第05讲 一次方程（组）（复习讲义，5命题点+33题型+2重难突破）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程（组）及应用”，覆盖等式性质、解法及古典问题等11类应用题，通过“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测”系统架构，结合真题训练突破建模难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点是“情境化建模”与“分层突破”，如用《九章算术》问题培养模型观念，通过“新定义运算”提升抽象能力。设三级练习配合错解分析，教师可借考情预测把握方向，助力学生高效提升运算能力与应用意识。

第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞察·题型预测 16 命题点一 方程的概念 题型01等式的性质 题型02方程的定义 命题点二 解一元一次方程 题型01解一元一次方程 题型02一元一次方程的同解问题 题型03一元一次方程的错看与遮挡问题 题型04一元一次方程的解题步骤判断 题型05新定义运算与方程综合 题型06一元一次方程求参数问题 命题点三 一元一次方程的应用 题型01古典问题 题型02配套问题 题型03销售问题 题型04积分问题 题型05方案问题 题型06数字问题 题型07行程问题 题型08动点问题 题型09分段收费问题 题型10工程问题 题型11和差倍分问题 命题点四 解二元一次方程组 题型01解二元一次方程组 题型02二元一次方程组的同解问题 题型03二元一次方程组求参数问题 题型04二元一次方程组的错解问题 题型05解三元一次方程组 命题点五 二元一次方程组的应用 题型01数字问题 题型02方案问题 题型03行程问题 题型04工程问题 题型05销售问题 题型06和差倍分问题 题型07几何问题 题型08古典问题 题型09三元一次方程组的应用 05·重难突破·思维进阶 102 突破一 新定义的方程 突破二 二元一次方程组的特殊解法 06·优题精选·练能提分 105 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等式的性质 / / / 理解方程的意义：能根据现实情境理解方程是刻画数量关系的数学模型，能针对具体问题列出方程 理解方程解的意义：经历估计方程解的过程，能检验方程解的合理性 掌握等式的基本性质 理解一元一次方程、二元一次方程（组）的概念：能识别并区分不同类型的一次方程（组） 解一次方程（组） / 浙江卷T18 台州卷T18 能解一元一次方程：掌握 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 的基本步骤，能求解含括号、分数系数等各类一元一次方程 掌握消元法，能解二元一次方程组：熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，体会 “消元” 思想的核心作用 能解简单的三元一次方程组（选学内容，） 发展运算能力：通过解方程（组）过程，提升逻辑思维与规范运算能力，确保求解过程的准确性与步骤完整性 一次方程（组）的应用 浙江卷T17 浙江卷T22 温州卷T7 宁波卷T8 绍兴卷T6 嘉兴卷T15 能根据具体问题的实际意义，建立一次方程（组）模型，解决实际问题 能检验方程（组）解的合理性：结合实际情境判断解是否符合现实意义，形成模型观念 解决典型实际问题：包括行程、工程、利润、配套、古代数学问题（如《九章算术》《张丘建算经》中的问题）等，体会数学与生活的紧密联系 形成抽象能力与模型观念：会用方程语言表达现实世界中的数量关系和变化规律，发展数学应用意识 命题预测 命题主体变化：2023 年各地市自主命题，2024-2025 年全省统一命题，风格更稳定，侧重模型观念与运算能力培养。考点侧重迁移：从 2023 年 “解法 + 应用” 并重（如台州卷 T18 纯解方程），转向 2024-2025 年以应用为主（占比约 70%），纯解方程题减少，贴合新课标 “用方程刻画数量关系” 要求。情境多样化：应用题型多结合生活（跑步机速度）、古代数学（《九章算术》）、农业（茶园面积）等，强化数学与现实联系。核心能力聚焦：突出 “列方程（组）建模” 与 “解的合理性检验”，弱化复杂运算，强调消元思想与代入 / 加减消元法基础应用。26年中考预测：考点分布：一次方程（组）应用约占 70%，解法约占 30%，等式性质与方程概念融入其中，无单独命题。题型预测：选择题 1 道（列方程组）、解答题 1-2 道（1 道纯解方程组，1 道实际应用），分值稳定在 10-14 分。命题方向：情境更贴近生活与传统文化，强化模型观念，可能结合一次函数综合考查；难度适中，注重基础，避免偏题怪题。备考重点：夯实 “列方程（组）建模” 能力，熟练掌握消元法，加强解的合理性检验训练，对接新课标核心要求。 考点一 等式的性质与方程的定义 1．等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程:含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 1．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 2．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 4．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 5．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 6．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 考点二 解一次方程（组） 1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． 2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 4．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 5．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 6．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． 7．解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 8．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 1.（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案． 【详解】解：方程两边同乘6，得① ∴开始出错的一步是①， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键． 2.（2021·浙江温州·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号． 3.（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 4.（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 5.（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)划线见解析 (2)，过程见解析 【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答； （2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可． 【详解】（1）解：划线如图所示： （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键． 6.（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 7.（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 考点三 一次方程（组）的应用 1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 1.（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 2.（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可． 【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷， 由题意，得：， 即： 故选B． 【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 3.（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克，列方程组，由消元法可得的值为（    ） 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克） 第一天 2 2 72 第二天 3 2 96 A．12 B．16 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案． 【详解】解：设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克， 根据表格得 , 由-得， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解本题的关键． 4.（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 5.（2022·浙江舟山·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可． 【详解】设弹簧秤新读数为x 根据杠杆的平衡条件可得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题是一个跨学科的题目，熟记物理公式动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键． 6.（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 7.（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 命题点一 方程的概念 ►题型01 等式的性质 【典例1】（2026·广西钦州·模拟预测）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐一验证各选项是否成立即可． 【详解】解：选项A、由于，则，等式成立； 选项B、由于，则，等式不成立； 选项C、由于，则，等式成立； 选项D、若，则，等式成立， 故选：B． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知三个实数a、b、c满足（），，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，因式分解等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先由得到，然后代入，根据不等式的性质，等式的性质化简判断的符号；，再由，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 而， ∴， ∴ 故选：B． ►题型02 方程的定义 【典例2】（2024·安徽·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 【变式2-1】（2020·江西九江·二模）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据“只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程”列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴k的值不可能是， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点二 解一元一次方程 ►题型01 解一元一次方程 【典例1】（22-23七年级上·陕西安康·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，熟练掌握一元一次方程解法步骤是解决问题的关键． （1）由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【变式1-1】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键． 【详解】解， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 【变式1-2】（23-24七年级上·福建漳州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ►题型02 一元一次方程的同解问题 【典例2】（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 【变式2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·同解问题如果方程的解也是关于的方程的解，那么的值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键． 先解一元一次方程求得值，然后将值代入第二个方程得到关于的一元一次方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：解方程， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵也是方程的解， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于的方程与，如果两个方程的解相同，那么的值为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，一元一次方程的解法，先解方程，再把解代入，即可得到答案． 【详解】解：解方程， 得． 将代入方程， 得， 解得． 故选B ►题型03 一元一次方程的错看与遮挡问题 【典例3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 【变式3-1】（2022九年级·全国·专题练习）某同学解方程3x－1=□x＋3时，把□处数字看错后解得x=－2，那么他把□处看成了（     ） A．4 B．－4 C．5 D．－5 【答案】C 【分析】设看错处为，把 代入方程，求解即可． 【详解】设看错处为 ， 则原式为 ， 把 代入，得 解得． 故答案为：C 【点睛】本题考查一元一次方程的求解运算，熟练掌握其定义及运算法则是解题的关键． 【变式3-2】（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再移项，合并同类项，即可作答． （2）与（1）同理得，结合方程的解是正整数，得，故，又因为为正整数，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； （2）解：设被遮挡的正整数是， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； ∵方程的解是正整数， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， 即被遮挡的正整数是． ►题型04 一元一次方程的解题步骤判断 【典例4】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 【变式4-1】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务： 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 【答案】①等式的基本性质二，乘法分配律；②三，移项时没有变号（移项时未变号）；③见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 【详解】解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质二进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律， 故答案为：等式的基本性质二，乘法分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号（移项时未变号）， 故答案为：三，移项时没有变号（移项时未变号）； ③    第三步，     第四步，     第五步． 【变式4-2】（2021·浙江杭州·一模）圆圆解方程的过程如图．请指出她解答过程中所有错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ 【答案】错误步骤的序号为①、②；正确解答过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程的方法和步骤，解决本题的关键是去分母时根据等式性质每一项都要乘以分母的最小公倍数．去括号时注意符号的变化和括号内每一项都要乘以括号外的因数．根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答即可得解． 【详解】解：错误步骤的序号为①、②． 正确解答过程如下：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ►题型05 新定义运算与方程综合 【典例5】（25-26七年级上·广西南宁·月考）小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，规律探索，解一元一次方程，整式加减运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据给出的式子总结规律：； （2）根据加法的交换律和乘法的交换律进行验证即可； （3）将其代入（1）中所总结的规律，列出方程，解答即可； （4）根据，得出，根据的运算结果与的取值无关，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：成立，理由如下： ∵，， 又∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （4）∵， ∴ ， ∵的运算结果与的取值无关， ∴， 解得：． 【变式5-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为 ， ， ， ， 解得． 【变式5-2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， (1)，求的值； (2)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)5 (2)成立，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算出和的结果，看二者是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴即为， 解得； （2）解：成立，探究如下： ， ， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． ►题型06 一元一次方程求参数问题 【典例6】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若方程的解与关于的一元一次方程的解相同，则的倒数为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程和方程的解的定义． 先解第一个方程得到x的值，再代入第二个方程求k，最后求k的倒数即可． 【详解】解：， 展开得 ， 移项得 ， ∴ ． ∵ 方程的解与方程 的解相同， ∴ 代入得 ， 即 ， 则， ∴ ， ∴的倒数为 ． 故选：B 【变式6-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）若关于x的方程有整数解，则所有满足条件整数k的值之和为 ． 【答案】18 【分析】解方程得到，由为整数可知是7的因数，从而求出整数的值，再求和． 本题考查了一元一次方程的解，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得 ，即， 移项合并得， 故． 由于有整数解，因此是7的因数，即． 解得， 故这些整数的和为． 故答案为：18． 【变式6-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知方程的解与关于的方程的解互为倒数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、解一元一次方程、代数式求值，能得出关于的方程是解此题的关键． 先求出第一个方程的值，再根据倒数性质求出的值，将代入第二个方程求出的值，最后代入值计算即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘得：， 即 ，移项得 ， 解得． ∵由于两方程的解互为倒数， ∴关于的方程的解为， 把代入， 得：， 两边同乘得， 移项得， 解得． 将代入中， ． 故答案为：25． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知关于x的方程的解为正整数，则整数b所有可能取值的积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解，掌握知识点是解题的关键． 通过求解方程得到x的表达式，根据x为正整数确定b的取值，最后计算所有可能b值的乘积即可． 【详解】解：， 两边同乘8，得 ， 移项合并，得 ， 解得 ． 由于x为正整数，因此必须是5的正因数， 即或， 解得或， ∴整数b所有可能取值的积为． 故答案为：21． 【变式6-4】（25-26七年级上·全国·期末）关于的方程有负整数解，则所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，以及确定参数的取值范围．熟悉解一元一次方程的基本方法和根据解的性质求出参数的取值范围是解题的关键．首先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为等方法解一元一次方程，根据“负整数解”分析参数取值范围，求出整数的值并求和． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， ∵方程有负整数解， ∴且为整数， ∴，即，且为整数， ∴是的负约数，即或， 解得或， ∴． 故答案为：． 命题点三 一元一次方程的应用 ►题型01 古典问题 【典例1】（25-26七年级上·河南焦作·期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照曹冲称象的方法：先将大象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将大象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好达到标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好达到标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设条形石的重量为斤，则下面说法正确的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．大象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设每块条形石的重量是斤，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设每块条形石的重量是斤，由题意，得： ， 解得：； ∴； ∴每块条形石的重量是240斤，大象的重量是5160斤． 故选：B． 【变式1-1】（25-26七年级上·重庆忠县·期末）《张丘建算经》中给出的百鸡问题：笼中有若干鸡母鸡雏售卖，鸡母一只值五钱，鸡雏三只值一钱．张翁拟百钱买百鸡，问买鸡母几何？若设鸡母只，则列方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设鸡母只，则鸡雏只，根据“鸡母一只值五钱，鸡雏三只值一钱．张翁拟百钱买百鸡”列出方程后化简即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设鸡母只，则鸡雏只， 依题意，得：， 整理得：． 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五枚多十枚，四人八枚两枚剩．问：有几个牧童几枚杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少枚杏．若3人一组，每组5枚杏，则多10枚杏；若4人一组，每组8枚杏，则多2枚杏．设杏有x枚，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．设牧童人数为，根据总杏数不变，从两个条件列出关系式，消去得到关于的方程即可． 【详解】解：设牧童人数为， 由三人五枚多十枚得：， 由四人八枚两枚剩得：， 联立两式消去得， 故答案为：． ►题型02 配套问题 【典例2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得，且长方形和正方形的纸板比为，即可求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张，根据（1）②的方法列出方程，可得，则长方形有40张，正方形27张，即可求解． 【详解】（1）解：①依题意，． ②当时， 由题可列方程：， 解得：，即图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． 此时最多可以做图3的无盖纸盒：（个）． （2）解：方法一：由（1）可知，13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，此时2张纸板按图1方法裁剪，1张纸板按图2方法裁剪，得4张长方形和3张正方形，可以再做一个纸盒，共最多做出13个纸盒； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张， 由题可列方程：， 解之得：，为了保证最多，则按图1方法共20张，按图2方法共9张， 此时长方形有40张，正方形27张， 可以做：；即最多可以做13个纸盒． 【变式2-1】（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）元旦期间，七年级（3）班同学去某新能源汽车厂研学，顺便慰问节假日期间还工作在岗位上的某车间职工，给他们带去了一些礼品，如果每人3件，则剩下7件，如果每人4件，则还少15件，请应用一元一次方程解答下列问题． (1)求该车间一共有多少名职工？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1500个螺钉或2500个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)22名 (2)生产螺钉的工人10名，生产螺母的工人12名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）根据礼品数量不变，由分配情况列方程求职工人数； （2）根据1个螺钉需要配2个螺母，即螺母个数应是螺钉个数的2倍列方程求生产螺钉和螺母的工人人数． 【详解】（1）解：设该车间一共有名职工根据题意，得 ， 解得， 答：该车间一共有名职工． （2）解：设应安排生产螺钉的工人y名，则生产螺母的工人为名，依题意得： 解得， ∴生产螺母的工人为（名） 答：应安排生产螺钉的工人10名，生产螺母的工人12名． ►题型03 销售问题 【典例3】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）过年了,两商场A、B为庆贺新年,全场商品按如下方式优惠： 商场A 不超过500元的部分 九折 超过500元但不超过1000元的部分 八折 超过1000元的部分 五折 商场B 全场消费每满200减100（如消费500就只用付300,依此类推） (1)小红去商场A置办年货，看中了一件标价800元的衣服，应付款多少元． (2)小红又在商场B看中了一套850元的衣服，服装类商品按原价先打折,再按打折后的价格参加优惠还能优惠300元．小红正准备付款,却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元，试求该衣服打几折． (3)过了几天，小红和小明先后去商场A给学生购买新年礼物,已知礼物一份单价20元，两人共购买了80份,一共花了1374元，已知小红买的比小明多,则小红买了多少份礼物． 【答案】(1)690 (2)9 (3)51 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）根据表格中的优惠方案列式计算即可； （2）设该衣服打x折，根据该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元，列出方程，解方程即可； （3）先通过计算确定小红买的礼物一定超过了50份，小明购买的礼物超过25份，设小红买的礼物为y份，则小明购买的礼物为份，根据两人共购买了80份,一共花了1374元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， 答：小红应付款690元； （2）解：设该衣服打x折，根据题意得： ， 解得：， 答：该衣服打9折； （3）解：假设小红买的礼物超过40份，而不超过50份，此时小明和小红的付款数额都超过500元，而不超过1000元，则两个人应该付款总数为： （元）， ∵， ∴小红买的礼物一定超过了50份， 假设小明购买的礼物刚好25份时，两个人应该付款总数为： ， ∵， ∴小明购买的礼物超过25份， 设小红买的礼物为y份，则小明购买的礼物为份，根据题意得： ， 解得：， 答：小红买的礼物为51份． 【变式3-1】（25-26七年级上·天津·期末）凤翔泥塑是陕西宝鸡的国家级非物质文化遗产，某文创店计划采购泥塑制作工具包和泥塑摆件．已知每套工具包比每个摆件贵20元，购买一套工具包和一个摆件共需花费180元． (1)求每套工具包和每个摆件的进价分别是多少？（列一元一次方程解答） (2)该文创店计划购买100套工具包和个摆件．现有两家工艺品店给出不同优惠方案： 甲店：每购买10套工具包，送一个摆件； 乙店：若购买工具包超过90套，则工具包原价，但购买摆件打八折． ①用含m的代数式分别表示到甲店购买的费用为_____元，到乙店购买商品所花的费用为______元． ②买多少套摆件时，两个店的花费一样？ ③如果买20套摆件，去哪个店买更划算？之后文创店又把一套工具包和一个摆件以216元的价格售出，售出这一套工具包和摆件获得的利润率是多少？ 【答案】(1)每套工具包的进价为100元，每个摆件的进价为80元． (2)①到甲店购买所花的费用为：元，到乙店购买所花的费用为：元；②买50套摆件时，两家店花费一样多．③在甲店购买划算，利润率为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数四则运算的实际应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套工具包的进价为x元，则每个摆件的进价为元，根据买一套工具包和一个摆件共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可；②根据两个店的花费一样列出方程，解方程即可；③分别计算当时，两个店的花费，比较即可得到哪个店买更划算；最后根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设每套工具包的进价为x元，则每个摆件的进价为元， ∴， 解得，则（元）． 答：每套工具包的进价为100元，每个摆件的进价为80元． （2）解：①到甲店购买所花的费用为：元， 到乙店购买所花的费用为：元； ②，解得， 则买50套摆件时，两家店花费一样多； ③时，甲店花费（元），乙店花费（元）， ∵； ∴在甲店购买划算， 当在甲店购买时，够买20套摆件，成本为（元）， 则以216元价格卖出，获得的利润率为：． 【变式3-2】（2025--2026学年第一学期七年级期末考试数学试卷）某文具店销售A、B两种笔记本，A种笔记本每本进价15元，售价20元；B种笔记本每本进价20元，售价30元． (1)若该文具店同时购进A、B两种笔记本共40本，恰好总进价650元，求购进A、B两种笔记本各多少本？ (2)开学季，该文具店对A、B两种笔记本开展优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于300元 不优惠 超过300元，但不超过500元 按售价打八折 超过500元 不超过500元部分打八折，超过500元的部分打六折 小芸一次性购买了3本A种笔记本，n本B种笔记本，按上述优惠条件，实际付款336元，求n的值． 【答案】(1)A种笔记本30本，B种笔记本10本 (2)12 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，结合总进价650元，再建立方程求解即可． （2）先判断实际付款336元时，所购笔记本的销售金额不超过，结合题意可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设购进种笔记本本，则购进种笔记本本， 由题意得， 解得：． ， 答：购进种笔记本30本，种笔记本10本． （2）解：∵， ∴实际付款336元时，所购笔记本的销售金额不超过， 结合题意可得：， 解得：． ►题型04 积分问题 【典例4】（24-25七年级上·辽宁大连·月考）某校初一三班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，要求每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 2 88 C 64 D 10 40 (1)补全表格，并写出你的研究过程． (2)参赛者E说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不可能；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据四位参赛者的得分和题目总数为20，设参赛者C答对题数为道，则答错题数为道，列方程求解，即可完成表格； （2）根据表格可得答对1题得5分，再根据参赛者B的得分可得答错1题扣1分，进而可判断E的说法； 【详解】（1）解：补全表格： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B 18 C 14 6 D 10 共有道选择题， 参赛者A答对20题得100分，可知答对一题得； 参赛者B答错题数为2，所以B答对题数为18道； 参赛者D答对题数为10，所以D答错题数为10，每答错一题得分，       设参赛者C答对题数为道，则答错题数为道， 由题意可得，， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 所以，参赛者C答对题数是14道，答错题数为6道； （2）解：根据参赛者A可知，每答对一题得分 ； 根据参赛者D可知，每答错一题得分，            若参赛者错了10个题，则答对10个题，共得分分． 所以，不可能． 【变式4-1】（25-26七年级上·宁夏固原·期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 【答案】(1)5， (2)5 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据题干中参赛者的成绩和参赛者的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由题干中参赛者的成绩可知：每答对一道题得分， 由题干中参赛者的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，． （2）解：设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题， 根据题意：， 解得：， 答错了：道， 答：参赛学生李明答错了5道题． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南湘西·期末）为了丰富学生的课外生活，培养学生的兴趣爱好与体育意识，某中学七年级各班举行了盛大的篮球比赛．前四名班级的积分情况如表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 3 五班 8 5 3 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积______分，负一场积______分； (2)请直接写出：______，______； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【答案】(1)2，1 (2)15，13 (3)该班级胜2场 (4)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确找到等量关系是解题的关键． （1）由第一名即可求出胜一场的得分，由最后一名即可求出负一场的得分； （2）由（1）所求胜一场的得分和负一场的得分即可求出m和n的值； （3）设该班胜场次数为场，则负场次数为场，根据题意列出关于的方程，解出即可． （4）设该班级胜场，则负场，根据题意列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：胜一场得：（分）， 负一场积分为：（分）， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 经检验，符合题意 答：该班级胜2场 （4）他的说法不正确 理由：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解得， 因为胜的场次不可能为负数，所以小明的说法不正确． ►题型05 方案问题 【典例5】（25-26七年级上·河南郑州·期末）【项目式学习】在豫式早餐中胡辣汤绝对是醒胃主角，其汤体滚烫浓稠，以胡椒、骨汤与多种香料熬制，滋味辛香醇厚．老饕的经典吃法是配着焦脆的油馍头或水煎包，将面食浸入汤中，吸饱汤汁，口感层次瞬间迸发．佐以一碗清爽的豆腐脑“两掺”，抑或一杯醇香的豆浆，便构成了中原大地上最具烟火气的滚烫江湖．某数学兴趣小组利用周末对某早餐店的早餐的销售进行了研究． 项目主题：豫式早餐的销售 素材1 早餐的品种繁多，胡辣汤也有很多种不同的口味，该店除了传统口味外，最受顾客欢迎的是“金汤胡辣汤”与“滋补胡辣汤”． 素材2 传统口味胡辣汤一份5元，“金汤胡辣汤”一份6元，“滋补胡辣汤”一份8元．牛肉饼4元1个，水煎包一份2元（4个），现磨豆浆一份2元 素材3 门店下单优惠方案：每购买2份“金汤胡辣汤”，免费赠送1份水煎包． 每购买2份“滋补胡辣汤”，免费赠送传统口味胡辣汤1份． 网上下单优惠方案：网上下单的用户全单打9折销售 问题解决 任务1 ①兴趣小组的成员小亮计划下单12元的早餐，请为他设计一种早餐的搭配方式． ②该店某天上午以“门店下单”的方式售出一单（含免费赠送），顾客最终获得：传统口味胡辣汤3份，“金汤胡辣汤”3份，“滋补胡辣汤”4份，水煎包6份，牛肉饼4份，请计算本单的销售额． 任务2 小丽一家某天早上在该店购买早餐，计划下单“金汤胡辣汤”5份，牛肉饼和水煎包一共4份．在不考虑其他因素的影响下，请求出最终获得牛肉饼和水煎包各多少份时，两种下单方式的总费用相同． 【答案】任务1：①选择1份金汤胡辣汤(6元)、1份牛肉饼(4元)、1份现磨豆浆(2元)，总价恰好12元；②本单销售额为81元； 任务2：下单(含免费赠送)牛肉饼1份、水煎包3份时，两种下单方式的总费用相同． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：①设计一份12元的早餐搭配即可；②根据门店下单优惠方案，求解即可． 任务2：设购买牛肉饼m个，则购买水煎包份，可得门店总费用为：或元，网上下单折后费用为：(元)，由题意，分别列式计算求解即可． 【详解】解：任务1： ①设计一份12元的早餐搭配： 选择1份金汤胡辣汤(6元)、1份牛肉饼(4元)、1份现磨豆浆(2元)，总价恰好12元； (答案不唯一) ②根据门店下单优惠，实际付款部分计算如下： 金汤胡辣汤3份，赠送水煎包1份． 滋补胡辣汤4份，赠送传统口味胡辣汤2份． 因此，传统口味胡辣汤份，元； 金汤胡辣汤3份，元； 滋补胡辣汤4份，元； 水煎包份，元； 牛肉饼4份，元； 合计：元． 答：本单销售额为81元； 任务2：设购买牛肉饼m个，则购买水煎包份，m为非负整数，且满足， 由题意得，金汤胡辣汤费用：元，牛肉饼费用：元， ∵水煎包赠送：购买5份金汤胡辣汤，，赠送2份水煎包， ∴①当时，即，需付费水煎包，费用为元， ∴； ②当时，即，赠送量足够，水煎包无需付费， ∴； 由题意，网上下单费用网上无赠送，按原价总和打9折， ∵原价总和， ∴， ∴令， 则当时，， ∴，符合的整数要求； 当时，， ∴，不是整数，且不在范围内，舍去， ∴，即牛肉饼：1个，水煎包：份． 答：下单(含免费赠送)牛肉饼1份、水煎包3份时，两种下单方式的总费用相同． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）可可看到两个商场的促销信息如图所示． 甲商场海报 乙商场海报 全场9折 1、购买不超过100元不给予优惠． 2、购买超过了100元但又不超过200元的，全部打9.5折． 3、购买超过200元的，200元那部分打9.2折，超过200元的那部分打8折． (1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ (2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (3)可可第一次到乙商场购买了标价98元的商品后又到乙商场买了一件优惠后142.5元的商品，如果他一次性在该商场购买这些商品，可以节省多少元钱？ 【答案】(1)甲商场付款180元，乙商场付款190元 (2)240元 (3)18.1元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家商场需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是200元时， 在甲商场需付款：（元， 在乙商场需付款：（元， 答：当一次性购物标价总额是200元时，甲商场付款180元，乙商场付款190元； （2）解：由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家商场才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙商场实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是240时，甲、乙商场实付款一样； （3）解：由题意可得， 可可两次到乙商场购物，需要付款：（元， （元 可可一次性到乙商场购物标价元的商品， 需要付款：（元， （元， 答：可以节省18.1元． 【变式5-4】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件恤； 方案二：裤子和恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，恤件（）； (1)按方案一，购买裤子和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？写出你的方案，并计算所需费用． 【答案】(1) (2)90 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤． 【详解】（1）解：根据题意得：元， 答：按方案一购买裤子和T恤共需付款元； （2）解：按方案二，购买裤子和T恤共需付款： 元， 根据题意得，， 解得：， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）解：能；用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款： （元）； 按方案一需要的费用为：（元）， 按方案二需要的费用为：（元）， ∵， ∴用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，最省钱． ►题型06 数字问题 【典例6】（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是设出未知数，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列出方程，求解是解题关键． 利用三阶幻方的性质，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴， 解得：， ∵，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）将连续的偶数，排成如图所示的数表，并用一个十字形框框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框中数的规律，并回答问题： (1)若将十字框上下左右平移可框住5个数，设这5个数中最小的数为x，用含x的代数式分别表示另外4个数． (2)十字框上下左右平移框住的5个数的和能等于2025吗？如果能，写出这五个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)框住的5个数的和不能等于2025，理由见解析 【分析】此题考查整式的加法和一元一次方程的应用． （1）最小的数为x，另外四个数分别为； （2）假设5个数的和能等于2025，最小的数为x，则，解得，根据x是偶数，可知假设不成立． 【详解】（1）解：设最小的数为x，则另外四个数分别为； （2）解：5个数的和不能等于2025，理由如下： 设最小的数为x， 则5个数的和为 ， 假设5个数的和能等于2025， 则 解得：， ∵x是偶数， ∴假设不成立， ∴这五个数的和不能等于2025． 【变式6-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数0.8表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是_______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______； (3)类比上述探究过程，请你将表示成分数的形式． 【答案】(1)是 (2)等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质 (3) 【分析】本题考查无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． （1）根据材料求得的判断即可； （2）根据等式的性质解答即可； （3）仿照材料解法，根据题意设，两边同时乘以，可得，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是有理数； 故答案为：是 （2）解：从步骤①到步骤②，变形的依据是等式的基本性质； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是合并同类项和等式的基本性质． 故答案为：等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质． （3）解：设， 两边同时乘以，得， ∴ ∴， 解得：．即． ►题型07 行程问题 【典例7】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）A，B两地相距260千米．甲，乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇．已知甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米．请根据下面示意图中的等量关系列方程，并求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米，两地相距260千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 解得， 所以 答：甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时． 【变式7-1】（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与探究 问题情境 为参加2025年9月20日太原人形机器人欢乐跑比赛，两支参赛队伍进行模拟演练，每台机器人都配有同步奔跑的人类领航员、操作手和工程师等．模拟演练的场地为120米的跑道，如图1． 某次演练，甲机器人先从起点出发向终点匀速奔跑，速度为1.5米/秒，10秒后乙机器人也从起点出发向终点匀速奔跑，速度为2.5米/秒．设甲机器人奔跑的时间为秒． 数学思考 （1）在上述演练过程中，甲机器人距起点的距离为__________米；当时，乙机器人距起点的距离为__________米．（均用含的代数式表示） 解决问题 （2）若两台机器人在演练过程中均未发生故障，试探究乙机器人能否在奔跑过程中追上甲机器人？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． （3）若甲机器人在整个奔跑过程中未发生故障，乙机器人在甲机器人出发42秒时，发生故障．排除故障后，乙机器人以原来的速度继续前进，并与甲机器人同时到达终点．请直接写出在整个演练过程中，甲、乙两台机器人相距16米时，所有可能的的值． 【答案】（1）；；（2）能，理由见解析；（3）或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据路程速度时间求解即可； （2）先求出乙机器人追上甲机器人时x的值，然后与甲机器人到达终点的时间比较，即可得出结论； （3）分情况讨论：乙机器人追上甲机器人前；乙机器人追上甲机器人后，乙机器人发生故障前；乙机器人发生故障后，且在排除故障前；乙机器人排除故障后，根据甲、乙机器人相距16米方程求解即可． 【详解】解：（1）在上述演练过程中，甲机器人距起点的距离为米；当时，乙机器人距起点的距离为米， 故答案为：；； （2）若乙机器人追上甲机器人， 则， 解得， 甲机器人到达终点的时间为， ∵， ∴乙机器人能追上甲机器人； （3）第10秒时，甲、乙两机器人相距米， 当乙机器人追上甲机器人前， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当乙机器人追上甲机器人后，乙机器人发生故障前， 根据题意，得， 解得； 当乙机器人发生故障后，且在排除故障前， 第42秒时，甲、乙两机器人相距米， 根据题意，得， 解得； 当乙机器人排除故障后， ∵乙机器人没有发生故障到达终点的时间为， 又乙机器人与甲机器人同时到达终点， ∴乙排除故障的时间为秒， 根据题意，得， 解得， ∴的值为或或． 【变式7-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）某地每日均有甲、乙两班次长途汽车从迎宾客运中心驶往景区A．其中甲班次长途汽车从迎宾客运中心始发，经停新区停靠站后到达景区A；乙班次长途汽车从迎宾客运中心始发，直达景区A．某校数学学习小组对这两班次长途汽车运行情况进行研究，获得以下信息： ①新区停靠站正好在高速入口边上，两班次长途汽车的行驶路线相同，均为从“迎宾客运中心到新区停靠站”和“高速出口到景区A”两段普通公路和一段高速公路组成，其中迎宾客运中心到新区停靠站的路程为从新区停靠站到景区A的路程为 ②甲班次长途汽车在高速公路的平均行驶速度是在普通公路上的平均行驶速度的倍；乙班次长途汽车为本路线的快速班次，在普通公路上的平均行驶速度为，在高速公路上的平均行驶速度为． ③甲，乙两班次长途汽车行驶路线示意图和时刻表如下： 站点 甲班次 乙班次 到时 发时 到时 发时 迎宾客运中心 新区停靠站 不停留 景区A (1)求甲班次长途汽车从迎宾客运中心到新区停靠站行驶的时间和在普通公路上的行驶速度； (2)求高速公路出口到景区A的路程； (3)在行驶过程中，从上午时乙班次长途汽车出发开始计时，运行时长记为t分钟（如上午时，运行时长），在行驶过程中，能否出现两辆长途汽车相距的情况，若可以，求出所有符合的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)时间为，速度为 (2)高速公路出口到景区A的路程为 (3)或或分钟时两辆长途汽车相距 【分析】本题考查了有理数的除法的应用，一元一次方程的应用，分情况讨论为解题关键． （1）根据题目给出的条件利用路程除以时间即可求解； （2）设高速公路出口到景区A的路程为,则新区停靠站到高速出口的距离为，根据乙班次长途汽车的总用时列方程求解即可； （3）先分析在甲当在分钟时，在新区停靠站停靠，时，开始上高速，在分钟到达高速路口，再走12分钟到达景区A；乙当在分钟时，从迎宾走到新区停靠站，分钟走高速，再走最后，到达到达景区A；再分时间段分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲班次长途汽车从迎宾客运中心到新区停靠站行驶的时间为24分钟， 分钟小时， 答：时间为，速度为； （2）设高速公路出口到景区A的路程为,则新区停靠站到高速出口的距离为， 由题意可知乙班次总用时为2小时18分钟，即， 乙班次自迎宾客运中心到新区停靠站用时为， 则根据题意， 解得：， 答：高速公路出口到景区A的路程为； （3）设t分钟时，两辆长途汽车相距，以乙出发的时刻为， 甲在普通公路上的速度为，在高速公路上的速度为， 乙在普通公路上的速度为，在高速公路上的速度为， 甲当在分钟时，在新区停靠站停靠，时，开始上高速，在分钟到达高速路口，再走12分钟到达景区A； 乙当在分钟时，从迎宾走到新区停靠站，分钟走高速，再走最后，到达景区A； ①当时， ， 解得：（不合题意）； ②当时， ，即（无正解，不合题意）； ③当时， ，解得：或； ④当时， ， 解得：，（超出范围不合题意） ⑤时，乙到达景区，甲走最后，距离已不符合要求， 综上所述，或或分钟时两辆长途汽车相距离． ►题型08 动点问题 【典例8】（2026·全国·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，8．线段，从点A（端点P与点A重合，点Q在P点的右侧）出发，以每秒4个单位向右匀速运动，到达B点，即Q点与点B重合后，立即以每秒a个单位的速度匀速返回，当端点P与点A再次重合时运动停止．点M从点B出发，以每秒2个单位向左匀速运动，与线段端点Q相遇后速度立即变为每秒3个单位，匀速到达A点时运动停止．已知线段与点M同时出发，点M提前2秒到达点A．设运动时间为t（秒）． (1)经过_______秒，点M与线段端点Q相遇． (2)记，m与t具有函数关系． ①线段从左向右（从点A到点B）的运动过程中，求m与t的函数表达式； ②在整个运动过程中，请直接写出时t的所有取值． 【答案】(1)2 (2)①；②1.1或1.3或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识． （1）先得出点Q表示的数，然后再根据题意列出关于t的一元一次方程求解即可得出答案． （2）①根据相遇前后分两种情况分别出和即可求解． ②分四种情况，分别列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过t秒后，点M与线段端点Q相遇， ∵，从点A（端点P与点A重合，） ∴点Q表示的数为：， 则， 解得：， 故经过2秒，点M与线段端点Q相遇； （2）解：①当时，，， ． 当时，， ∵M与Q相遇后速度变成3，M的位置：相遇时，M的位置为：，之后向左走，故位置为， ∴ ． 综上：m与t的函数表达式为： ②当时，， 或 或． 当时，， 或均不在范围内，舍去． 当时，， ． 当时， 或． 当时， ， ， ． 综上，满足条件的值有或或或． 【变式8-1】（25-26九年级上·江西·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)则______，____________； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②存在， 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点A表示的数是1，B表示的数是，C表示的数是，点D表示的数是， ∴A、D间距离是，B、C间距离是， ∵当A、D间距离是B、C间距离的5倍， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或； （3）解：①当运动时间为t秒时， 点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A、B间的距离， 点A、C间的距离， 当点A到点B、点C的距离之和是40时， ， ∴； ②∵，， ∴ ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴， ∴， ∴存在符合条件的k，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，整式的加减，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值． 【变式8-2】（17-18七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． ． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的“巧点”，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，P为A、Q的“巧点”？说明理由． 【答案】（1）是；（2）8；（3）当，或3秒时，为、的“巧点” 【分析】本题考查新定义、线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论．（1）根据“巧点”的定义解答即可；（2）点C是线段的“巧点”，则最长为，即，进而作答即可；（3）根据“巧点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵点在线段上，且点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：点是线段上，且点是线段的“巧点”， 则有或或，显然当时，最长， 当时， 即， ∴， 故答案为：8； （3）解：设运动时间为秒， 则， 若为的“巧点”，则需满足以下三种情况：当时，， 解得，当时，， 解得，当时，， 解得， ∴当为或或时，点为的巧点． ►题型09 分段收费问题 【典例9】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)； (2)元； (3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用． 根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可； 根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可； 设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：元， 答：小美需要支付元快递费； （3）解：设这份特产重量按计费， 小美在江西， 首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：， 解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 【变式9-1】（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 【变式9-2】（24-25九年级下·北京丰台·月考）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1级 3级 (1)使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价电费） (2)某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 【答案】(1)6 (2)购买、使用1级能效空调更划算 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等． （1）设使用年时，两款空调的综合费用相等，列方程求解即可； （2）分别计算出两款空调使用年的综合费用，通过比较判断，然后即可求解． 【详解】（1）解：设使用年时，两款空调的综合费用相等，根据题意得： ， 解得：， 答：使用6年时，两款空调的综合费用相等； （2）解：当时， 1级能效空调的综合费用：（元）， 3级能效空调的综合费用：（元）， ∵， ∴所以购买、使用1级能效空调更划算． ►题型10 工程问题 【典例10】（25-26九年级上·湖南湘西·月考）有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积． (2)已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 【答案】(1)60平方米 (2)雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程，理解工作总量除以工作效率等于工作时间． （1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积每名徒弟每天粉刷的面积每名师傅比徒弟一天多刷的面积，据此列出方程，并求解； （2）分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，再求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，然后根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米． 根据题意得，， 解得， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米； （2）解：每名师傅每天粉刷墙面的面积为： （平方米）， 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：（平方米）， 单位面积的成本： 徒弟：元/平方米， 师傅：元/平方米， 所以应该优先雇佣徒弟， 40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： （平方米）， 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 师傅需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 徒弟需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （名）， 一天的费用： （元）， ， 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： （元）， 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元． 【变式10-1】（25-26九年级上·重庆·期末）列方程解下列问题： 某小型运动用品生产商，每天生产乒乓球的数量比每天生产的羽毛球数量多500个；2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个． (1)求该运动用品生产商每天生产的乒乓球、羽毛球的数量分别是多少个． (2)由于乒乓球与羽毛球的市场需求量激增，该生产商决定优化生产线．优化后，每天生产羽毛球增加的数量比每天生产乒乓球增加的数量的多100个．若生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天，求每天生产乒乓球增加的数量． 【答案】(1)乒乓球、羽毛球的数量分别是800个、300个 (2)400个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该运动用品生产商每天能分别生产乒乓球个，羽毛球个，根据“2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个”列出方程求解即可； （2）设乒乓球1天生产增加个，羽毛球1天生产增加个，根据“生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天”，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该运动用品生产商每天能分别生产乒乓球个，羽毛球个 由题意得： 解得 则 答：每天能分别生产乒乓球、羽毛球的数量分别是800个、300个 （2）解：设乒乓球1天生产增加个，羽毛球1天生产增加个 由题意得： 解得 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：乒乓球1天生产增加的数量为400个． 【变式10-2】（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ (2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 【答案】(1)甲工程队每天挖掘米，乙工程队每天挖掘米 (2)施工方案有两种：①甲队施工天，乙队施工天；②甲队施工天，乙队施工3天 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道36米，乙工程队每天可挖掘隧道24米． （2）解：设乙队施工天数为天， 隧道总长720米，甲队施工天，挖掘米，剩余隧道长度米， ∴乙队施工天数， ∵、为正整数， ∴为偶数，， ∴， 依题意得：，即 解得：， 又∵， ∴可取， 当时，乙队施工天数为， 当时，乙队施工天数为， 答：施工方案有两种：方案①甲队施工16天，乙队施工6天；方案②甲队施工18天，乙队施工3天． ►题型11 和差倍分问题 【典例11】（25-26九年级上·重庆·期中）2026年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共14100件经考察，乙工厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的倍少900件． (1)求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？ (2)在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味文创产品？ 【答案】(1)甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产8100件； (2)乙工厂每天生产180件陶味文创产品． 【解析】【1】 本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题目中的数量关系列方程是解题关键． （1）设甲工厂生产陶味文创产品x件，根据乙工厂生产数量与甲工厂生产数量的关系，列出一元一次方程求解； （2）乙工厂每天生产件陶味文创产品，则甲工厂每天生产件陶味文创产品，根据两个工厂完成生产的时间关系，列出分式方程求解． 【详解】解：（1）设甲工厂生产陶味文创产品件， 则乙工厂生产陶味文创产品（件， 依题意得：， 解得：． 乙工厂生产陶味文创产品：（件）， 答：甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产8100件， （2）乙工厂每天生产件陶味文创产品，则甲工厂每天生产件陶味文创产品， 依题意得：， 解得：，检验：当时是原方程的解． 答：乙工厂每天生产180件陶味文创产品． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·期末）某校举行文艺汇演，计划安排学生人参加舞蹈表演，其中女生人数比男生人数的2倍少4人． (1)求计划参加舞蹈表演的男、女生人数． (2)根据实际需要只增加男生人数，将男、女生人数的比例调整为，则需增加男生多少人？ 【答案】(1)计划参加舞蹈表演的男生人数为人，女生人数为人 (2)需增加2名男生 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意正确地列出方程是解题的关键． （1）设参加舞蹈表演的男生人数为人，则女生人数为人，根据安排学生人参加舞蹈表演，即可列出方程并求解； （2）先根据（1）中求出的女生人数，结合调整后的男女生人数比例关系求出调整后的男生人数，即可求解． 【详解】（1）解：设参加舞蹈表演的男生人数为人，则女生人数为人． 由题意，得， 解得， 所以女生人数为， 答：计划参加舞蹈表演的男生人数为10人，女生人数为16人． （2）解：由题意，得（人），（人）． 答：需增加2名男生． 【变式11-2】（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款． (1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元； (2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？ 【答案】(1)元 (2)步 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的实际应用，关键是通过步数与捐款的数量关系建立等式，解决实际问题． （1）根据两人的对话列算式求解即可． （2）先根据第一问的结果确定每步捐款元，再设小明当天走了步，用含的式子表示小亮的步数；最后根据“两人共同捐款6元”的等量关系，列出一元一次方程，解方程求出后，再计算小亮的步数． 【详解】（1）解：根据题意，（元）， 答：每捐步相当于捐款元． （2）解：设小明当天走了步，则小亮走了步． 根据题意，得， 化简得，解得． 因此小亮的步数为步． 答：小亮当天走了步． 命题点四 解二元一次方程组 ►题型01 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 【典例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法、代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由①②得，， 解得， 将代入①得， 解得； ∴原方程组的解为； （2）解： 将②代入①得，， 解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为 【变式1-1】（2025九年级上·重庆·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查求解二元一次方程组的方法，加减消元法及代入消元法，熟练掌握解方程组的方法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组化简，然后利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为：； （2）解：原方程组整理为：， 得：， 解得：， 将代入①解得：， 方程组的解为：； 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，数量掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）将第二个方程代入第一个方程中，解出、的值即可； （2）将第二个方程左右两边同时乘以，再减去第一个方程，解出、的值即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得：， 整理得：， 解得：， 把代入②得：， 因此，原方程的解为：； （2）解： 将②左右两边同时乘以得：， ③①得：， 解得， 将代入①得：， 移项得：， 解得：， 因此，原方程的解为：． ►题型02 二元一次方程组的同解问题 【典例2】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、算术平方根与立方根的定义，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 先求出两个方程组的公共解，再代入含、的方程求出、的值，最后计算的算术平方根和的立方根，进而求出． 【详解】解：解方程组得 ，． 将，代入得． 将，代入得． ∴， 解得 ， ∴ ，其算术平方根． ∵ ， ∴ ，其立方根． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． ►题型03 二元一次方程组求参数问题 【典例3】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解： 由②，得 将③代入①，得 ， 解得， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川·期中）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，根据“三倍解方程”的定义，方程组的解中两个未知数有3倍关系，即或．分别将这两种关系代入原方程组，通过解方程组求出的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组是“三倍解方程”， ∴当时，代入第一个方程， 得， 解得 则； 将， 代入第二个方程， 得 解得； 当时，代入第一个方程， 得 解得 则． 将，代入第二个方程， 得 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式3-3】（23-24八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，得，根据得到，即可求出﹒ 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得﹒ 故答案为：2 ►题型04 二元一次方程组的错解问题 【典例4】（22-23七年级上·安徽蚌埠·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 【变式4-1】（20-21七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ，； （2）解：把，代入方程组得：， 则方程组的解为． 【变式4-2】（16-17七年级下·河南周口·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． ►题型05 解三元一次方程组 【典例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可； （3）用加减消元法解三元一次方程组即可； （4）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 得：， 把④代入⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握“消元”的基本思路和求解方法是解答的关键． （1）利用加减消元法和代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解： ，得， 则 将①代入④，得，解得 将②代入④，得，解得 将代入①，得：，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： ，得，解得 ，得，解得 ，得，解得 ∴原方程组的解为； （3）解： ，得，解得 ，得 将代入④，得，解得 将，代入①，得，解得 ∴原方程组的解为； （4）解： ，得 ，得 ，得，解得 将代入④，得，解得 将，代入③，得，解得 ∴原方程组的解为． 【变式5-2】（2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握消元思想是解题的关键． （1）观察方程结构，通过消去，得到含的二元方程，与①联立消元求解，再回代求； （2）由①得，代入消去，转化为关于的二元方程组，求解后回代求； （3）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求； （4）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求． 【详解】（1）解： ： ： 代入①： 代入③： 故原方程组的解为 （2）解： 由①得，代入②： 代入③： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （3）解： ： ： ： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （4）解： 由得， 由得 得 代入④： 再将代入① 解得 故原方程组的解为 命题点五 二元一次方程组的应用 ►题型01 数字问题 【典例1】（2025九年级上·重庆·专题练习）对于一个三位正整数，若十位数字与个位数字之和减去百位数字的差为，则称这个三位数为“顺心数”，例如：，因为，所以是“顺心数”：若（，，，且、、均为整数），记．若是“顺心数”，且，则的值为 ；已知，是两个不同的“顺心数”（，，，，且、、、均为整数），且能被整除，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除的运算，不等式等知识，理解题意是解题的关键．根据“顺心数”得到关于、的二元一次方程组即可求出，由，是两个不同的“顺心数”，得到，再求出，根据题意可到能被整除，根据，得到，结合，，确定的值即可． 【详解】解： 是“顺心数”， ，即， ，， ， ， 解得， ，是两个不同的“顺心数”， ，， ， ，， ， 能被整除， 能被11整除， ， ， ， ，， ，或，或，或，， 要使最大，则要最大，此时，， ， ， 的最大值为， 故答案为：，． 【变式1-1】（2026·四川遂宁·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为，所以1732是“积方和数”．已知四位数是“积方和数”，将“积方和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被22整除，则满足条件的的最小值是 【答案】1842 【分析】本题考查了整数的性质，不定方程，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“积方和数”的定义，满足 ，且数字互不相等且不为0。设 ，则 ，计算 。要求 被22整除，即需 为偶数。为求最小 ，从千位 开始尝试，结合条件推导出唯一解 。 【详解】设，则， 有． ∵需被22整除，且11已整除， 故需为偶数， 即为偶数． 同时需满足，且数字互异且非0． 为求最小，取， 则，故． ∵， 有，推出（若，则，，，矛盾）． 若， 则， 但与重复， 违反互异条件，故． 若， 则，且， 故． 数字互异要求，， 故，， ∴，， 即． 需为偶数， 即为偶数： 时奇数，无效； 时偶数，有效； 时奇数，无效． 故唯一解，，． 验证：，， 满足；数字互异； （千位百位对调为81，十位个位对调为24）， ， ，整除成立． 且时无其他更小， 故最小值为1842． 故答案为：1842． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川·期中）定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为 ． 【答案】5005，6424，7843 【分析】本题主要考查整数的性质及方程求解，设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据“奥妙数”定义有，由条件和能被10整除，代入得且，结合和，求解c和d的整数解，得到三组解，结合各数位上数字的取值范围，求解即可得到最终答案． 【详解】解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，． 由“奥妙数”定义，． 由条件，，代入得，即． 由条件，能被10整除，即是10的倍数． 由于，且，所以可能为0、10、20．但，故，因此或20． 若，则，但，矛盾．所以． 因此． 由，得． 又，所以，即． 解，且，得整数解：时；时；时． 对应：时，；时，；时，． 对应：时时时． 所以得到数字5005、6424、7843． 因此满足条件的“奥妙数”为5005，6424和7843． 故答案为：5005，6424，7843． ►题型02 方案问题 【典例2】（25-26七年级上·安徽宣城·期末）2025年11月26日香港大埔发生重大火灾事故，造成一百余人遇难，此次灾情立即牵动内地市民的心．某市市民自发筹集了救灾必需物资120吨打算运往香港，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)现决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请直接写出所有的车辆安排方案． 【答案】(1)需甲车型8辆，需乙车型10辆 (2)共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． （1）设需要x辆甲型车，y辆乙型车，根据全部物资都用甲、乙两种车型来运送且共需运费6400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要a辆甲型车，b辆乙型车，则需要辆丙型车，根据18辆车共运送物资120吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，均为自然数，即可得出各安排方案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意， 得：， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）解：设需要a辆甲型车，b辆乙型车，则需要辆丙型车， 依题意得：， ∴， 又∵a，b，均为自然数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【变式2-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某店用120万元购进两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价−进价）销售量]． 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该店购进两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该店决定再用240万元同时购进两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ (3)若现需重新购进A、B两种新能源汽车共50辆，且A类不少于20辆，如何购进利润最大？ 【答案】(1)购进A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆 (2)共有三种购买方案：购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆；购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆；购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆 (3)购进A种新能源汽车20辆，B种新能源汽车30辆时，所得利润最大 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该店购进A种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆，根据某店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，全部销售后可获毛利润16万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆，根据该店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题； （3）设购进A种新能源汽车t辆，则购进B种新能源汽车辆，所得利润为万元，然后根据题意可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设该店购进A种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆，由题意得： ， 解得：， 答：该店购进A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆； （2）解：设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆，由题意得： ，整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆； ②购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆； ③购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆． （3）解：设购进A种新能源汽车t辆，则购进B种新能源汽车辆，所得利润为万元，由题意得： ， ∴， ∴w随t的增大而减小， ∵A种新能源汽车不少于20辆， ∴， ∴当时，w有最大值， ∴； 答：当购进A种新能源汽车20辆，B种新能源汽车30辆时，所得利润最大． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明在某超市分两次采购蛋卷和烤肠，为美食节做准备．采购时，均按无折扣标价采购，两次采购的数量和总金额如下表所示． 蛋卷/袋 烤肠/盒 总金额/元 第一次 第二次 (1)求蛋卷和烤肠的无折扣标价分别为多少元；（请使用二元一次方程组解决问题） (2)节日尾声，还剩余一些未拆封备用的蛋卷和烤肠，小明打算将它们按采购标价的八折售卖．若小美在美食节抽奖获得了元，全部用来买蛋卷和烤肠（可以只买一种），且金额没有剩余，则有哪几种方案？ 【答案】(1)蛋卷标价元/袋，烤肠标价元/盒； (2)有两种方案：买袋蛋卷、盒烤肠或买袋蛋卷、袋烤肠 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用和不定方程的整数解问题，熟练构建方程并结合实际意义分析解的合理性是解题的关键． （1）设蛋卷标价为每袋元，烤肠标价为每盒元，找到等量关系并列出方程组，再通过消元法求解蛋卷和烤肠的标价； （2）设小美买袋蛋卷，盒烤肠，根据题意列二元一次方程，再结合“非负整数”的实际购买要求，筛选出所有符合条件的整数解，从而确定具体的购买方案． 【详解】（1）解：设蛋卷标价为每袋元，烤肠标价为每盒元， 由题意得， 解得， 答：蛋卷标价元/袋，烤肠标价元/盒； （2）解：设小美买袋蛋卷，盒烤肠， 由题意得， 即， 化简得， ，为非负整数， 或， 答：有两种方案：买袋蛋卷、盒烤肠或买袋蛋卷、盒烤肠． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济南·月考）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车，新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元；若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买A型新能源公交车每辆需60万元，B型新能源公交车每辆需80万元 (2)购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量最大，最大为760万人次 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，B型新能源公交车每辆需y万元，根据购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元；购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元建立方程组求解即可； （2）设购买A型新能源公交车m辆，年均载客总量为W万人次，列出W关于m的函数关系式，再求出m的取值范围，则可根据一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得，， 解得， 答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，B型新能源公交车每辆需80万元； （2）解：设购买A型新能源公交车m辆，年均载客总量为W万人次， 由题意得，， ∵总费用不超过650万元， ∴， 解得， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量最大，最大为760万人次． ►题型03 行程问题 【典例3】（2025九年级·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 【变式3-1】（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽亳州·月考）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． ►题型04 工程问题 【典例4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【答案】(1)甲型机器人每小时完成20米焊缝，乙型机器人每小时完成16米焊缝 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．理解题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝，根据已知条件列出方程组，即可解答； （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人，根据题意列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 【变式4-1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）某物流公司计划租用、两种型号的货车运输货物，已知租用3辆型货车和2辆B型货车一次可运货17吨，租用2辆A型货车和3辆B型货车一次可运货18吨． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可运货多少吨？ (2)该物流公司计划租用这两种型号的货车共10辆，且A型货车的数量不超过B型货车数量的2倍，若每吨货物的运输费用为30元，怎样租车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)每辆型货车一次可运货3吨，每辆型货车一次可运货4吨 (2)租用6辆型货车，4辆型货车时，运输总费用最低，最低总费用是1020元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每辆型货车一次可运货吨，每辆型货车一次可运货吨．根据“租用3辆型货车和2辆型货车一次可运货17吨，租用2辆型货车和3辆型货车一次可运货18吨”，可列方程组求解即可； （2）设租用型货车辆，则租用型货车辆．根据由A型货车的数量不超过B型货车数量的2倍，可得，解得．又因为为车辆数，应为正整数，所以的取值为1，2，3，4，5，6．设总费用为元，根据每吨货物运输费用为30元，型货车一次运3吨，型货车一次运4吨，得到，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每辆型货车一次可运货吨，每辆型货车一次可运货吨． 根据题意：， 解得， 答：每辆型货车一次可运货3吨，每辆型货车一次可运货4吨． （2）解：设租用型货车辆，则租用型货车辆． 根据题意：， 解得． 又因为为车辆数，应为正整数， 所以的取值为1，2，3，4，5，6． 设总费用为元， 则， 因为， 所以随的增大而减小． 当时，有最小值． 此时（辆）． （元）． 答：租用6辆型货车，4辆型货车时，运输总费用最低，最低总费用是1020元． 【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． ►题型05 销售问题 【典例5】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 【变式5-1】（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】(1)每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． (2)精英型帐篷的售价为元或元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用． （1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可； （2）由原有的销售量加上增加的销售量得到精英型帐篷每天的销量，由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 【变式5-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）每年的冬季，哈尔滨都吸引了大量游客，某摊位在冰雪大世界销售两种特色陶瓷工艺品：A款青花瓷杯和B款摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求每个A款青花瓷杯和每个B款摆件的售价各是多少元； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1050元，则至少需要带多少个A款青花瓷杯？ 【答案】(1)每个A款青花瓷杯的售价为80元，每个B款摆件的售价为50元 (2)至少需要带10个A款青花瓷杯 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每个A款青花瓷杯的售价为x元，每个B款摆件的售价为y元，根据第一天、第二天的销售额列出方程组求解即可； （2）设需要带a个A款青花瓷杯，根据A款、B款的单价列出不等式求解即可. 【详解】（1）解：设每个A款青花瓷杯的售价为x元，每个B款摆件的售价为y元， ，解得：， 答：每个A款青花瓷杯的售价为80元，每个B款摆件的售价为50元. （2）解：设需要带a个A款青花瓷杯， 解得： 答：至少需要带10个A款青花瓷杯． ►题型06 和差倍分问题 【典例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 【变式6-1】（2022·江西·模拟预测）小唯为了减轻父母的负担，计划自己攒存读高中的生活费，从年1月份开始，每月月初一次性给储蓄盒内存入相同数额的零用钱．已知2月初存款后清点储蓄盒内有存款元，2月中旬将元压岁钱也存入其中，4月初存款后清点储蓄盒内有存款元． (1)求小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ (2)小唯准备将这元参加教育储蓄（教育储蓄不收利息税），已知教育储蓄一年期的利率为，三年期的年利率为．有两种储蓄方式： 方式一：先存一年期，第二年将本息和自动转存一年，第三年继续将本息和自动转存一年； 方式二：直接存三年期． 请你帮小唯计算一下，小唯应选择哪一种储蓄方式更合算？ 【答案】(1)小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款元 (2)小唯应选择方式二储蓄更合算，计算见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用及储蓄问题，读懂题意列出方程组并且掌握利息的计算公式是解题的关键， （1）设小唯每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，列出方程组，解得即可得到答案； （2）根据利息的计算公式分别计算两种存款方式最后本息和，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：设小唯每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，依题意得， 解得：， 答：小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款元； （2）解：由题意可得， 方式一：小唯三年后的本息和是：（元） 方式二：小唯三年后的本息和是：（元）， ∵， 答：小唯应选择方式二储蓄更合算． 【变式6-2】（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． 根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有哪几种购买方案？ (3)在上面（2）中条件下，哪一种方案所需费用最少？请求出这个最少的费用是多少元． 【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元 (2) 共有四种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个． (3)第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系，列出方程组与不等式组求解． （1）通过设未知数，根据购买篮球和足球的费用情况列出二元一次方程组，求解得出篮球和足球的单价； （2）设购买篮球的数量，进而表示出足球的数量，根据篮球数量要求和总费用限制列出一元一次不等式组，求出正整数解，得到购买方案； （3）根据（2）中不同方案，计算各方案费用，比较得出费用最少的方案及费用． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意可得：， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ， ， ∵x为整数， ∴x的值可为30，31，32，33． ∴共有四种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个， 方案二：采购篮球31个，采购足球19个， 方案三：采购篮球32个，采购足球18个， 方案四：采购篮球33个，采购足球17个； （3）解：由题意，采购所需费用． ∵， ∴采购所需费用随的增大而增大， 又∵ ∴当时，采购所需费用最小，最小值为（元）． ∴第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元． ►题型07 几何问题 【典例7】（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 则图中阴影部分的面积之和为． 故选：B． 【变式7-1】（25-26九年级上·云南·月考）如图，矩形的对角线，相交于点，，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得，继而得到，证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）根据矩形的性质并结合已知可得，解得，求出，然后根据菱形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形的对角线，相交于点， ∴，，， ∵矩形的周长为，且， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴， 即四边形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识点，掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）某农场计划使用全长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的其中一面靠墙，如图所示．设，． (1)当时，求x、y的值； (2)求菜园面积的最大值． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了矩形的性质，二元一次方程组解决几何图形的面积问题，利用二次函数求面积最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出方程组求解； （2）利用单项式乘以多项式展开，再配方后求出最值． 【详解】（1）解：设，， 当时， ， 解得：． （2）设菜园面积为S（平方米）， ， 故菜园的面积最大为平方米． ►题型09 古典问题 【典例8】（2026九年级·吉林·专题练习）我国民间流传着一道《周瑜寿属》的诗歌形式的数学题，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十比个位正小三，个位六倍与寿符，哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？设个位数字为，十位数字为，根据诗歌内容，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据诗歌内容，“十比个位正小三”表示十位数字比个位数字小3，即；“个位六倍与寿符”表示个位数字的六倍等于年龄，年龄是两位数即，所以； 进而列二元一次方程组即可． 【详解】解：由“十比个位正小三”得； 由“个位六倍与寿符”得； 故方程组为． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，则井深为 尺． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设井深x尺，绳总长为y尺，根据将绳三折测之，绳多五尺；将绳四折测之，绳多一尺建立方程组求解即可． 【详解】解：设井深x尺，绳总长为y尺， 由题意得， ， 解得， ∴井深为11尺， 故答案为：11． 【变式8-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金3两，每只羊值金1两 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两． 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金3两，每只羊值金1两． ►题型09 三元一次方程组的应用 【典例9】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 【变式9-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 【答案】 【变式9-2】15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 【变式9-3】（21-22九年级上·重庆沙坪坝·月考）元旦将至，初中各年级准备给同学们购买新年礼物，准备购买笔记本、尺规作图工具、钢笔三种礼物，笔记本、尺规作图工具、钢笔的单价分别为5元、15元、25元，初二购买的笔记本数量是初一的10倍，尺规作图工具数量是初一的6倍，钢笔数量是初一的8倍，初三购买的笔记本数量是初一的3倍，尺规作图工具数量是初一的7倍，钢笔数量和初一相同，三个年级共花费金额2510元，初三比初一多用420元，则三个年级购买尺规作图工具共花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据三个年级共花费金额2510元和初三比初一多用420元，列方程后再根据验证法求解即可． 【详解】解：设初一年级购买笔记本本、尺规作图工具个、钢笔个，则：初二年级购买笔记本本，尺规作图工具个，钢笔个，初三年级购买笔记本本，尺规作图工具个，钢笔个， 由题意可得：， 解得：， ∵，，都是整数， ∴， ∴（元）， 故答案为：． 突破一 新定义的方程 【典例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3)不正确，反例见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）解：以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）将方程变形为，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程，解此方程即可得到答案； （3）根据差解方程的定义求出，整理得到即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是，且， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）解： ， 解得， ∵方程是“差解方程”，即是“差解方程”， ∴ ∴， 解得； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于的方程与方程互为“对立方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． （1）根据“对立方程”的定义直接可得答案； （2）将“对立方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“对立方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴． 故答案为：1． （2）解：将写成的形式， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴， 解得：． （3）解：关于的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∴， 解得：或． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解和为0，我们就称这两个方程互为“圆满方程”． 例如： 方程，解为，方程，解为，因为，所以方程和互为“圆满方程”． (1)下列方程互为“圆满方程”的是______（填序号）； ①；② ；③． (2)若关于x的方程与方程互为“圆满方程”，求m的值； (3)若无论m取何值时，关于x的方程 （a， b为常数）与方程互为“圆满方程”，求的值． 【答案】(1)①② (2)12 (3)7 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“圆满方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）先分别求每一个方程的解，再根据“圆满方程”的定义判断即可； （2）先求出的解，再由“圆满方程”的定义得到方程，再如求解参数； （3）先求出方程的解为，整理方程得，再由“圆满方程”的定义将代入得，整理得，，则得到且，求解，即可求解代数式的值． 【详解】（1）解：①， ， 解得； ② ， 解得； ③ 解得 ∵ ∴方程①和②互为“圆满方程”， 故答案为：①②； （2）解： 解得 ∴方程的解为， ∵与方程互为“圆满方程” ∴方程的解为 代入 解得； （3）解： 解得 ∵与方程互为“圆满方程” ∴方程的解恒为， 对于 整理得， 代入得 整理得， ∵该式对任意m成立， ∴且， 解得 ∴． 突破二 二元一次方程的特殊解法 【典例2】（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件将方程组变形为，根据二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：方程组的解是，方程组可变为 ∴ 解得 ∴方程组 的解为：， 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得： 故选：D 【变式2-2】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 1.（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，通过移项求解一元一次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 故选：B 2.（2025·广西·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．将南海到北海的总距离视为单位1，则野鸭的速度为，大雁的速度为，它们相向而行，相遇时路程之和等于1，由此列方程． 【详解】解：设天后相遇， ∵野鸭飞行的路程为，大雁飞行的路程为，且相遇时总路程为1， ∴， 故选B． 3.（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 4.（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）李老师到文具店买A、B两种笔（两种都买），A种笔元/支，B种笔1元/支，共花了元钱，则可供李老师选择的购买方案共有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】本题考查求二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．设A种笔买了支，B种笔买了支，由题意可得方程，因为两种笔都买，则求都为正整数的解即可． 【详解】解∶ 设A种笔买了支，B种笔买了支，由题意可得方程∶ ， ∵两种笔都买， ∴都为正整数， 则， ， ， ， ， ， 共6种方案． 故选：B． 5.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：方程组的两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6.（25-26九年级上·广东梅州·月考）在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解． 将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解． 【详解】解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 7.（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于的不等式组．①②求出，根据已知得出不等式，求出即可． 【详解】解：， ②得：， ， 关于x，y的方程组的解满足， ， ． 的取值范围为：． 故选：B． 8.（2026·广西钦州·模拟预测）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义和代数式求值．将代入方程，得到，再代入整式求值即可． 【详解】解：是方程的一个解， ，即， ， 故答案为：． 9.（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 10.（2025·四川乐山·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②，得， ． 11.（2024·海南·三模）某茶叶店以相同的单价分两次购进五指山红茶和白沙绿茶，两次购进情况如表：求每盒五指山红茶和每盒白沙绿茶进价各为多少元？ 五指山红茶（盒） 白沙绿茶（盒） 总进价（元） 第一次 30 20 6000 第二次 20 15 4250 【答案】每盒五指山红茶的进价为100元，每盒白沙绿茶的进价为150元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意列二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】解：设每盒五指山红茶的进价为x元，每盒白沙绿茶的进价为y元， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：每盒五指山红茶的进价为100元，每盒白沙绿茶的进价为150元． 1.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键．首先根据原售价和毛利率求出进价，然后根据新毛利率和进价求新售价即可求解． 【详解】解：设进价为C元， 由题意可得：， ， 解得：， 设新售价为元， 新毛利率， ， ， ， ， 元， 售价应调整为元， 故选：C． 2.（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查分段函数的应用，方程的解与检验，参数求解，理解流程图是解题关键． 先根据输入输出，算出参数，再分两种情况将代入表达式求出，最后检验解是否符合取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，当，， 解得， 则当时，；时，， 当，解得，满足条件； 当，解得，不满足条件． 故若输出的值为，输入的值为． 故选：． 3.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 互为相反数， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 解得：， 故选：B． 4.（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是，故正确； 综上所述，正确的有，共个． 故选：B． 5.（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，将代入方程，化简后得到关于的恒等式，令的系数和常数项分别为零，解出和的值，再求它们的和即可． 【详解】解：将代入方程，得． 两边同乘得，即． 整理得． ∵无论为何值方程都成立， ∴且，解得，． ∴． 故答案为：． 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 7.（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 8.（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； (3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数． 【答案】(1)19 (2)动点P在数轴上所对应的数为或 (3)它们在数轴上对应的数是38 【分析】此题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识，解题的关键是用含t的代数式表示动点在“水平路线”和“上坡路段”、“下坡路段”上运动的距离． （1）先计算出线段、、的长，再根据点P在“水平路线”上的速度、在“上坡路段”的速度求出点P从点A到点D所需要的时间； （2）由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒，P、Q两点到原点O的距离相同分为两种情况，一是P、Q两点重合，二是P、Q两点分别在原点O的两侧，列方程求出t的值，再计算出点P对应的数即可； （3）先计算出点Q到点A需要秒，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒，再计算出点Q从出发到返回点C共需要秒，根据点Q追上点P时它们在射线上运动的距离相等列方程求出t的值，再计算出它们对应的数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，，，， ∴（秒），（秒），（秒）， ∴点P从点A到点B需要5秒，从B到点C需要10秒，从点C到点D需要4秒， （秒）， ∴动点P从点A运动至D点需要19秒． 故答案为：19． （2）解：点P从A到点B需要5秒，点Q从点D到点C需要4秒，点Q从点C到点B需要秒，由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒， 当P、Q两点重合时，P、Q两点到原点O的距离相同， 则， 解得，经检验，符合题意， ∴， 此时动点P对应的数是； 当点P、Q在原点O的两侧，且P、Q两点到原点O的距离相同， 则， 解得，经检验，符合题意， ∴， 此时动点P对应的数是， 综上所述，动点P在数轴上所对应的数为或． （3）解： （秒）， ∴点Q到点A需要秒， 由题意可知，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒， ，， 点Q调头加速后从点A到点B需要秒，从点B到点C需要5秒， （秒）， ∴点Q从出发到返回点C共需要秒， 当点Q追上点P时，则， 解得， ∴， ∴它们在数轴上对应的数是38． 9.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 10.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： (1)该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ (2)该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A种水果80千克，B种水果120千克 (2)当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 【详解】（1）解：设购进A种水果x千克，B种水果y千克， 答：购进A种水果80千克，B种水果120千克； （2）解：设购进m千克A种水果，则购进B种水果千克，全部售出后获得的利润为w元， 根据题意得：， 即， 购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍， ， 解得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为元 答：当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元． 1.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键．首先根据原售价和毛利率求出进价，然后根据新毛利率和进价求新售价即可求解． 【详解】解：设进价为C元， 由题意可得：， ， 解得：， 设新售价为元， 新毛利率， ， ， ， ， 元， 售价应调整为元， 故选：C． 2.（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查分段函数的应用，方程的解与检验，参数求解，理解流程图是解题关键． 先根据输入输出，算出参数，再分两种情况将代入表达式求出，最后检验解是否符合取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，当，， 解得， 则当时，；时，， 当，解得，满足条件； 当，解得，不满足条件． 故若输出的值为，输入的值为． 故选：． 3.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 互为相反数， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 解得：， 故选：B． 4.（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是，故正确； 综上所述，正确的有，共个． 故选：B． 5.（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，将代入方程，化简后得到关于的恒等式，令的系数和常数项分别为零，解出和的值，再求它们的和即可． 【详解】解：将代入方程，得． 两边同乘得，即． 整理得． ∵无论为何值方程都成立， ∴且，解得，． ∴． 故答案为：． 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 7.（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 8.（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； (3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数． 【答案】(1)19 (2)动点P在数轴上所对应的数为或 (3)它们在数轴上对应的数是38 【分析】此题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识，解题的关键是用含t的代数式表示动点在“水平路线”和“上坡路段”、“下坡路段”上运动的距离． （1）先计算出线段、、的长，再根据点P在“水平路线”上的速度、在“上坡路段”的速度求出点P从点A到点D所需要的时间； （2）由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒，P、Q两点到原点O的距离相同分为两种情况，一是P、Q两点重合，二是P、Q两点分别在原点O的两侧，列方程求出t的值，再计算出点P对应的数即可； （3）先计算出点Q到点A需要秒，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒，再计算出点Q从出发到返回点C共需要秒，根据点Q追上点P时它们在射线上运动的距离相等列方程求出t的值，再计算出它们对应的数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，，，， ∴（秒），（秒），（秒）， ∴点P从点A到点B需要5秒，从B到点C需要10秒，从点C到点D需要4秒， （秒）， ∴动点P从点A运动至D点需要19秒． 故答案为：19． （2）解：点P从A到点B需要5秒，点Q从点D到点C需要4秒，点Q从点C到点B需要秒，由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒， 当P、Q两点重合时，P、Q两点到原点O的距离相同， 则， 解得，经检验，符合题意， ∴， 此时动点P对应的数是； 当点P、Q在原点O的两侧，且P、Q两点到原点O的距离相同， 则， 解得，经检验，符合题意， ∴， 此时动点P对应的数是， 综上所述，动点P在数轴上所对应的数为或． （3）解： （秒）， ∴点Q到点A需要秒， 由题意可知，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒， ，， 点Q调头加速后从点A到点B需要秒，从点B到点C需要5秒， （秒）， ∴点Q从出发到返回点C共需要秒， 当点Q追上点P时，则， 解得， ∴， ∴它们在数轴上对应的数是38． 9.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 10.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： (1)该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ (2)该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A种水果80千克，B种水果120千克 (2)当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 【详解】（1）解：设购进A种水果x千克，B种水果y千克， 答：购进A种水果80千克，B种水果120千克； （2）解：设购进m千克A种水果，则购进B种水果千克，全部售出后获得的利润为w元， 根据题意得：， 即， 购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍， ， 解得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为元 答：当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元． 十三、2 1.（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 2.（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 3.（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 4.（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ， 解得， ∴参加“深海探秘”的人数为60人， 故答案为：60． 5.（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 6.（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 7.（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 8.（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 9.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞察·题型预测 10 命题点一 方程的概念 题型01等式的性质 题型02方程的定义 命题点二 解一元一次方程 题型01解一元一次方程 题型02一元一次方程的同解问题 题型03一元一次方程的错看与遮挡问题 题型04一元一次方程的解题步骤判断 题型05新定义运算与方程综合 题型06一元一次方程求参数问题 命题点三 一元一次方程的应用 题型01古典问题 题型02配套问题 题型03销售问题 题型04积分问题 题型05方案问题 题型06数字问题 题型07行程问题 题型08动点问题 题型09分段收费问题 题型10工程问题 题型11和差倍分问题 命题点四 解二元一次方程组 题型01解二元一次方程组 题型02二元一次方程组的同解问题 题型03二元一次方程组求参数问题 题型04二元一次方程组的错解问题 题型05解三元一次方程组 命题点五 二元一次方程组的应用 题型01数字问题 题型02方案问题 题型03行程问题 题型04工程问题 题型05销售问题 题型06和差倍分问题 题型07几何问题 题型08古典问题 题型09三元一次方程组的应用 05·重难突破·思维进阶 36 突破一 新定义的方程 突破二 二元一次方程组的特殊解法 06·优题精选·练能提分 38 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等式的性质 / / / 理解方程的意义：能根据现实情境理解方程是刻画数量关系的数学模型，能针对具体问题列出方程 理解方程解的意义：经历估计方程解的过程，能检验方程解的合理性 掌握等式的基本性质 理解一元一次方程、二元一次方程（组）的概念：能识别并区分不同类型的一次方程（组） 解一次方程（组） / 浙江卷T18 台州卷T18 能解一元一次方程：掌握 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 的基本步骤，能求解含括号、分数系数等各类一元一次方程 掌握消元法，能解二元一次方程组：熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，体会 “消元” 思想的核心作用 能解简单的三元一次方程组（选学内容，） 发展运算能力：通过解方程（组）过程，提升逻辑思维与规范运算能力，确保求解过程的准确性与步骤完整性 一次方程（组）的应用 浙江卷T17 浙江卷T22 温州卷T7 宁波卷T8 绍兴卷T6 嘉兴卷T15 能根据具体问题的实际意义，建立一次方程（组）模型，解决实际问题 能检验方程（组）解的合理性：结合实际情境判断解是否符合现实意义，形成模型观念 解决典型实际问题：包括行程、工程、利润、配套、古代数学问题（如《九章算术》《张丘建算经》中的问题）等，体会数学与生活的紧密联系 形成抽象能力与模型观念：会用方程语言表达现实世界中的数量关系和变化规律，发展数学应用意识 命题预测 命题主体变化：2023 年各地市自主命题，2024-2025 年全省统一命题，风格更稳定，侧重模型观念与运算能力培养。考点侧重迁移：从 2023 年 “解法 + 应用” 并重（如台州卷 T18 纯解方程），转向 2024-2025 年以应用为主（占比约 70%），纯解方程题减少，贴合新课标 “用方程刻画数量关系” 要求。情境多样化：应用题型多结合生活（跑步机速度）、古代数学（《九章算术》）、农业（茶园面积）等，强化数学与现实联系。核心能力聚焦：突出 “列方程（组）建模” 与 “解的合理性检验”，弱化复杂运算，强调消元思想与代入 / 加减消元法基础应用。26年中考预测：考点分布：一次方程（组）应用约占 70%，解法约占 30%，等式性质与方程概念融入其中，无单独命题。题型预测：选择题 1 道（列方程组）、解答题 1-2 道（1 道纯解方程组，1 道实际应用），分值稳定在 10-14 分。命题方向：情境更贴近生活与传统文化，强化模型观念，可能结合一次函数综合考查；难度适中，注重基础，避免偏题怪题。备考重点：夯实 “列方程（组）建模” 能力，熟练掌握消元法，加强解的合理性检验训练，对接新课标核心要求。 考点一 等式的性质与方程的定义 1．等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程:含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 1．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 4．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 5．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 考点二 解一次方程（组） 1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． 2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 4．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 5．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 6．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． 7．解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 8．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 1.（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2.（2021·浙江温州·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 4.（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 5.（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 6.（2024·浙江·中考真题）解方程组： 7.（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 考点三 一次方程（组）的应用 1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 1.（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 2.（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   ) A． B． C． D． 3.（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克，列方程组，由消元法可得的值为（    ） 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克） 第一天 2 2 72 第二天 3 2 96 A．12 B．16 C．24 D．26 4.（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 5.（2022·浙江舟山·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）． 6.（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 7.（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 命题点一 方程的概念 ►题型01 等式的性质 【典例1】（2026·广西钦州·模拟预测）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【变式1-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知三个实数a、b、c满足（），，则（   ） A． B． C． D． ►题型02 方程的定义 【典例2】（2024·安徽·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2020·江西九江·二模）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【变式2-2】（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【变式2-3】（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 命题点二 解一元一次方程 ►题型01 解一元一次方程 【典例1】（22-23七年级上·陕西安康·期中）解方程． (1)； (2)． 【变式1-1】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【变式1-2】（23-24七年级上·福建漳州·期末）解方程：． ►题型02 一元一次方程的同解问题 【典例2】（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【变式2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·同解问题如果方程的解也是关于的方程的解，那么的值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【变式2-3】（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于的方程与，如果两个方程的解相同，那么的值为（    ） A．9 B． C．3 D． ►题型03 一元一次方程的错看与遮挡问题 【典例3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3-1】（2022九年级·全国·专题练习）某同学解方程3x－1=□x＋3时，把□处数字看错后解得x=－2，那么他把□处看成了（     ） A．4 B．－4 C．5 D．－5 【变式3-2】（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ ►题型04 一元一次方程的解题步骤判断 【典例4】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【变式4-1】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务： 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 【变式4-2】（2021·浙江杭州·一模）圆圆解方程的过程如图．请指出她解答过程中所有错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ ►题型05 新定义运算与方程综合 【典例5】（25-26七年级上·广西南宁·月考）小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【变式5-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 【变式5-2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， (1)，求的值； (2)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． ►题型06 一元一次方程求参数问题 【典例6】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若方程的解与关于的一元一次方程的解相同，则的倒数为（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）若关于x的方程有整数解，则所有满足条件整数k的值之和为 ． 【变式6-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）已知方程的解与关于的方程的解互为倒数，则的值是 ． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知关于x的方程的解为正整数，则整数b所有可能取值的积为 ． 【变式6-4】（25-26七年级上·全国·期末）关于的方程有负整数解，则所有符合条件的整数的和为 ． 命题点三 一元一次方程的应用 ►题型01 古典问题 【典例1】（25-26七年级上·河南焦作·期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照曹冲称象的方法：先将大象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将大象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好达到标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好达到标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设条形石的重量为斤，则下面说法正确的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．大象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤 【变式1-1】（25-26七年级上·重庆忠县·期末）《张丘建算经》中给出的百鸡问题：笼中有若干鸡母鸡雏售卖，鸡母一只值五钱，鸡雏三只值一钱．张翁拟百钱买百鸡，问买鸡母几何？若设鸡母只，则列方程应为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五枚多十枚，四人八枚两枚剩．问：有几个牧童几枚杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少枚杏．若3人一组，每组5枚杏，则多10枚杏；若4人一组，每组8枚杏，则多2枚杏．设杏有x枚，则可列方程为 ． ►题型02 配套问题 【典例2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【变式2-1】（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）元旦期间，七年级（3）班同学去某新能源汽车厂研学，顺便慰问节假日期间还工作在岗位上的某车间职工，给他们带去了一些礼品，如果每人3件，则剩下7件，如果每人4件，则还少15件，请应用一元一次方程解答下列问题． (1)求该车间一共有多少名职工？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1500个螺钉或2500个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ ►题型03 销售问题 【典例3】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）过年了,两商场A、B为庆贺新年,全场商品按如下方式优惠： 商场A 不超过500元的部分 九折 超过500元但不超过1000元的部分 八折 超过1000元的部分 五折 商场B 全场消费每满200减100（如消费500就只用付300,依此类推） (1)小红去商场A置办年货，看中了一件标价800元的衣服，应付款多少元． (2)小红又在商场B看中了一套850元的衣服，服装类商品按原价先打折,再按打折后的价格参加优惠还能优惠300元．小红正准备付款,却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元，试求该衣服打几折． (3)过了几天，小红和小明先后去商场A给学生购买新年礼物,已知礼物一份单价20元，两人共购买了80份,一共花了1374元，已知小红买的比小明多,则小红买了多少份礼物． 【变式3-1】（25-26七年级上·天津·期末）凤翔泥塑是陕西宝鸡的国家级非物质文化遗产，某文创店计划采购泥塑制作工具包和泥塑摆件．已知每套工具包比每个摆件贵20元，购买一套工具包和一个摆件共需花费180元． (1)求每套工具包和每个摆件的进价分别是多少？（列一元一次方程解答） (2)该文创店计划购买100套工具包和个摆件．现有两家工艺品店给出不同优惠方案： 甲店：每购买10套工具包，送一个摆件； 乙店：若购买工具包超过90套，则工具包原价，但购买摆件打八折． ①用含m的代数式分别表示到甲店购买的费用为_____元，到乙店购买商品所花的费用为______元． ②买多少套摆件时，两个店的花费一样？ ③如果买20套摆件，去哪个店买更划算？之后文创店又把一套工具包和一个摆件以216元的价格售出，售出这一套工具包和摆件获得的利润率是多少？ 【变式3-2】（2025--2026学年第一学期七年级期末考试数学试卷）某文具店销售A、B两种笔记本，A种笔记本每本进价15元，售价20元；B种笔记本每本进价20元，售价30元． (1)若该文具店同时购进A、B两种笔记本共40本，恰好总进价650元，求购进A、B两种笔记本各多少本？ (2)开学季，该文具店对A、B两种笔记本开展优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于300元 不优惠 超过300元，但不超过500元 按售价打八折 超过500元 不超过500元部分打八折，超过500元的部分打六折 小芸一次性购买了3本A种笔记本，n本B种笔记本，按上述优惠条件，实际付款336元，求n的值． ►题型04 积分问题 【典例4】（24-25七年级上·辽宁大连·月考）某校初一三班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，要求每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 2 88 C 64 D 10 40 (1)补全表格，并写出你的研究过程． (2)参赛者E说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由． 【变式4-1】（25-26七年级上·宁夏固原·期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南湘西·期末）为了丰富学生的课外生活，培养学生的兴趣爱好与体育意识，某中学七年级各班举行了盛大的篮球比赛．前四名班级的积分情况如表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 3 五班 8 5 3 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积______分，负一场积______分； (2)请直接写出：______，______； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． ►题型05 方案问题 【典例5】（25-26七年级上·河南郑州·期末）【项目式学习】在豫式早餐中胡辣汤绝对是醒胃主角，其汤体滚烫浓稠，以胡椒、骨汤与多种香料熬制，滋味辛香醇厚．老饕的经典吃法是配着焦脆的油馍头或水煎包，将面食浸入汤中，吸饱汤汁，口感层次瞬间迸发．佐以一碗清爽的豆腐脑“两掺”，抑或一杯醇香的豆浆，便构成了中原大地上最具烟火气的滚烫江湖．某数学兴趣小组利用周末对某早餐店的早餐的销售进行了研究． 项目主题：豫式早餐的销售 素材1 早餐的品种繁多，胡辣汤也有很多种不同的口味，该店除了传统口味外，最受顾客欢迎的是“金汤胡辣汤”与“滋补胡辣汤”． 素材2 传统口味胡辣汤一份5元，“金汤胡辣汤”一份6元，“滋补胡辣汤”一份8元．牛肉饼4元1个，水煎包一份2元（4个），现磨豆浆一份2元 素材3 门店下单优惠方案：每购买2份“金汤胡辣汤”，免费赠送1份水煎包． 每购买2份“滋补胡辣汤”，免费赠送传统口味胡辣汤1份． 网上下单优惠方案：网上下单的用户全单打9折销售 问题解决 任务1 ①兴趣小组的成员小亮计划下单12元的早餐，请为他设计一种早餐的搭配方式． ②该店某天上午以“门店下单”的方式售出一单（含免费赠送），顾客最终获得：传统口味胡辣汤3份，“金汤胡辣汤”3份，“滋补胡辣汤”4份，水煎包6份，牛肉饼4份，请计算本单的销售额． 任务2 小丽一家某天早上在该店购买早餐，计划下单“金汤胡辣汤”5份，牛肉饼和水煎包一共4份．在不考虑其他因素的影响下，请求出最终获得牛肉饼和水煎包各多少份时，两种下单方式的总费用相同． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）可可看到两个商场的促销信息如图所示． 甲商场海报 乙商场海报 全场9折 1、购买不超过100元不给予优惠． 2、购买超过了100元但又不超过200元的，全部打9.5折． 3、购买超过200元的，200元那部分打9.2折，超过200元的那部分打8折． (1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ (2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (3)可可第一次到乙商场购买了标价98元的商品后又到乙商场买了一件优惠后142.5元的商品，如果他一次性在该商场购买这些商品，可以节省多少元钱？ 【变式5-4】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件恤； 方案二：裤子和恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，恤件（）； (1)按方案一，购买裤子和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？写出你的方案，并计算所需费用． ►题型06 数字问题 【典例6】（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【变式6-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）将连续的偶数，排成如图所示的数表，并用一个十字形框框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框中数的规律，并回答问题： (1)若将十字框上下左右平移可框住5个数，设这5个数中最小的数为x，用含x的代数式分别表示另外4个数． (2)十字框上下左右平移框住的5个数的和能等于2025吗？如果能，写出这五个数；如果不能，说明理由． 【变式6-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数0.8表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是_______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______； (3)类比上述探究过程，请你将表示成分数的形式． ►题型07 行程问题 【典例7】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）A，B两地相距260千米．甲，乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇．已知甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米．请根据下面示意图中的等量关系列方程，并求甲、乙两车的速度． 【变式7-1】（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与探究 问题情境 为参加2025年9月20日太原人形机器人欢乐跑比赛，两支参赛队伍进行模拟演练，每台机器人都配有同步奔跑的人类领航员、操作手和工程师等．模拟演练的场地为120米的跑道，如图1． 某次演练，甲机器人先从起点出发向终点匀速奔跑，速度为1.5米/秒，10秒后乙机器人也从起点出发向终点匀速奔跑，速度为2.5米/秒．设甲机器人奔跑的时间为秒． 数学思考 （1）在上述演练过程中，甲机器人距起点的距离为__________米；当时，乙机器人距起点的距离为__________米．（均用含的代数式表示） 解决问题 （2）若两台机器人在演练过程中均未发生故障，试探究乙机器人能否在奔跑过程中追上甲机器人？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． （3）若甲机器人在整个奔跑过程中未发生故障，乙机器人在甲机器人出发42秒时，发生故障．排除故障后，乙机器人以原来的速度继续前进，并与甲机器人同时到达终点．请直接写出在整个演练过程中，甲、乙两台机器人相距16米时，所有可能的的值． 【变式7-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）某地每日均有甲、乙两班次长途汽车从迎宾客运中心驶往景区A．其中甲班次长途汽车从迎宾客运中心始发，经停新区停靠站后到达景区A；乙班次长途汽车从迎宾客运中心始发，直达景区A．某校数学学习小组对这两班次长途汽车运行情况进行研究，获得以下信息： ①新区停靠站正好在高速入口边上，两班次长途汽车的行驶路线相同，均为从“迎宾客运中心到新区停靠站”和“高速出口到景区A”两段普通公路和一段高速公路组成，其中迎宾客运中心到新区停靠站的路程为从新区停靠站到景区A的路程为 ②甲班次长途汽车在高速公路的平均行驶速度是在普通公路上的平均行驶速度的倍；乙班次长途汽车为本路线的快速班次，在普通公路上的平均行驶速度为，在高速公路上的平均行驶速度为． ③甲，乙两班次长途汽车行驶路线示意图和时刻表如下： 站点 甲班次 乙班次 到时 发时 到时 发时 迎宾客运中心 新区停靠站 不停留 景区A (1)求甲班次长途汽车从迎宾客运中心到新区停靠站行驶的时间和在普通公路上的行驶速度； (2)求高速公路出口到景区A的路程； (3)在行驶过程中，从上午时乙班次长途汽车出发开始计时，运行时长记为t分钟（如上午时，运行时长），在行驶过程中，能否出现两辆长途汽车相距的情况，若可以，求出所有符合的t的值；若不能，请说明理由． ►题型08 动点问题 【典例8】（2026·全国·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，8．线段，从点A（端点P与点A重合，点Q在P点的右侧）出发，以每秒4个单位向右匀速运动，到达B点，即Q点与点B重合后，立即以每秒a个单位的速度匀速返回，当端点P与点A再次重合时运动停止．点M从点B出发，以每秒2个单位向左匀速运动，与线段端点Q相遇后速度立即变为每秒3个单位，匀速到达A点时运动停止．已知线段与点M同时出发，点M提前2秒到达点A．设运动时间为t（秒）． (1)经过_______秒，点M与线段端点Q相遇． (2)记，m与t具有函数关系． ①线段从左向右（从点A到点B）的运动过程中，求m与t的函数表达式； ②在整个运动过程中，请直接写出时t的所有取值． 【变式8-1】（25-26九年级上·江西·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)则______，____________； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（17-18七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． ． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的“巧点”，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，P为A、Q的“巧点”？说明理由． ►题型09 分段收费问题 【典例9】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【变式9-1】（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【变式9-2】（24-25九年级下·北京丰台·月考）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1级 3级 (1)使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价电费） (2)某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． ►题型10 工程问题 【典例10】（25-26九年级上·湖南湘西·月考）有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积． (2)已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 【变式10-1】（25-26九年级上·重庆·期末）列方程解下列问题： 某小型运动用品生产商，每天生产乒乓球的数量比每天生产的羽毛球数量多500个；2天时间生产的乒乓球数量比5天时间生产的羽毛球数量多100个． (1)求该运动用品生产商每天生产的乒乓球、羽毛球的数量分别是多少个． (2)由于乒乓球与羽毛球的市场需求量激增，该生产商决定优化生产线．优化后，每天生产羽毛球增加的数量比每天生产乒乓球增加的数量的多100个．若生产6000个乒乓球的天数比生产4200个羽毛球的天数少2天，求每天生产乒乓球增加的数量． 【变式10-2】（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ (2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） ►题型11 和差倍分问题 【典例11】（25-26九年级上·重庆·期中）2026年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共14100件经考察，乙工厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的倍少900件． (1)求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？ (2)在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味文创产品？ 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·期末）某校举行文艺汇演，计划安排学生人参加舞蹈表演，其中女生人数比男生人数的2倍少4人． (1)求计划参加舞蹈表演的男、女生人数． (2)根据实际需要只增加男生人数，将男、女生人数的比例调整为，则需增加男生多少人？ 【变式11-2】（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款． (1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元； (2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？ 命题点四 解二元一次方程组 ►题型01 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 【典例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1) (2) 【变式1-1】（2025九年级上·重庆·专题练习）解方程组： (1) (2) 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆·期中）解下列方程组： (1) (2) ►题型02 二元一次方程组的同解问题 【典例2】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． ►题型03 二元一次方程组求参数问题 【典例3】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26八年级上·四川·期中）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． ►题型04 二元一次方程组的错解问题 【典例4】（22-23七年级上·安徽蚌埠·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【变式4-1】（20-21七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【变式4-2】（16-17七年级下·河南周口·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． ►题型05 解三元一次方程组 【典例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式5-2】（2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 命题点五 二元一次方程组的应用 ►题型01 数字问题 【典例1】（2025九年级上·重庆·专题练习）对于一个三位正整数，若十位数字与个位数字之和减去百位数字的差为，则称这个三位数为“顺心数”，例如：，因为，所以是“顺心数”：若（，，，且、、均为整数），记．若是“顺心数”，且，则的值为 ；已知，是两个不同的“顺心数”（，，，，且、、、均为整数），且能被整除，则的最大值为 ． 【变式1-1】（2026·四川遂宁·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为，所以1732是“积方和数”．已知四位数是“积方和数”，将“积方和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被22整除，则满足条件的的最小值是 【变式1-2】（25-26九年级上·四川·期中）定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为 ． ►题型02 方案问题 【典例2】（25-26七年级上·安徽宣城·期末）2025年11月26日香港大埔发生重大火灾事故，造成一百余人遇难，此次灾情立即牵动内地市民的心．某市市民自发筹集了救灾必需物资120吨打算运往香港，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)现决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请直接写出所有的车辆安排方案． 【变式2-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某店用120万元购进两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价−进价）销售量]． 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该店购进两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该店决定再用240万元同时购进两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ (3)若现需重新购进A、B两种新能源汽车共50辆，且A类不少于20辆，如何购进利润最大？ 【变式2-2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明在某超市分两次采购蛋卷和烤肠，为美食节做准备．采购时，均按无折扣标价采购，两次采购的数量和总金额如下表所示． 蛋卷/袋 烤肠/盒 总金额/元 第一次 第二次 (1)求蛋卷和烤肠的无折扣标价分别为多少元；（请使用二元一次方程组解决问题） (2)节日尾声，还剩余一些未拆封备用的蛋卷和烤肠，小明打算将它们按采购标价的八折售卖．若小美在美食节抽奖获得了元，全部用来买蛋卷和烤肠（可以只买一种），且金额没有剩余，则有哪几种方案？ 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济南·月考）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车，新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元；若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． ►题型03 行程问题 【典例3】（2025九年级·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【变式3-1】（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽亳州·月考）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ ►题型04 工程问题 【典例4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【变式4-1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）某物流公司计划租用、两种型号的货车运输货物，已知租用3辆型货车和2辆B型货车一次可运货17吨，租用2辆A型货车和3辆B型货车一次可运货18吨． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可运货多少吨？ (2)该物流公司计划租用这两种型号的货车共10辆，且A型货车的数量不超过B型货车数量的2倍，若每吨货物的运输费用为30元，怎样租车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ ►题型05 销售问题 【典例5】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【变式5-1】（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【变式5-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）每年的冬季，哈尔滨都吸引了大量游客，某摊位在冰雪大世界销售两种特色陶瓷工艺品：A款青花瓷杯和B款摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求每个A款青花瓷杯和每个B款摆件的售价各是多少元； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1050元，则至少需要带多少个A款青花瓷杯？ ►题型06 和差倍分问题 【典例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【变式6-1】（2022·江西·模拟预测）小唯为了减轻父母的负担，计划自己攒存读高中的生活费，从年1月份开始，每月月初一次性给储蓄盒内存入相同数额的零用钱．已知2月初存款后清点储蓄盒内有存款元，2月中旬将元压岁钱也存入其中，4月初存款后清点储蓄盒内有存款元． (1)求小唯1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ (2)小唯准备将这元参加教育储蓄（教育储蓄不收利息税），已知教育储蓄一年期的利率为，三年期的年利率为．有两种储蓄方式： 方式一：先存一年期，第二年将本息和自动转存一年，第三年继续将本息和自动转存一年； 方式二：直接存三年期． 请你帮小唯计算一下，小唯应选择哪一种储蓄方式更合算？ 【变式6-2】（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． 根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有哪几种购买方案？ (3)在上面（2）中条件下，哪一种方案所需费用最少？请求出这个最少的费用是多少元． ►题型07 几何问题 【典例7】（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【变式7-1】（25-26九年级上·云南·月考）如图，矩形的对角线，相交于点，，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为，且，求四边形的面积． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）某农场计划使用全长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的其中一面靠墙，如图所示．设，． (1)当时，求x、y的值； (2)求菜园面积的最大值． ►题型09 古典问题 【典例8】（2026九年级·吉林·专题练习）我国民间流传着一道《周瑜寿属》的诗歌形式的数学题，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十比个位正小三，个位六倍与寿符，哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？设个位数字为，十位数字为，根据诗歌内容，则可列方程组为 ． 【变式8-1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，则井深为 尺． 【变式8-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” ►题型09 三元一次方程组的应用 【典例9】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【变式9-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 【变式9-3】（21-22九年级上·重庆沙坪坝·月考）元旦将至，初中各年级准备给同学们购买新年礼物，准备购买笔记本、尺规作图工具、钢笔三种礼物，笔记本、尺规作图工具、钢笔的单价分别为5元、15元、25元，初二购买的笔记本数量是初一的10倍，尺规作图工具数量是初一的6倍，钢笔数量是初一的8倍，初三购买的笔记本数量是初一的3倍，尺规作图工具数量是初一的7倍，钢笔数量和初一相同，三个年级共花费金额2510元，初三比初一多用420元，则三个年级购买尺规作图工具共花费 元． 突破一 新定义的方程 【典例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于的方程与方程互为“对立方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数，求整数的值． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解和为0，我们就称这两个方程互为“圆满方程”． 例如： 方程，解为，方程，解为，因为，所以方程和互为“圆满方程”． (1)下列方程互为“圆满方程”的是______（填序号）； ①；② ；③． (2)若关于x的方程与方程互为“圆满方程”，求m的值； (3)若无论m取何值时，关于x的方程 （a， b为常数）与方程互为“圆满方程”，求的值． 突破二 二元一次方程的特殊解法 【典例2】（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 1.（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 2.（2025·广西·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 3.（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 4.（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）李老师到文具店买A、B两种笔（两种都买），A种笔元/支，B种笔1元/支，共花了元钱，则可供李老师选择的购买方案共有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 5.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 6.（25-26九年级上·广东梅州·月考）在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 7.（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（2026·广西钦州·模拟预测）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 9.（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 10.（2025·四川乐山·二模）解方程组： 11.（2024·海南·三模）某茶叶店以相同的单价分两次购进五指山红茶和白沙绿茶，两次购进情况如表：求每盒五指山红茶和每盒白沙绿茶进价各为多少元？ 五指山红茶（盒） 白沙绿茶（盒） 总进价（元） 第一次 30 20 6000 第二次 20 15 4250 1.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（） A．元 B．元 C．元 D．元 2.（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（    ） A． B． C．或 D．或 3.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 4.（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 5.（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 7.（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 8.（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； (3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数． 9.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 10.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： (1)该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ (2)该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 1.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（） A．元 B．元 C．元 D．元 2.（24-25七年级上·广东深圳·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（    ） A． B． C．或 D．或 3.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 4.（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 5.（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 7.（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 8.（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； (3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数． 9.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 10.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题： (1)该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ (2)该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 十三、2 1.（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 2.（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 3.（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 4.（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 5.（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 6.（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 7.（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 8.（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 9.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $