精品解析：湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试题

衡阳县2025年下学期高二期末质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若C为等轴双曲线，则 C. 若为C的一条渐近线，则 D. 若C的焦点到渐近线的距离为2，则 11. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是相互独立事件，且，，则______. 13. 已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 14. 记的内角的对边分别为，若，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 17. 在四棱锥中，底面，. （1）证明：; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 19. 已知椭圆的离心率为e，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点P，点P到直线的距离为d，当时，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：是定值； （3）点，当取最大值时，求椭圆C上动点Q到直线DP的最大距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2025年下学期高二期末质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 故选：D 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：C. 4. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得点的坐标，再由投影点坐标的特征可直接得到结果. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为， 所以点在坐标平面内的投影为点. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 7. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数利用导函数正负得出函数单调性，再代入得出端点函数值即可求出值域. 【详解】， 当时，单调递减，时单调递增， 所以为单调减函数，为单调增函数， 所以，且 所以值域为， 故选：B． 8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调性可得，结合衔接处的函数值关系可得，构造函数，根据的单调性即可求解. 【详解】由题意必有可得， 又，整理为． 令，有，由函数为增函数，可得函数为增函数，又由， 可得不等式中a的取值范围为， 由上知，实数a的取值范围为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若C为等轴双曲线，则 C. 若为C的一条渐近线，则 D. 若C的焦点到渐近线的距离为2，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程判断A；根据判断B；根据双曲线的渐近线方程判断C；根据焦点到渐近线的距离为判断D. 【详解】A选项，由题意可知，，则，故A正确； B选项，若C为等轴双曲线，则，则，得，故B正确； C选项，双曲线的渐近线方程为，则，得，故C错误； D选项，双曲线的焦点到渐近线的距离为，得，故D正确. 故选：ABD 11. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和的性质，可判断ABC，利用前项和公式来求的通项公式可判断D. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以； 因为，又因为，所以， 又因为，所以，则，故A正确； 且当时，取最大值，且，故B正确，C错误； 因为，所以数列单调递减； 因为，所以， 所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确． 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是相互独立事件，且，，则______. 【答案】0.68 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式结合概率基本性质计算求解. 【详解】因为，是相互独立事件，所以， 则. 故答案为：. 13. 已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 14. 记的内角的对边分别为，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得，代入条件中化简可得，然后由正弦定理可得，此时条件转化为，最后利用基本不等式的性质和辅助角公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即； 由正弦定理，得，所以， 即，即； 因为，所以①，当且仅当时取等号； 又，所以，所以②， 当，即时，等号成立； 由①②知，即，此时； 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义以及等比数列性质列方程计算可得公差，可求得通项公式； （2）利用等差等比前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 设公差为，则，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以或0（舍去）. 故； 即的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 17. 在四棱锥中，底面，. （1）证明：; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为， 在中，由余弦定理得：， 所以，即， 又，所以， 所以， 又底面平面， 所以，又，平面， 所以平面平面，所以； （2） 【解析】 【分析】 .0（1）利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有：，又底面，平面， 所以， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，，如图， 由， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1） 若时，在上单调递减； 若时，在上单调递减，在上单调递增； 若时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. 【解析】 【分析】（1）求导可得的解析式，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）可得的单调性和最大值，只需证即可，令，利用导数判断的单调性，分析即可得证. 【小问1详解】 由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为e，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点P，点P到直线的距离为d，当时，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：是定值； （3）点，当取最大值时，求椭圆C上动点Q到直线DP的最大距离. 【答案】（1） （2） 设点，因为点在椭圆上，得， 由两点间距离公式得， 化简得； （3） 【解析】 【分析】（1）求出点，根据椭圆定义可求得椭圆标准方程，根据离心率公式可求得离心率； （2）设点，根据两点间的距离公式列式化简计算即可得证； （3）由（2）可知，，根据三角形两边之差小于第三边得三点共线时取最大值，得，通过平移当直线与椭圆相切时，两直线间距离即为椭圆上点到直线距离的最值，列式求解计算即可得到最大距离. 【小问1详解】 由已知，设椭圆左焦点，则， 因为， 由，得， 椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，，， 由图可知（当且仅当D，F，P三点共线时，等号成立）， 当D，F，P三点共线时取最大值， ，设直线， ，得：， ，， 通过图象可得，当直线时，椭圆上动点Q到直线DP的距离最大， 即椭圆上动点Q到直线DP的最大距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $