第02讲 整式与因式分解（复习讲义，4命题点+23题型+4重难突破）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”核心模块，覆盖代数式概念、整式运算、因式分解三大中考高频考点，按命题点分块构建知识网络，细化4大命题点28个题型。通过“考情剖析-考点解析-真题训练”流程，结合新课标抽象能力、运算能力要求，帮助学生系统梳理知识，突破同类项判断、乘法公式应用等难点。 亮点在于“规律探究+几何验证”双路径突破，如结合杨辉三角探究幂的运算规律培养推理意识，用图形面积验证乘法公式发展几何直观。设分层练习与5分钟限时测试，精准适配不同学生需求，助力教师把控复习节奏，高效提升学生应试能力与数学思维。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 5 03·考点解析·知识通关 6 04·命题洞察·题型预测 16 命题点一 代数式的概念 题型01列代数式 题型02正（反）比例 题型03代数式的实际意义 题型04求代数式的值 命题点二 整式的有关概念 题型01单项式的次数与系数 题型02单项式的规律题 题型03多项式的次数与系数 题型04同类项的判断 题型05已知同类项求未知数 题型06合并同类项 题型07去（添）括号 命题点三 整式的运算 题型01整式的加减法 题型02整式加减法的应用 题型03幂的基本运算 题型04幂的逆向运算 题型05整式的乘法 题型06整式运算的化简求值 题型07整式的除法 题型08乘法公式 命题点四 因式分解 题型01提公因式法因式分解 题型02公式法因式分解 题型03因式分解的综合方法 题型04因式分解的应用 05·重难突破·思维进阶 53 突破一 数字类规律探究 突破二 图形类规律探究 突破三 乘法公式与几何验证 突破四 整式运算中无关型问题 06·优题精选·练能提分 64 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式与整式的概念 / / 衢州卷T3 台州卷T2 宁波卷T4 借助现实情境了解代数式的概念，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定问题查阅资料找到所需公式；会把具体数代入代数式计算（求代数式的值）。 掌握代数式的书写规范。 理解整式的概念，明确 “单项式与多项式统称为整式”；区分单项式、多项式的概念： 单项式：了解 “数或字母的积”，掌握单项式的系数和次数。 多项式：了解 “几个单项式的和”，掌握多项式的项数（含常数项）、次数（次数最高项的次数），能将多项式按某个字母升幂 / 降幂排列。 明确 “分母含字母的式子不是整式”。 整式的运算 浙江卷T15 浙江卷T17 浙江卷T4 湖州卷T2.T11 嘉兴卷T17 金华卷T18 丽水卷T2 宁波卷T2.t17 衢州卷T16 绍兴卷T4 台州卷T4 温州卷T6 杭州卷T1 理解同类项的概念：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（仅系数不同或系数也相同）；掌握合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母及指数不变。 掌握去括号 / 添括号法则：①括号前是 “+”，去 / 添括号后符号不变；②括号前是 “-”，去 / 添括号后括号内所有项符号变号；③括号前有系数时，括号内所有项需乘该系数（避免漏乘）。 能进行简单的整式加减运算：整式加减的本质是 “去括号 + 合并同类项”，步骤为：①去括号（按法则）；②找同类项；③合并同类项（彻底，不遗漏）。 能运用整式加减解决简单实际问题（如求两个长方体纸盒的总面积、计算商品利润的整式表达）。 因式分解 浙江卷T3 浙江卷T11 金华卷T11 宁波卷T11 温州卷T11 杭州卷T3 绍兴卷T11 台州卷T11 了解因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。 掌握两种核心因式分解方法： 提公因式法：能找出多项式各项的公因式。 公式法：了解平方差公式、完全平方公式的几何背景，能直接运用公式分解： 掌握因式分解的一般步骤：①先提公因式；②无公因式或提公因式后，再用公式法（二次三项式优先尝试公式法，不行则暂不要求复杂方法）；不要求分组分解法（部分教材隐去名称，仅作初步综合）。 命题预测 浙江省近三年中考数学中，代数式与整式概念、整式运算、因式分解以基础题为主，常与几何、二次函数等跨模块融合，题型稳定（选择、填空、解答），侧重运算能力与实际应用能力考查。代数式与整式的概念：多间接考查（如同类项、单项式系数 / 次数判断），单独分值 2-3 分，无单独概念解答题。整式的运算：必考解答题（化简求值），搭配 1 道选择 / 填空题（幂的运算正误判断），合计分值 6-8 分，是三个考点中占分最高的核心考点。因式分解：多以填空题形式单独考查（提公因式 + 公式法），单独分值 3 分，另在分式化简、二次函数解题中含 1-2 分隐藏辅助分。26年中考整式运算仍是重中之重，解答题会延续 “平方差 + 完全平方公式 + 整体代入” 的组合，可能结合图形面积计算设计情境；因式分解聚焦二次式分解（提公因式法 + 平方差 / 完全平方公式），可能在二次函数解析式求解中辅助考查；代数式与整式概念多结合浙江本土情境（如科技发展、乡村振兴）考查数量关系表达，侧重单项式 / 多项式的基础属性判断，难度无大幅提升；题型保持 “1 道选择（概念 / 幂运算）+1 道填空（因式分解）+1 道解答（化简求值）” 的稳定组合，侧重基础运算准确性与灵活应用能力。 考点一 代数式与整式的概念 1．代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2．代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做 3．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。 4．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数（要包括前面的符号）； 单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数（只与字母有关）。 5．多项式：几个单项式的和叫多项式。 6．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 7． （整式是代数式，但是代数式不一定是整式）。 代数式的值. 1.（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可． 【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元， ∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等． 2.（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 【答案】B 【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】设原件为x元， ∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元， ∵先提价，再打六折， ∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元， ∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x 故选B 【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键． 3.（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 4.（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项． 【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y， 所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG = =2xy， 所以根据题意，已知条件为xy的值， A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意； B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意； C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意； D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键． 5.（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 6.（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 7.（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 考点二 整式的运算 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序无关）。 2．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 3．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 4．整式的加减 ① 整式的加减其实就是合并同类项； ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号． 5．幂的运算 幂 的 运 算 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝ 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n 6．整式的乘法 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． 7．整式的除法 ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m. 8．乘法公式 ①平方差公式： （1）符号表述： （2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； （3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； ②完全平方公式： （1）符号表述：两数和的完全平方公式，两数差的完全平方公式 （2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 （3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； 1.（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 2.（2023·浙江湖州·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法法则解题即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 3.（2023·浙江湖州·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 4.（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 5.（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 6.（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7.（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 考点三 因式分解 1．因式分解 ①概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。 ②因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。 ③因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。 2．因式分解的常见方法 ①公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0） ③用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式） ④用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。 因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。 1.（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】． 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 2.（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解： ， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 3.（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 4.（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 5.（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6.（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 命题点一 代数式的概念 ►题型01 列代数式 【典例1】（2024·浙江·模拟预测）如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 ，计算即可． 【详解】解：根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 故选：C． 【变式1-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）某地年、年、年的森林面积（单位：）分别是，，，若年与年森林面积增长率相同，则，，满足的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、增长率问题等知识点，根据各数量之间的关系、列出代数式是解题的关键． 设年与年森林面积增长率为，利用该地年的森林面积该地年的森林面积森林面积增长率及该地年的森林面积该地年的森林面积森林面积增长率，可用含，的代数式表示出，，进而可得出． 【详解】解：设年与年森林面积增长率为，则，， ， ，，满足的数量关系为． 故答案为：． 【变式1-2】（2024·浙江杭州·二模）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示， 甲种糖果 乙种糖果 单价（元/千克） 【变式1-3】 【变式1-4】 千克数 将这千克甲种糖果和千克乙种糖果混合成什锦糖果，则混合什锦糖果的单价为 元/千克（用含和表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可． 【详解】解：混合什锦糖果的单价为 故答案为：． 【变式1-5】（2024·浙江衢州·一模）篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某次比赛甲球队赢了场，输了场，积20分．若用含的代数式表示，则有 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程，求出与的关系式；本题考查了列代数式，根据题意列出方程是解答本题的关键． 【详解】由题意可得：， 故答案为：． 【变式1-6】（2021·浙江·一模）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 元． 【答案】 【分析】先求出按批发价元提高的零售价(元)，再乘以（1-10%）即可 【详解】解：按批发价元提高的零售价格为(元)， 又按零售价降低即为单价，则单价为 (元)． 故答案为：． 【点睛】本题考查用字母表示数，列代数式，掌握用字母表示数，列代数式方法是解题关键． ►题型02 正（反）比例 【典例2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）下列关系中，与成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的定义．反比例关系定义为与的乘积为常数，即（）．选项C中，符合定义． 【详解】解：∵反比例关系的形式为（为常数，）， 选项A∶，不符合； 选项B∶，不符合； 选项C∶，符合形式； 选项D∶，即，是正比例关系，不符合． ∴只有选项C中与成反比例关系． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北衡水·月考）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是 ． ①车间计划加工800个零件，加工所需天数与每天加工的零件个数； ②社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数； ③圆柱体的体积为，圆柱的底面积与高； ④计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额． 【答案】①②③ 【分析】本题考查反比例关系的判断，判断两个量是否成反比例关系，关键是看它们的乘积是否为定值；若乘积为常数，则成反比例关系；否则不成反比例关系． 【详解】解：①加工所需天数×每天加工的零件个数（定值），故成反比例关系； ②组数×每组人数（定值），故成反比例关系； ③底面积×高（定值），故成反比例关系； ④购买苹果的金额＋购买香蕉的金额（定值），但这是和的关系，不是乘积关系，故不成反比例关系； 因此成反比例关系的是①②③， 故答案为：①②③． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）变量、的关系如图所示，若、成反比例关系，则的值为 ． 【变式2-3】 【变式2-4】 【变式2-5】 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的定义，变量 与 的乘积为常数，利用表格中的数据列方程求解． 【详解】解：由反比例关系，得 （ 为常数）． 根据表格数据：当 时，； 当 时，． 因此，， 即 ． 解得 ，． 故答案为：． ►题型03 代数式的实际意义 【典例3】（2024·河北唐山·模拟预测）某班选举班干部，全班每1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，．老师规定：同意某同学当选的记“”，不同意（含弃权）的记“”． 如果令 表示第号同学同意第号同学当选，表示第号同学不同意第号同学当选， 其中，， ，； ， ， ，． 则，表示的实际意义是 （     ） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式表示的实际意义． 先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加． 【详解】解： 1名同学同意第1号同学当选依次由，，，表示， 1名同学同意第2号同学当选依次由，，，表示， ∴，表示的实际意义是同时同意第 1号和第2号同学当选的人数． 故选： B． 【变式3-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，分别表示两天的销售量并求和，确定代数式“”的实际意义． 【详解】解： 第一天销售量为件．第二天销售量为件． 将两天的销售量相加，即 ∴因此，代数式“”表示两天共售出吉祥物的数量， 故选：C． 【变式3-2】（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． ►题型04 求代数式的值 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）当时，整式的值为，则当时，整式的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 利用整体代入法，先求出的值，再代入求值． 【详解】解：当时，， ， ， 当时，， 代入，得 原式． 故选． 【变式4-1】（24-25九年级下·浙江杭州·月考）若，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查代数式的求值，根据代数式的特点将原式变形，再整体代入已知条件是解题的关键． 先将代数式变形后，再整体代入即可得结论． 【详解】解：， 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式及整式的化简求值是解题的关键．先根据多项式乘以多项式的运算法则进行化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式． 故选：C． 【变式4-3】（2025·浙江·模拟预测）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练运用相关知识是解题关键．设，则，易得，再设，则，进而可得，可知为方程的两个实根，利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：设，则， ∴，即， 再设，则， ∴，即， 则为方程的两个实根， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式4-4】 （25-26九年级上·浙江台州·期末）若是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-5】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）若，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的性质．根据平方差公式得出，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， 将，代入， 则原式， ， ， ． 故答案为：． 命题点二 整式的有关概念 ►题型01 单项式的次数与系数 【典例1】（2023·浙江衢州·二模）单项式的系数是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式系数的定义进行求解即可． 【详解】解：单项式的系数是−3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了单项式系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）单项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的次数，掌握相关知识是解决问题的关键．单项式的次数是指所有字母的指数之和． 【详解】解：单项式 中， 的指数为 2， 的指数为 1， ∴单项式的次数为 ， 故答案为：3． ►题型02 单项式的规律题 【典例2】（25-26七年级上·吉林·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2026个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察单项式的系数和指数的变化规律，系数是符号交替的偶数，指数是连续的奇数，第n个单项式可表示为． 【详解】解：由题知， 所给单项式的系数依次为：，4，，8，， 所以第个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，3，5，7，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时， 第2026个单项式是：． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）按一定规律排列的单项式：，，，，．则第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的规律．观察单项式序列，发现系数、a的指数和b的指数均与项数n相关，再进行分析总结，即可作答． 【详解】解：第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 依此类推得第n个单项式为：， 当时，第8个单项式为：． 故选：B． 【变式2-2】（23-24九年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，则第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律探究，列代数式，观察单项式的系数和指数规律，第个单项式的系数为，指数为，由此得到第个单项式为，再代入计算即可． 【详解】解：观察可知，系数为，，， 那么第个单项式的系数为， 观察指数，指数分别为0，1，2，3，4 那么第个单项式的指数为， ∴第个单项式为， ∴第10个单项式是， 故选：A． ►题型03 多项式的次数与系数 【典例3】（25-26九年级上·四川成都·期中）对于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次三项式 B．它的常数项是5 C．它的一次项系数是 D．它的常数项是 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数、项数、常数项和系数的概念；通过判断多项式的各项属性，确定正确选项即可． 【详解】解：∵多项式的最高次项为，次数为2， ∴它不是三次多项式，故A错误； ∵常数项是不含字母的项，即为， ∴B错误，D正确； ∵一次项系数是数字，一次项是，其系数为，不是， ∴C错误； 故选D． 【变式3-1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）多项式的次数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查多项式的次数，熟练掌握多项式的次数是解题的关键；多项式的次数由最高次项的次数决定，因此需比较各项次数即可． 【详解】解：多项式中，项的次数为4，项的次数为2，常数项1的次数为0，最高次数为4，故该多项式的次数是4； 故答案为4． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林长春·月考）多项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的次数，多项式的次数是指所有项中最高次项的次数，通过计算每一项的次数并比较得出． 【详解】解：多项式中，项的次数为=3，项的次数为=2，项的次数为3， 因此最高次数为3， 故该多项式的次数是3． 故答案为：3． ►题型04 同类项的判断 【典例4】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不符合题意； B、是同类项，符合题意； C、不是同类项，不符合题意； D、不是同类项，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键． 【变式4-1】（22-23七年级上·河北承德·期末）与是同类项的为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用同类项的定义分别分析得出答案． 【详解】解：由同类项的定义可知，与是同类项． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同类项，正确把握定义是解题关键．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同． 【变式4-2】（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． ►题型05 已知同类项求未知数 【典例5】（25-26九年级上·四川成都·期中）若与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【变式7-1】【分析】此题考查同类项，根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数相同，建立方程求解m和n的值，再计算它们的和． 【详解】∵ 与 是同类项， ∴ ，且 ， 解得 ，， ∴ ， 故答案为：7． 【变式5-1】（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）已知与是同类项（，，均不为0），若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类项的概念，所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．根据同类项的定义，可得，解得，结合，求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与是同类项，且，，均不为0， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式5-2】（2024·广东·模拟预测）若与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据同类项，求参数的值，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：1． 【变式5-3】（25-26九年级上·吉林·开学考试）若与的和是单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，求代数式的值，掌握同类项的概念是解题的关键；由题意知，这两个单项式是同类项，由同类项概念可求得a、b的值，再代入即可求值． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． ►题型06 合并同类项 【典例6】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据同类项的定义和合并法则逐项判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原结果错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原结果错误，不符合题意； C、，原结果错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 【变式6-1】（2026·广西钦州·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，正确掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据同类项的定义和合并法则逐一判断即可． 【详解】解：A、 和不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意； B、 和是同类项，合并得，故选项B符合题意； C、 和不是同类项，不能合并，故选项C不符合题意； D、 和是同类项，合并得，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，直接利用合并同类项法则，系数相加即可解答． 【详解】解：． 故选：A． ►题型07 去（添）括号 【典例7】（2025·河北·模拟预测）下列各式从左向右变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号与添括号，完全平方公式与算术平方根，根据去括号与添括号法则以及完全平方公式，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】（2025·河北秦皇岛·一模）与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，根据加法交换律和添括号法则，进行判断即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式7-2】（2024·江西南昌·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意去括号时变号即可； 【详解】解：原式， 故答案为： 命题点三 整式的运算 ►题型01 整式的加减法 【典例1】（2025·陕西西安·模拟预测）下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据合并同类项法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式1-1】（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． ►题型02 整式加减法的应用 【典例2】（2026·江西·模拟预测）新考法数形，结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为S，周长和为C，则下列关于S和C的说法正确的是（    ） A．S和C均为定值 B．只有S为定值 C．只有C为定值 D．S和C均不为定值 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意． 根据题意，列出代数式逐个进行分析即可． 【详解】解：由题意可知，矩形公园的长、宽为定值， 如图，设矩形公园的长和宽分别为b，a，利用线段平移可知，两阴影部分的周长和，则C为定值， 设图中两阴影部分的面积分别为，长分别为m，n，则.将向下平移个单位长度后，两阴影部分的面积和． ∴只有当时，S为定值， 故选：C． 【变式2-1】（2024·安徽·模拟预测）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： (1)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和． (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程分应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设中间数为x，然后表示出十字框中的其他4个数分别为、、、，相加即可得解； （2）设中间的数为x，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间数为x，则另4个数分别为、、、， 所以十字框中五个数之和为； （2）解：设中间的数为x， 依题意可得：， 解得： 因为不是整数，与题目的a是奇数不符， 所以5数之和不能等于． 【变式2-2】（2026·广西钦州·模拟预测）【综合实践】 【活动主题】探究包装盒的打包方式． 【活动背景】同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【活动素材】如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． 任务一： （1）图①中打包带的总长＝______；（用含、、的代数式表示，并化简) 图②中打包带的总长＝______；(用含、、的代数式表示，并化简） 任务二： （2）已知一个箱子的长，宽，高，若按照图①的方式打包，请计算打包带的总长； 任务三： （3）根据你的分析，试判断哪种打包方式所用打包带更短？ 【答案】（1）；； （2）按照图①的方式打包，打包带的总长为； （3）按照方式②的打包带更短 【详解】（1）图①中打包带的总长， 图②中打包带的总长； 故答案为：； （2）因为一个箱子的长，宽，高， 所以； 所以按照图①的方式打包，打包带的总长为； （3）， 所以按照方式②的打包带更短． 【变式2-3】（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 【答案】(1)扩建前：，扩建后： (2) 【分析】本题主要考查代数式的表示，多项式乘法运算以及通过建立方程解决的能力，准确计算是解题的关键． （1）扩建前后的面积均通过长宽计算，注意代数式的展开与化简； （2）利用扩建后面积与原面积的差建立方程，求解出未知数的值，进而求出原面积． 【详解】（1）矩形草坪的长为，宽为， 扩建前矩形草坪的面积为； 由题意可得，扩建后矩形草坪的长为，宽为， 扩建后矩形草坪的面积为； （2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了， 。 解得：， ． 扩建前这个矩形草坪的面积为． ►题型03 幂的基本运算 【典例3】（2026·江苏苏州·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识．根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相除，同底数幂相乘，幂的乘方，和完全平方公式，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 【变式3-2】（2025·新疆·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】（2026·陕西西安·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、，原式计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B 【变式3-4】（2026·全国·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方，逐项分析判断即可． 【详解】解： A．中不是同类项，不能合并，该项错误，不符合题意； B．中，该项错误，不符合题意； C．中，该项错误，不符合题意． D．幂的乘方规则为，，该项正确，符合题意． 故选D． ►题型04 幂的逆向运算 【典例4】（2023·广东东莞·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算综合，多项式乘多项式，先得到，，然后把代入得到，则整理得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴， 整理得， ∴， 故选：A． 【变式4-1】（2021·浙江杭州·模拟预测）若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方法则，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【变式4-2】（2022·湖南邵阳·一模）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的逆用得出，再求出答案即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式4-3】（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 【变式4-4】（24-25九年级下·广东佛山·开学考试）若，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，先求出，再将式子变形为代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-5】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． ►题型05 整式的乘法 【典例5】（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式5-1】（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式5-2】（2022·江苏镇江·模拟预测）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； （3）根据平方差公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． ►题型06 整式运算的化简求值 【典例6】（2026·广西钦州·模拟预测）化简求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】本题考查的是整式的加减化简以及代数式求值． （1）通过合并同类项对整式进行化简； （2）先去括号、合并同类项完成化简，再代入给定的值计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 再代入求值：原式． 【变式6-1】（2024·广东江门·二模）已知，． (1)计算：（结果用含x，y的式子表示）； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减和化简求值，掌握整式的运算是解题的关键． （1）首先把A、B表示的代数式代入，再合并同类项即可得到答案； （2）将已知条件的x、y的值，直接代入（1）中得到的代数式中即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：当，时， ∵由（1）得：， ∴． 【变式6-2】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【变式6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．先根据平方差公式，合并同类项，完全平方公式展开，正确化简，然后计算代数式的值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式6-4】（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，1 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式，整式的运算法则化简，再将代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式6-5】（2025·陕西汉中·模拟预测）先化简，再求值，其中 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，化简求值，先根据多项式乘多项式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入， 得原式 ． 【变式6-6】（2025·陕西咸阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，原式 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． ►题型07 整式的除法 【典例7】（2025·山东青岛·模拟预测）计算的结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式．根据积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除单项式的计算法则进行求解是解决本题的关键．应用单项式除单项式计算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ． 故选：． 【变式7-2】（2025·重庆·模拟预测）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了整式的运算，通过完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． ►题型08 乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【典例8】（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的运算． 根据新定义，将和代入公式，然后利用整式的乘法公式和合并同类项进行化简 【详解】解：由新运算定义，， 则 ． 故答案为：． 【变式8-2】（2021·上海·一模）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 【变式8-4】（2025·江苏·一模）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解： ． 命题点四 因式分解 ►题型01 提公因式法因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 【典例1】（2025·江西新余·二模）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】（2026·全国·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·福建漳州·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，先确定公因式，再分解即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式1-3】（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． ►题型02 公式法因式分解 【典例2】（24-25九年级上·广东湛江·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握平方差公式分解因式． 利用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-1】（2013·江苏泰州·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2-2】（2016·广西桂林·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-3】（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．直接应用公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． ►题型03 因式分解的综合方法 【典例3】（2022·山东东营·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-1】（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2】（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键． 利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3-4】（2025·广西来宾·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再提公因式，进而利用十字相乘法和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3-5】（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解： ， 故答案为：． ►题型04 因式分解的应用 【典例4】（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则 ． 【答案】20或28 【分析】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意，等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式和；消去a，再因式分解得到，进而或，分别计算出a，b，c的值即可得出答案． 【详解】解：，，且恒成立， ，， 消去得，即， ,都是整数， ，或，， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 故答案为：20或28． 【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 【变式4-2】（2025·湖南益阳·模拟预测）阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ； 问题②：方程的正整数解是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查的是一元二次方程的整数根，因式分解法，掌握多项式的因式分解是解题的关键．方程的左边因式分解得到，得到正整数解；，变形为，设（为正整数），得，可得，且为正整数，代入计算即可． 【详解】解：， 则， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴没有正整数根， ∴的正整数根是， 则方程的正整数解是； ∵， ∴， ∴， 由是正整数，则是3的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，且为正整数， 当时，得，得，得（负值舍），则； 当时，得，得，得（负值舍），则； 方程的正整数解是，， 故答案为：；，． 【变式4-3】（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果． 长方形的面积长宽，所以 【详解】解：； 故答案为： 【变式4-4】（2020·浙江杭州·模拟预测）若x满足，求的值． 解：设，则，， 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）13；（3）28 【分析】（1）设（5-x）=a，（x-2）=b，根据已知等式确定出所求即可； （2）设（6-x）=a，（x-3）=b，根据已知等式确定出所求即可； （3）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设（5-x）=a，（x-2）=b， 则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3， ∴（5-x）2+（x-2）2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5； （2）设（6-x）=a，（x-3）=b， 则（6-x）（x-3）=ab=-(6−x)(3−x)=-2，a+b=（6-x）+（x-3）=3， ∴（6-x）2+（3-x）2=（a+b）2-2ab=32+2×2=13； （3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3， ∴MF=DE=x-1，DF=x-3， ∴（x-1）•（x-3）=48， ∴（x-1）-（x-3）=2， ∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2． 设（x-1）=a，（x-3）=b，则（x-1）（x-3）=ab=48，a-b=（x-1）-（x-3）=2， ∴a=8，b=6，a+b=14， ∴（x-1）2-（x-3）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28．即阴影部分的面积是28． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 【变式4-5】（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如： ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y有最大值，最大值为 (3)见解析 【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据题意利用配方法分解因式即可； （2）由配方法得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）利用配方法得到，即可证明结论． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 突破一 数字类规律探究 【典例1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）高斯上小学时，一天，数学老师布置了一道题，，这样从1一直加到100等于多少？高斯很快就算出了答案．他是按如下方法计算的： ， ， ． 如果采用高斯的算法，给出以下连续偶数： 2， 4，6， 8，10，…，198， 200． 则它们各项的和为（   ） A．5050 B．10020 C．10100 D．10200 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的运算，解题关键是模仿例题的解题思路求解．采用高斯求和方法，将数列正序和反序相加，每对和相等，计算总和，即可得各项的和． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）已知：，，，……，若（，都是正整数），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键．通过观察已知等式的规律，得出分母是前面的数的平方减去1，分子与前面的数相同，据此可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 则， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽宣城·月考）观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 (1)第4个等式：________； (2)写出第2025个等式：________； (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1)17 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字规律探索、完全平方公式的应用及整式的运算，熟练掌握从已知等式中提取规律并进行代数验证是解题的关键． （1）观察已知等式的计算结果，前三个结果依次是5、9、13，差值为4，按此规律计算第4个等式的结果． （2）先找出等式中左边底数的规律（第一个底数是奇数，为；第二个底数是自然数），再代入得到等式，最后计算结果． （3）根据前几题的规律写出第个等式，再通过整式运算验证左右两边相等． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； ； ∴故第个等式，． ∴第2025个等式为，即， 故答案为：． （3）解：猜想第n个等式为： 验证：左边 右边， ∵左边=右边 ∴猜想成立． 突破二 图形类规律探究 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2026个“H”需要棋子（   ） A．10127个 B．10130个 C．10132个 D．10135个 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从3开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从1开始连续的整数，进而得到第个“H”需要棋子（个），令进行求解即可． 【详解】解：观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从3开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从1开始连续的整数， ∴第个“H”需要棋子（个）， 当时，；即摆成第2026个“H”需要棋子10132个； 故选C． 【变式2-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化找出规律． 根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案． 【详解】解：图1有1个棋子； 图2有4个棋子，比图1多了3个； 图3有7个棋子，比图1多了个； 图4有10个棋子，比图1多了个； …… 则图7有个棋子； 故选：D． 【变式2-2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（   ） A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，每个图形棋子的个数即为序号的4倍，据此可得答案． 【详解】解：第①个图形需要枚棋子， 第②个图形需要枚棋子， 第③个图形需要枚棋子， ……， 以此类推可得，第n个图形需要枚棋子， ∴第⑦个图形需要棋子枚， 故选：A． 【变式2-3】（2025·浙江杭州·二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个． 【答案】38 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，发现规律，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：由图形可得：第①个图形有个， 第②个图形有个， 第③个图形有个， 第④个图形有个， …， 故第⑩个图形有个, 故答案为：． 突破三 乘法公式与几何验证 【典例3】（2022·浙江杭州·一模）边长分别为a和b（其中）的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2ab C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积，即可求解． 【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积， 即：， 故选：A 【点睛】此题考查了整式的加减乘除运算，涉及了平方差公式，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积． 【变式3-1】（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 【变式3-2】（20-21八年级上·河南新乡·月考）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2) (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，若，，则 ； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)4或 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． （1）由面积公式和同一个图形面积相等列出等式即可； （2）由（1）可得，，求出即可； （3）将式子变形为，代入已知即可求解． 【详解】（1）由题可得，大正方形的面积， 或大正方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴或， 故答案为：4或； （3）∵， 又， ∴， ∴． 【变式3-3】（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 【答案】(1)B，A (2) 【分析】本题考查了乘法公式在几何图形中的应用，分式的化简，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）由题意可得，，，均为等腰直角三角形，设，则，用代数式分别表示，再代入化简即可． 【详解】（1）解：图②中大正方形的面积为，也可以表示为两个正方形和两个长方形的面积和，则为， ∴， ∴图②对应等式B； 图③中实线部分的两个长方形的面积和可以表示为大正方形面积减去小正方形面积即为，当把右下角的小长方形移至大长方形左边，则两个长方形的面积和可以表示为， ∴得到， ∴图③对应等式A； 故答案为：B，A； （2）解：由题意可得，，，，均为等腰直角三角形， 设，如图： 则， ∴， ∴． 突破四 整式运算中无关型问题 【典例4】（2025·河北邯郸·二模）已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查整式的加减运算、合并同类项以及代数式求值．整式加减运算中合并同类项是关键步骤，而对于不含某一项即该项系数为这一概念的运用是解题的重要依据．在准确对进行整式运算并合并同类项，然后根据不含一次项得出一次项系数为的方程求解及正确将值代入并化简，再代入的值进行准确计算是解题的关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为，据此建立方程求解的值． （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【详解】（1）解： ． 无论取何值时都不含的一次项， ． ． （2）解：当时，． 当时，． 【变式4-1】（2025·广东·一模）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 【变式4-2】（2024·河北邢台·三模）已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键 （1）由题意知，； （2）由题意知，，由的值与的值无关，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知， ． ∵的值与的值无关， ∴， 解得． 【变式4-3】（22-23八年级上·吉林长春·月考）试说明：代数式的值与x无关． 【答案】见解析 【分析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断． 【详解】证明：∵ 化简后的结果不含x， ∴代数式的值与x无关． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答此类题目的基本思路是：将所给的代数式逐项展开并合并同类项后，所得的结果为一个常数，即可得证． 1.（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A． ，正确，该选项符合题意； B． ，原计算错误，该选项不符合题意； C． ，原计算错误，该选项不符合题意； D． ，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法以及积的乘方、幂的乘方，熟练掌握上述运算法则是解题的关键． 2.（2022·浙江湖州·中考真题）下列各式的运算，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可． 【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、原计算错误，故该选项不符合题意； C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键． 3.（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 4.（2025·浙江·模拟预测）若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 5.（2023·浙江宁波·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6.（2020·浙江杭州·模拟预测）若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 7.（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算，先利用幂的乘方求出，再利用同底数幂除法的逆运算求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：3． 8.（2025·浙江杭州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 9.（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，先利用多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 10.（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值． 利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 11.（2015·浙江杭州·一模）记． (1)若均为整数，求证：当是的倍数时，能被整除； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）化简得，设（为整数），可得，进而即可求证； （）将代入，可得，即可求解； 本题考查了整式的乘法运算，配方法的应用，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴化简得，， ∵为整数，且是的倍数， ∴可设（为整数）， ∴， 又∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除； （2）解：将代入得， ， ∴的最小值为． 1.（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 2.（2025·浙江杭州·模拟预测）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 本题直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案； 【详解】解：A、，和不是同类项，不能进行计算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选：C； 3.（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，． （1）若，则 ； （2）若，则代数式的值是 ． 【答案】 7 42或252/252或42 【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可； （2）利用（1）中结论得出或，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可． 【详解】解：（1）∵m+n=3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m>n， ∴， ∴； （2） ， 由（1）得或 解得：或 当m=5，时， ∵， ∴， ∴m+p=2， ∴原式 ； 当，n=5时， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ； ∴代数式的值为42或252； 故答案为：①7；②42或252． 【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键． 4.（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… (1)写出第n个等式，并进行证明． (2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)可以，和 【分析】本题考查了整式的规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边证明即可． （2）令，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由，可得； 由，可得； 由，可得；…… ∴可推导一般性规律为：第n个等式是：； 证明：左边右边． （2）解：令， 解得，， ∴． 答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差． 5.（2025·浙江·模拟预测）已知． (1)求． (2)求当满足什么条件时，． 【答案】(1) (2)当或5时， 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程． （1）把代入，然后去括号合并同类项； （2）由得，然后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）由， 得． 化简，得． 解得， 当或5时，． 6.（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 本题可设，将原式转化为关于的表达式，然后通过因式分解化简式子，最后再将代入求解即可． 【详解】解：设， 原式 ， 设， 原式 ， 当时，原式． 7.（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】 ∵ ∴， 即． ∵比较小， ∴忽略不计， ∴， 即， 解得， 故 如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度： 将近似为估算； 从计算过程中发现，将近似为再估算． 【方案选择】 （1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或） 【近似计算】 （2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将近似为估算,根据提供的方法计算即可； 将近似为，根据提供的方法计算即可． （2）根据前面的解答求解即可． 本题考查了算术平方根的估算，完全平方公式的应用，解方程，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】(1) 解：将近似为估算如下： ∵，∴，即． ∵近似为， ∴， 即， 解得， 故； 解：将近似为估算如下： ∵，∴，即． ∵将近似为， ∴， 即， 解得， 故； ∵， ∴， 故的精确度更高， 故答案为：②． (2)解：将近似为估算如下： ∵，∴，即． ∵将近似为， ∴， 即， 解得， 故． 1.（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2.（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 3.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得， ； 故答案为 ． 4.（2025·江苏常州·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据幂的乘方求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 5.（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 6.（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7.（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 8.（2025·河北·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9.（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 10.（2025·福建·中考真题）已知整式，其中，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 【答案】(1)7 (2)5个，理由见解析 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）令和，分别得到，，得到，根据可知； （2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ， ∵为常数项， ∴， ； （2）解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴， ∵，， ∴都为自然数， ∴， ∴，或，或，或，， ∴，（舍去）或，或，（舍去）或，， 当，时， 则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 当，时， 则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 综上，满足条件的不同整式有：(个)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 5 03·考点解析·知识通关 6 04·命题洞察·题型预测 16 命题点一 代数式的概念 题型01列代数式 题型02正（反）比例 题型03代数式的实际意义 题型04求代数式的值 命题点二 整式的有关概念 题型01单项式的次数与系数 题型02单项式的规律题 题型03多项式的次数与系数 题型04同类项的判断 题型05已知同类项求未知数 题型06合并同类项 题型07去（添）括号 命题点三 整式的运算 题型01整式的加减法 题型02整式加减法的应用 题型03幂的基本运算 题型04幂的逆向运算 题型05整式的乘法 题型06整式运算的化简求值 题型07整式的除法 题型08乘法公式 命题点四 因式分解 题型01提公因式法因式分解 题型02公式法因式分解 题型03因式分解的综合方法 题型04因式分解的应用 05·重难突破·思维进阶 53 突破一 数字类规律探究 突破二 图形类规律探究 突破三 乘法公式与几何验证 突破四 整式运算中无关型问题 06·优题精选·练能提分 64 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式与整式的概念 / / 衢州卷T3 台州卷T2 宁波卷T4 借助现实情境了解代数式的概念，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定问题查阅资料找到所需公式；会把具体数代入代数式计算（求代数式的值）。 掌握代数式的书写规范。 理解整式的概念，明确 “单项式与多项式统称为整式”；区分单项式、多项式的概念： 单项式：了解 “数或字母的积”，掌握单项式的系数和次数。 多项式：了解 “几个单项式的和”，掌握多项式的项数（含常数项）、次数（次数最高项的次数），能将多项式按某个字母升幂 / 降幂排列。 明确 “分母含字母的式子不是整式”。 整式的运算 浙江卷T15 浙江卷T17 浙江卷T4 湖州卷T2.T11 嘉兴卷T17 金华卷T18 丽水卷T2 宁波卷T2.t17 衢州卷T16 绍兴卷T4 台州卷T4 温州卷T6 杭州卷T1 理解同类项的概念：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（仅系数不同或系数也相同）；掌握合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母及指数不变。 掌握去括号 / 添括号法则：①括号前是 “+”，去 / 添括号后符号不变；②括号前是 “-”，去 / 添括号后括号内所有项符号变号；③括号前有系数时，括号内所有项需乘该系数（避免漏乘）。 能进行简单的整式加减运算：整式加减的本质是 “去括号 + 合并同类项”，步骤为：①去括号（按法则）；②找同类项；③合并同类项（彻底，不遗漏）。 能运用整式加减解决简单实际问题（如求两个长方体纸盒的总面积、计算商品利润的整式表达）。 因式分解 浙江卷T3 浙江卷T11 金华卷T11 宁波卷T11 温州卷T11 杭州卷T3 绍兴卷T11 台州卷T11 了解因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。 掌握两种核心因式分解方法： 提公因式法：能找出多项式各项的公因式。 公式法：了解平方差公式、完全平方公式的几何背景，能直接运用公式分解： 掌握因式分解的一般步骤：①先提公因式；②无公因式或提公因式后，再用公式法（二次三项式优先尝试公式法，不行则暂不要求复杂方法）；不要求分组分解法（部分教材隐去名称，仅作初步综合）。 命题预测 浙江省近三年中考数学中，代数式与整式概念、整式运算、因式分解以基础题为主，常与几何、二次函数等跨模块融合，题型稳定（选择、填空、解答），侧重运算能力与实际应用能力考查。代数式与整式的概念：多间接考查（如同类项、单项式系数 / 次数判断），单独分值 2-3 分，无单独概念解答题。整式的运算：必考解答题（化简求值），搭配 1 道选择 / 填空题（幂的运算正误判断），合计分值 6-8 分，是三个考点中占分最高的核心考点。因式分解：多以填空题形式单独考查（提公因式 + 公式法），单独分值 3 分，另在分式化简、二次函数解题中含 1-2 分隐藏辅助分。26年中考整式运算仍是重中之重，解答题会延续 “平方差 + 完全平方公式 + 整体代入” 的组合，可能结合图形面积计算设计情境；因式分解聚焦二次式分解（提公因式法 + 平方差 / 完全平方公式），可能在二次函数解析式求解中辅助考查；代数式与整式概念多结合浙江本土情境（如科技发展、乡村振兴）考查数量关系表达，侧重单项式 / 多项式的基础属性判断，难度无大幅提升；题型保持 “1 道选择（概念 / 幂运算）+1 道填空（因式分解）+1 道解答（化简求值）” 的稳定组合，侧重基础运算准确性与灵活应用能力。 考点一 代数式与整式的概念 1．代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2．代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做 3．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。 4．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数（要包括前面的符号）； 单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数（只与字母有关）。 5．多项式：几个单项式的和叫多项式。 6．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 7． （整式是代数式，但是代数式不一定是整式）。 代数式的值. 1.（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2.（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 3.（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 4.（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 5.（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 6.（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 7.（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    考点二 整式的运算 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序无关）。 2．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 3．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 4．整式的加减 ① 整式的加减其实就是合并同类项； ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号． 5．幂的运算 幂 的 运 算 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝ 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n 6．整式的乘法 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． 7．整式的除法 ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m. 8．乘法公式 ①平方差公式： （1）符号表述： （2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； （3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； ②完全平方公式： （1）符号表述：两数和的完全平方公式，两数差的完全平方公式 （2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 （3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； 1.（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·浙江湖州·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·浙江湖州·中考真题）计算： ． 4.（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 5.（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 6.（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 7.（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 考点三 因式分解 1．因式分解 ①概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。 ②因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。 ③因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。 2．因式分解的常见方法 ①公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0） ③用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式） ④用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。 因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。 1.（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 2.（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 3.（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ． 4.（2024·浙江·中考真题）因式分解： 5.（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 6.（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 命题点一 代数式的概念 ►题型01 列代数式 【典例1】（2024·浙江·模拟预测）如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）某地年、年、年的森林面积（单位：）分别是，，，若年与年森林面积增长率相同，则，，满足的数量关系为 ． 【变式1-2】（2024·浙江杭州·二模）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示， 甲种糖果 乙种糖果 单价（元/千克） 【变式1-3】 【变式1-4】 千克数 将这千克甲种糖果和千克乙种糖果混合成什锦糖果，则混合什锦糖果的单价为 元/千克（用含和表示）． 【变式1-5】（2024·浙江衢州·一模）篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某次比赛甲球队赢了场，输了场，积20分．若用含的代数式表示，则有 ． 【变式1-6】（2021·浙江·一模）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 元． ►题型02 正（反）比例 【典例2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）下列关系中，与成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北衡水·月考）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是 ． ①车间计划加工800个零件，加工所需天数与每天加工的零件个数； ②社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数； ③圆柱体的体积为，圆柱的底面积与高； ④计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）变量、的关系如图所示，若、成反比例关系，则的值为 ． 【变式2-3】 【变式2-4】 【变式2-5】 ►题型03 代数式的实际意义 【典例3】（2024·河北唐山·模拟预测）某班选举班干部，全班每1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，．老师规定：同意某同学当选的记“”，不同意（含弃权）的记“”． 如果令 表示第号同学同意第号同学当选，表示第号同学不同意第号同学当选， 其中，， ，； ， ， ，． 则，表示的实际意义是 （     ） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 【变式3-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【变式3-2】（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【变式3-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 ►题型04 求代数式的值 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）当时，整式的值为，则当时，整式的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 【变式4-1】（24-25九年级下·浙江杭州·月考）若，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·浙江·模拟预测）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】 （25-26九年级上·浙江台州·期末）若是方程的根，则的值为 ． 【变式4-5】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）若，，则代数式 ． 命题点二 整式的有关概念 ►题型01 单项式的次数与系数 【典例1】（2023·浙江衢州·二模）单项式的系数是（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）单项式的次数是 ． ►题型02 单项式的规律题 【典例2】（25-26七年级上·吉林·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2026个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）按一定规律排列的单项式：，，，，．则第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，则第10个单项式是（   ） A． B． C． D． ►题型03 多项式的次数与系数 【典例3】（25-26九年级上·四川成都·期中）对于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次三项式 B．它的常数项是5 C．它的一次项系数是 D．它的常数项是 【变式3-1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）多项式的次数是 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林长春·月考）多项式的次数是 ． ►题型04 同类项的判断 【典例4】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-1】（22-23七年级上·河北承德·期末）与是同类项的为（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-2】（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． ►题型05 已知同类项求未知数 【典例5】（25-26九年级上·四川成都·期中）若与是同类项，则的值为 ． 【变式5-1】（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）已知与是同类项（，，均不为0），若，则的值是 ． 【变式5-2】（2024·广东·模拟预测）若与是同类项，则 ． 【变式5-3】（25-26九年级上·吉林·开学考试）若与的和是单项式，则的值为 ． ►题型06 合并同类项 【典例6】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·广西钦州·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型07 去（添）括号 【典例7】（2025·河北·模拟预测）下列各式从左向右变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·河北秦皇岛·一模）与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·江西南昌·模拟预测）化简： ． 【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 命题点三 整式的运算 ►题型01 整式的加减法 【典例1】（2025·陕西西安·模拟预测）下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 整式加减法的应用 【典例2】（2026·江西·模拟预测）新考法数形，结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为S，周长和为C，则下列关于S和C的说法正确的是（    ） A．S和C均为定值 B．只有S为定值 C．只有C为定值 D．S和C均不为定值 【变式2-1】（2024·安徽·模拟预测）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： (1)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和． (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【变式2-2】（2026·广西钦州·模拟预测）【综合实践】 【活动主题】探究包装盒的打包方式． 【活动背景】同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【活动素材】如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． 任务一： （1）图①中打包带的总长＝______；（用含、、的代数式表示，并化简) 图②中打包带的总长＝______；(用含、、的代数式表示，并化简） 任务二： （2）已知一个箱子的长，宽，高，若按照图①的方式打包，请计算打包带的总长； 任务三： （3）根据你的分析，试判断哪种打包方式所用打包带更短？ 【变式2-3】（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． ►题型03 幂的基本运算 【典例3】（2026·江苏苏州·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·新疆·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·陕西西安·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·全国·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型04 幂的逆向运算 【典例4】（2023·广东东莞·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【变式4-1】（2021·浙江杭州·模拟预测）若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 【变式4-2】（2022·湖南邵阳·一模）等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ． 【变式4-4】（24-25九年级下·广东佛山·开学考试）若，．则的值为 ． 【变式4-5】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． ►题型05 整式的乘法 【典例5】（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【变式5-1】（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2022·江苏镇江·模拟预测）计算． (1)； (2)； (3)． ►题型06 整式运算的化简求值 【典例6】（2026·广西钦州·模拟预测）化简求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式6-1】（2024·广东江门·二模）已知，． (1)计算：（结果用含x，y的式子表示）； (2)当，时，求的值． 【变式6-2】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中， 【变式6-4】（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式6-5】（2025·陕西汉中·模拟预测）先化简，再求值，其中 【变式6-6】（2025·陕西咸阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． ►题型07 整式的除法 【典例7】（2025·山东青岛·模拟预测）计算的结果为（     ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·重庆·模拟预测）计算： 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·二模）化简：． ►题型08 乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【典例8】（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【变式8-1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 ． 【变式8-2】（2021·上海·一模）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 【变式8-3】（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【变式8-4】（2025·江苏·一模）化简：． 命题点四 因式分解 ►题型01 提公因式法因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 【典例1】（2025·江西新余·二模）分解因式： ． 【变式1-1】（2026·全国·模拟预测）因式分解： ． 【变式1-2】（2025·福建漳州·三模）分解因式： ． 【变式1-3】（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． ►题型02 公式法因式分解 【典例2】（24-25九年级上·广东湛江·月考）分解因式： ． 【变式2-1】（2013·江苏泰州·二模）分解因式： ． 【变式2-2】（2016·广西桂林·中考真题）分解因式： ． 【变式2-3】（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式： ． ►题型03 因式分解的综合方法 【典例3】（2022·山东东营·三模）因式分解： ． 【变式3-1】（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 【变式3-2】（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ． 【变式3-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： 【变式3-4】（2025·广西来宾·三模）因式分解： ． 【变式3-5】（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． ►题型04 因式分解的应用 【典例4】（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则 ． 【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·湖南益阳·模拟预测）阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ； 问题②：方程的正整数解是 ． 【变式4-3】（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 【变式4-4】（2020·浙江杭州·模拟预测）若x满足，求的值． 解：设，则，， 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【变式4-5】（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如： ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 突破一 数字类规律探究 【典例1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）高斯上小学时，一天，数学老师布置了一道题，，这样从1一直加到100等于多少？高斯很快就算出了答案．他是按如下方法计算的： ， ， ． 如果采用高斯的算法，给出以下连续偶数： 2， 4，6， 8，10，…，198， 200． 则它们各项的和为（   ） A．5050 B．10020 C．10100 D．10200 【变式1-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）已知：，，，……，若（，都是正整数），则 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽宣城·月考）观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 (1)第4个等式：________； (2)写出第2025个等式：________； (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 突破二 图形类规律探究 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2026个“H”需要棋子（   ） A．10127个 B．10130个 C．10132个 D．10135个 【变式2-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 【变式2-2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（   ） A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚 【变式2-3】（2025·浙江杭州·二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个． 突破三 乘法公式与几何验证 【典例3】（2022·浙江杭州·一模）边长分别为a和b（其中）的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2ab C． D． 【变式3-1】（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 【变式3-2】（20-21八年级上·河南新乡·月考）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2) (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，若，，则 ； (3)拓展应用：若，求的值． 【变式3-3】（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 突破四 整式运算中无关型问题 【典例4】（2025·河北邯郸·二模）已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 【变式4-1】（2025·广东·一模）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【变式4-2】（2024·河北邢台·三模）已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 【变式4-3】（22-23八年级上·吉林长春·月考）试说明：代数式的值与x无关． 1.（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2022·浙江湖州·中考真题）下列各式的运算，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 4.（2025·浙江·模拟预测）若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 5.（2023·浙江宁波·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6.（2020·浙江杭州·模拟预测）若，，则 ． 7.（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ． 8.（2025·浙江杭州·一模）计算： ． 9.（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中． 10.（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中 11.（2015·浙江杭州·一模）记． (1)若均为整数，求证：当是的倍数时，能被整除； (2)若，求的最小值． 1.（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2.（2025·浙江杭州·模拟预测）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，． （1）若，则 ； （2）若，则代数式的值是 ． 4.（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… (1)写出第n个等式，并进行证明． (2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 5.（2025·浙江·模拟预测）已知． (1)求． (2)求当满足什么条件时，． 6.（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 7.（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】 ∵ ∴， 即． ∵比较小， ∴忽略不计， ∴， 即， 解得， 故 如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度： 将近似为估算； 从计算过程中发现，将近似为再估算． 【方案选择】 （1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或） 【近似计算】 （2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示） 1.（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 3.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 4.（2025·江苏常州·中考真题）计算 ． 5.（2025·四川·中考真题）若，则 ． 6.（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 7.（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 8.（2025·河北·中考真题）计算： ． 9.（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10.（2025·福建·中考真题）已知整式，其中，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $