. － C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出． 【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝. 故选：B． 【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题． 4. 已知一组按从小到大排列的数据：1，2，2，2，3，3，3，，5，6．则“”是“此组数据的75百分位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出此组数据的75百分位数，接着由充分条件和必要条件定义即可分析得解. 【详解】由题可知，此组数据共有10个，因为， 所以此组数据的75百分位数为第8个数据， 所以“”时“此组数据的75百分位数为4”，充分性成立， 此外“此组数据的75百分位数为4”时，必要性不成立. 所以“”是“此组数据的75百分位数为4”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】 如图所示正方体， 对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误； 对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误； 对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误； 对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确. 故选：D 6. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式和通项公式得到方程，解出后即可得到答案. 【详解】由，可得，即，则， 故. 故选：B 7. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】因为函数在上单调， 由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故在R上单调递减， 所以， 解得：. 故选：D. 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（ ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】   因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心， 所以 ， 所以. 故选：C. 二、选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的一个零点为 D. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用代入检验法可判断BC选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，因为， 所以函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，， 因为，故函数的一个零点为，C对； 对于D选项，将函数图象上的所有点向左平移个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为，D错. 故选：BC. 10. 已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若、为相互独立事件，则 B. 若、为互斥事件，则 C. 若、为互斥事件，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式结合并事件的概率公式可判断A选项；利用互斥事件的概率公式可判断B选项；数形结合可判断C选项；利用事件的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、为相互独立事件，则， 故，A对； 对于B选项，若、为互斥事件，则，B对； 对于C选项，如下图所示： 因为、为互斥事件，则，结合图形可知，故，C错； 对于D选项，若发生时一定发生，则，故， 故，D对. 故选：ABD. 11. 已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交、轴于，两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 直线必过定点 C. 满足的点有两个 D. 过点作圆的切线，切线方程为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出，即可判断A，设求出切点弦的方程，从而求出定点坐标，即可判断B，求出以为直径的圆的方程，再判断圆与圆的位置关系，即可判断C，分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到切线的斜率等于半径可求出的值，即可得出切线的方程，可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A正确； 设，以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得， 即， 由，解得，因此直线过定点，故B错误； 对于直线，令，则，即， 令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为， 又， 则，所以以为直径的圆与圆相交， 所以满足的点有两个，故C正确； 当切线的斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到直线的距离，不符合题意， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离为，整理可得或， 故切线的方程为或，即或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据向量的垂直的坐标运算可得答案. 【详解】因为，所以，解得或． 故答案为：2或. 13. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论的值即可求解在相应条件下恒成立时的取值范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意恒成立， 则，解得； 当时，不等式不能对任意恒成立． 综上，k的取值范围是． 14. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积. 【详解】 如图根据题意，平面， 所以即为与平面所成角，则， 又因为，， 所以，则, 又，即三角形为直角三角形， 取中点，则为三角形外接圆圆心， 取中点，则，且， 所以，即为三棱锥的外接球球心， 其半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题．（本题共5个小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某公司在一次入职面试中，共设有轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知张三能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响． （1）求张三不需要进入第三轮测试的概率； （2）求张三通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 设张三通过第一、二、三轮测试分别设为事件、、，可知、、相互独立． 设张三不需要进入第三轮测试为事件，则， 所以 ， 即张三不需要进入第三轮测试的概率为. 【小问2详解】 设张三最终通过测试为事件，则， 所以 . 故张三最终通过测试的概率为. 16. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，证明是等差数列，并求的前项和． 【答案】（1）； （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）设的公比为，然后根据题意列方程可求出，从而可求出； （2）由（1）可得，从而可证得是以为首项，为公差的等差数列，进而可求出. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，， 由可得，整理化简得， 解得或（舍去），故. 【小问2详解】 由（1）可知，，则． 因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 故． 17. 已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹所形成曲线的方程； （2）若过点的直线交曲线于、两点，且（其中为坐标原点），求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题中条件可得出关于、的等式，化简即可得出曲线的方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由题意得出，根据平面向量数量积的坐标运算与韦达定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 设，由题意得， 整理得，即为曲线C的方程． 【小问2详解】 由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 因为，所以 ， 解得， ，原点到直线的距离为， 故的面积为 ， 故的面积为. 18. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求； （2）若是边上一点，且，设边上的高为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由题意得出，利用平面向量的线性运算得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出，，可得出的表达式，即可得出的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即，所以，由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 如下图所示： 因为是边上一点，且，故， 所以，整理得， 所以，即①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，故，所以， 故，故. 19. 如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，当在何位置时，二面角的余弦值为． 【答案】（1）证明见解析 （2）点满足 【解析】 【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接，则平面，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求得值可得的位置． 【小问1详解】 长方形中，，，为的中点，所以， 所以，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， 则、、、， 设， ，. 设平面的一个法向量为，则， 取，得. 由，整理得， 解得或（舍去）， 故当点满足时，二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $