第27章相似 -图形研究（二）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 图形研究（二） 图形研究4 特殊四边形与相似 方法技巧：利用矩形、正方形的性质结合基本图形构造三角形相似解决问题. 1.如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在边AD,BC上,将四边形ABFE 沿EF 翻折,使点A 的对称点 P 落在CD 上,点 B 的对称点为G,PG 交BC 于点 H. (1)求证: (2)若 P 为CD 的中点,且,AB=2,BC=3,求GH 的长. 2.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线MP 交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形 ABCD 的面积为 ，正方形 MNPQ 的面积为 若BE=kAE(k>1),求 的值.(用含 k 的式子表示) 3.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O,AD=5,AC=8，延长BC 至点E，连接OE 交CD 于点 F.若 求 的值. 图形研究5 圆与相似(一)角角相似 方法技巧：利用圆的性质证角度相等，进而构造相似三角形解题. 类型一 构射影相似 1.如图，AB为半圆O的直径，点F 在半圆上，点P 在AB 的延长线上，PC 与半圆相切于点C，与OF 的延长线相交于点D，AC 与OF 相交于点E，且.DC=DE. (1)求证: (2)若OA=2OE,DF=2,,求 PB 的长. 类型二 构子母相似 2.如图,AB,BC 为⊙O的弦, 交BC的延长线于点D. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)AB 交OC 于点E,若AE=10,BE=6,,求⊙O 的半径. 类型三 构仿A 相似 3.如图, 内接于⊙O,AB 为⊙O的直径,点 D 在AB 的延长线上,连接CD，且 过点 B 作 ,交CD 于点E. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 B 是AD 的中点,且BE=3,求⊙O 的半径. 图形研究 6 圆与相似(二)A型相似 方法技巧：构造平行条件，进而得到 A型相似解决问题. 类型一 连半径→平行 1.如图,AB 是⊙O的直径,C 是⊙O 上异于A,B 的一点,连接AC,BC,点 D在BA 的延长线上，且 点 E 在DC的延长线上，且 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若 求AD的长. 类型二 作垂线→平行 2.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,连接AC,BC,过点C 作⊙O的切线交AB 的延长线于点D. (1)求证: (2)若BC=6,AB=10,求 BD 的长. 类型三 连垂弦→平行 3.如图，在 中， AE 平分 交BC 于点E,圆心O在AC上,经过点A,E 的⊙O分别交AB,AC 于点 D,F. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若BD=1,AC=6,求⊙O 的半径. 图形研究4 特殊四边形与相似 1.解:(1)∵∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°, 在矩形ABCD 中,∠1+∠3=90°,∴∠3=∠2, ∴△EDP∽△PCH; (2)∵四边形ABCD 是矩形, ∴CD=AB=2,AD=BC=3. ∵P 为CD 的中点, ∴DP=CP=1. 设EP=AE=x,则ED=3-x, 解得 ∵△EDP∽△PCH, 解得 2.解:过点 A 作AG∥BP,交 FE 的延长线于点G. ∵AG∥BP, ∴△AGE∽△BPE, 设AG=1,则BP=k. ∵∠NMP=∠AMG=45°, ∴AM=AG=1. ∵AN=BP=k, ∴MN=k-1, 3.解:取CD 的中点G,连接OG, ∴OG 是△ACD 的中位线, ∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ACD=∠ACB, 又∵ 又∵∠ACB=∠E+∠COE, ∴∠E=∠COE, ∴CE=CO=4, ∵OG 是△ACD的中位线, ∴OG∥AD∥BE, ∴△OGF∽△ECF, 又∵ 图形研究5 圆与相似(一)角角相似 1.解:(1)连接OC. ∵PC与半圆相切于点C， ∴∠DCE+∠ACO=90°, ∵OA=OC,DC=DE, ∴∠A=∠ACO,∠DCE=∠DEC, ∵∠DCE=∠DEC=∠AEO, ∴∠A+∠AEO=90°, ∴OD⊥AB; (2)设 OE=x,则 AO=2x,EF=OF-OE=x, ∴DE=DC=x+2,OD=2x+2, (舍去), ∵∠D+∠DOC=∠DOC+∠COP=90°, ∴∠D=∠COP, ∴△CDO∽△COP, 2.解:(1)连接OA. ∵AD∥OC, ∴∠AOC+∠OAD=180°, ∵∠AOC=2∠ABC=90°, ∴∠OAD=90°, ∴OA⊥AD, ∴AD 是⊙O的切线; (2)连接AC. ∵AO=CO 且∠AOC=90°, ∴∠ACO=∠CAO=45°, ∴∠ABC=∠ACE, ∴△AEC∽△ACB, ∴AC²=AE·AB=10×(10+6)=160, 即⊙O的半径为4 3.解:(1)连接OC. ∵AB 是⊙O的直径, ∴∠A+∠ABC=90°. ∵OB=OC, ∴∠ABC=∠OCB, ∵∠BCD=∠A, ∴∠BCD+∠OCB=90°, ∴OC⊥CD, ∵OC 为⊙O的半径, ∴CD 是⊙O 的切线; (2)∵B是AD的中点, ∴BD=AB=2OC=2OB, ∴OD=OB+BD=3OC, ∵BE⊥AD,∠OCD=90°, ∴△DBE∽△DCO, ∴DE=3BE=9, 即⊙O 半径为3 图形研究6 圆与相似(二)A型相似 1.解:(1)连接OC. ∵OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB, ∵∠DCA=∠ABC, ∴∠DCA=∠OCB. 又∵AB 是⊙O的直径, ∴∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠DCA+∠ACO=∠DCO=90°, ∴OC⊥DC, ∵OC 是半径, ∴DC 是⊙O的切线; ∴可设OA=OB=OC=2x,OD=3x. 又∵OC⊥DC,BE⊥DC, ∴OC∥BE, ∴△DCO∽△DEB, ∴2x=6, ∴x=3, ∴AD=OD-OA=x=3. 2.解:(1)连接OC. ∵CD 是⊙O的切线, ∴∠OCD=90°, ∴∠OCB+∠BCD=90°, ∵AB 为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠OCB+∠ACO=90°, ∴∠BCD=∠ACO. ∵OC=OA, ∴∠ACO=∠A, ∴∠BCD=∠A; (2)过点 B 作BH⊥CD 于点 H. 由(1)得∠BCH=∠CAB. 又∵∠BHC=∠ACB=90°, ∴△BHC∽△BCA, ∵OC⊥CD,BH⊥CD, ∴BH∥OC, ∴△BDH∽△ODC, 解得 3.解:(1)连接OE. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠OAE, ∵∠FOE=2∠OAE, ∴∠FOE=∠BAC, ∴OE∥AB. ∵∠B=90°, ∴OE⊥BC, ∴BC 是⊙O的切线; (2)连接DF 交OE 于点G. 设⊙O 的半径为R， ∵AF 是⊙O 的直径,OE⊥BC, ∴四边形BDGE 是矩形, ∴EG=BD=1,∠DGE=90°, ∴FG∥CE, ∴△OGF∽△OEC, 解得R=2或 ∴⊙O的半径为2或 学科网（北京）股份有限公司 $