精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

绝密★启用前 黄梅县育才高级中学2026年1月月考 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式中恒成立是（ ） A. B. C. D. 4. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，绕点逆时针旋转得到,点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ） A. 25° B. 30° C. 45° D. 50° 7. 方程的实数解的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线相切于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在直角三角形中，⊥，为线段上一点，则下列说法正确有（ ） A. 不存在直角三角形，使得是，的等差中项 B. 若，，，则 C. 若，，是的内切圆在上的切点，则 D. 若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项 11. 设函数定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为_______． 13. 已知，，则__________． 14. 已知实数满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，为第二象限角． （1）求的值． （2）求值． 16. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 17. 已知函数，，且最大值为. （1）求常数的值； （2）求的最小值以及相应的值. 18. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的范围； （2）若，的最小值为，求实数的值； （3）若，，解不等式． 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）设，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 黄梅县育才高级中学2026年1月月考 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，求集合与集合的公共部分即可. 【详解】由，得，即， 所以， 故选：B. 2. 已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数在区间内的图像以及函数的图像，利用对称性即可求得的值. 【详解】由题意知，令，得， 令，，则，可得或，解得或， 令，可得，解得， 画出函数在区间内的图像以及函数的图像如下图所示， 由图可知，关于直线对称，关于直线对称， 所以. 故选：B. 3. 下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规律，逐个选项验证可得. 【详解】选项A，若为负值， 则， 显然错误； 选项B，只有当时才正确， 故不是恒成立，错误； 选项C， ， 但时无解，故错误； 选项D，恒成立，正确. 故选：D 【点睛】本题考查基本不等式，涉及基本不等式成立的条件，属基础题. 4. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，由共轭复数得，根据复数的除法及复数的几何意义计算即可求解. 【详解】复数，所以， 因为，故. 故选：A 5. 已知函数的单调减区间是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原函数可以看作由和复合而成，由复合函数的单调性求解. 【详解】令，则， 因为单调递增，时，单调递减， 所以由复合函数的单调性知单调递减， 故选：B 6. 如图，中，，绕点逆时针旋转得到,点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ） A. 25° B. 30° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可. 【详解】∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴旋转角度数是50°. 故选：D. 7. 方程的实数解的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用余弦函数与直线的交点个数就是所求方程实数解的个数即可得答案． 【详解】在同一坐标系中作余弦函数与直线的图象， 由图可知余弦函数与直线在内有四个交点， 即方程的实数解的个数是个． 故选：D 8. 若直线与曲线相切于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出关于的方程组即可求解. 【详解】由题意，则， 所以，解得，故ABC对，D错. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，则（ ） A B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法、指数函数和对数函数的性质逐个判断即可． 【详解】对于A，令，，，得，即，故A错误； 对于B，令，是减函数，又，所以，故B正确； 对于C，令，是减函数，又，所以，故C正确； 对于D，由C可知，则，即，故D正确． 故选：BCD． 10. 在直角三角形中，⊥，为线段上一点，则下列说法正确的有（ ） A. 不存在直角三角形，使得是，的等差中项 B 若，，，则 C. 若，，是的内切圆在上的切点，则 D. 若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A，根据正弦定理求解判断B，利用等面积法求得内切圆半径，然后利用向量法判断C，举出实例得到D正确. 【详解】对于A，，，，满足是，的等差中项，A错误； 对于B，直角三角形中，⊥，故， 由正弦定理可得， 又，，故，B正确； 对于C，设的内切圆为， 由三角形面积可知，则的内切圆半径， 由几何关系知，，，故，即， 所以，， 则，故C正确； 对于D，取，，则，， 故， 即存在直角三角形，使得是，的等比中项，故D正确. 故选：BCD. 11. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先定义一阶不动点，且得到二阶不动点包括两种情况，且证明出当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，A选项，找到一阶不动点，并画出函数图象，得到有且仅有一个二阶不动点；B选项，找到两个二阶不动点，不满足要求；C选项，单调递增，画出函数图象，找到仅有一个一阶不动点，即仅有一个二阶不动点，C正确；D选项，寻找到不止一个二阶不动点，D错误. 【详解】若，称为一阶不动点， 显然若，则满足，故一阶不动点显然也是二阶不动点， 若，则有，即都在函数的图象上，即上存在两点关于对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点， 下证：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价， 因为，若，因为单调递增，所以， 即，矛盾， 若，因为单调递增，所以，即，矛盾， 综上：当单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价； 由题意得：只需与直线的交点个数为1， A选项，，解得：，有且仅有1个根， 画出与的图象，如下： 显然上不存在两点关于对称， 综上：有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确； B选项，令，定义域为， 显然，则均为的二阶不动点，不满足要求，B错误； C选项，定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可， 令，整理得：， 令，则，单调递减， 再同一坐标系总画出两函数与图象，如下： 两函数只有1个交点，满足要求，C正确； 令，若或，有，即，无解， 若，有，即， 解得：，其中， 故舍去， 又，且， 故也二阶不动点，D错误； 故选：AC 【点睛】结论点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得. 【详解】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： 13. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先对，进行平方，得到，再根据的范围，即可求出. 【详解】解：， 又， ， . 故答案为：. 14. 已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，令，，则解得，代入化简整理，利用基本不等式求最值即可得出． 【详解】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，为第二象限角． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的值，根据的范围求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值计算，将各自的值代入计算即可求出值； （2）利用二倍角的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 ，为第二象限角， ， 则原式； 【小问2详解】 ，， ． 16. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）严格单调递减 【解析】 【分析】（1）由题意得，化简换元即可得解； （2）由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 【小问1详解】 由题意得， 化简得， 令，则，，当时，取得最小值， 由，解得或（舍去）， 即时，取得最小值， 又，所以点是在的“最近点”． 【小问2详解】 由题意得，， 令，，，， 所以在上单调递增，又， 所以，，，，，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，取得最小值，所以点， ，，， 所以在处的切线方程为：， 又， 所以存在点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； 【小问3详解】 设，， ，， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两个函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，所以，， 即，， 由，化简得， 即，因为，所以， 接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，， 即， ， 得， 即，所以，解得， 则，因为的任意性，则严格单调递减． 17. 已知函数，，且的最大值为. （1）求常数的值； （2）求的最小值以及相应的值. 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到；根据，结合最大值可构造方程求得的值； （2）根据可知当时，取得最小值，由此可得最小值和对应的的值. 【小问1详解】 ， 当时，，， 解得：. 【小问2详解】 由（1）知：，且当时，， 当，即当时，. 18. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的范围； （2）若，的最小值为，求实数的值； （3）若，，解不等式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域为，得到对恒成立，结合二次函数图象得到，解不等式即可得到答案； （2）令，结合对数函数的单调性，将的最小值为转化为的最小值为，即可求出； （3）利用对数函数的单调性，将不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【小问1详解】 对于函数，要使其定义域为，则对恒成立， 令，函数的图象开口向上，若对恒成立， 则，解得， 则实数的范围为. 【小问2详解】 当时，， 令， 因为在上单调递增，的最小值为3， 则的最小值为， 则，解得， 所以实数的值为. 【小问3详解】 当，时，， 不等式可化为，即 因为函数在上单调递减， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）设，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求，利用正弦函数的性质可求值域； （2）由（1）及已知可求，，结合范围，，可求，，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解． 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，取得最大值． 当，即时，取最小值． 函数在区间上的值域为． 【小问2详解】 ，， ，， ，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $