精品解析：重庆大渡口区2025-2026学年第一学期八年级期末考试数学试卷

2025－2026学年度上期八年级（数学）期末质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14159 2. 小青坐在教室的第4列第3排，用表示，小明坐在教室的第2排第5列应当表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是 （ ） A. 5，12，13 B. 8，15，16 C. 9，16，25 D. 12，15，20 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 两个锐角之和为钝角 C. 两点之间，线段最短 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 下列各点在一次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 估算的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 8. 若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 9. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 设是整数，若的值分别为，下列说法： ①比大6； ②的值为0； ③的值为18． 其中正确的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 8的立方根是________． 12. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是__________． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_______． 14. 半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，长方体的底面长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从顶点开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm． 16. 如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为，且，则称为“二倍等和数”．规定．例如：，∵，∴是“二倍等和数”，则．若“二倍等和数”，则_____；若为“二倍等和数”，恰好能被整除，则的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____①_____，理由如下： （已知）， _____②_____（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， _____③_____（等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． _____④_____（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 19. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上找一点P，使得最小，请保留作图痕迹，并写出点P的坐标． 20. 如图，一块四边形的空地米，米，米，米． （1）连接，试判断的形状； （2）为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，若每铺设1平方米的草坪需要花费50元，则此块空地全部铺设草坪共需花费多少元？ 21. 某校为了了解八年级学生的长跑水平，该校对全体八年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取名男生和名女生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．），绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据： 名男生的长跑成绩分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 名女生中，长跑成绩在C组和D组的分别为，，，，，，，，． 分析数据： 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示 长跑成绩 平均数 中位数 众数 男生 女生 请根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，_____，并补全频数分布直方图； （2）根据以上数据，你认为八年级学生是男生的长跑成绩好还是女生的长跑成绩好？请判断并说明理由（一条理由即可）； （3）如果该校八年级共有名学生，请估计八年级长跑成绩不低于分的学生人数． 22. 某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 23. 如图1，在长方形中，，点在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动到点停止，的面积为，点的运动时间为． （1）直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象只有2个交点，则的取值范围为_____． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，当点在第二象限时，在轴有一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 25. 如图，在等边中，点分别是边上一点，． （1）如图1，过点作于点，且，，求的长； （2）如图2，若点是上的一点，连接交于点，且，以为边向右侧作等边，连接，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上一点，连接，以为边向右侧作等边，连接，当取最小值时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上期八年级（数学）期末质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14159 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，，3.14159都不是无限不循环小数，是无限不循环小数， 则是无理数， 故选：C 2. 小青坐在教室的第4列第3排，用表示，小明坐在教室的第2排第5列应当表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有序数对（用有序数对表示位置），熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键：在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作；注意：用两个数确定平面中一点的位置时，这两个数的排列是有前后顺序的，前后两个数代表的意义通常是不同的，因此不能将前后顺序颠倒． 根据“小青坐在教室的第4列第3排，用表示”，即可用有序数对表示出小明所在的位置． 【详解】解：小青坐在教室的第4列第3排，用表示， 小明坐在教室的第2排第5列应当表示为， 故选：． 3. 以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是 （ ） A. 5，12，13 B. 8，15，16 C. 9，16，25 D. 12，15，20 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】，A正确； ，错误； ，错误； 故选A 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 两个锐角之和为钝角 C. 两点之间，线段最短 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，角的分类，两点之间，线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、同位角只有在两直线平行时才相等，故原说法是假命题，不符合题意； B、两个锐角之和可能为钝角，直角，锐角，故原说法是假命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是真命题，符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法是假命题，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各点在一次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，如相等则点在一次函数的图象上，据此判断即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点在一次函数的图象上； 故选：． 6. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，需正确理解题意并转化为方程，根据数量关系列式即可． 【详解】解： “一人一个多一梨”：若每个老头分1个梨，梨的数量比人数多1，即 ， “一人两个少两梨”：若每个老头分2个梨，梨的数量比所需少2，即所需梨数 比实际梨数 多2，故 ，整理得 ， ∴方程组为：， 故选：C． 7. 估算的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算，将原式简化为，通过估算的范围，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故选：D． 8. 若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得中随的增大而增大，然后通过性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中随的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：． 9. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 10. 设是整数，若的值分别为，下列说法： ①比大6； ②的值为0； ③的值为18． 其中正确的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的应用，掌握知识点是解题的关键． 通过两两和的值确定四个整数分别为，1，2，3，然后逐一验证三个说法的正确性即可． 【详解】解：设，则， 根据是整数，两两相加共有6组，由的值分别为，且互不相等，可知：互不相等， 如：若，则必定会出现，即的结果会出现相等的值，由互不相等，可得； ∴，则， ∵两两相加共有6组， ∴，即， 验证：，成立， ∴当，时，符合题意， 由，得 为第二小和，为第二大和， ∴，， 由和，相减得 ， ∴， 由，得， 由，得， ∵， ∴，成立． ， ，， ∴，成立． 若，则， ∴， 则， 验证两两和：，符合． 若，则， ∴，非整数，舍去． ∴． ①，正确； ②，错误； ③，错误． ∴只有①正确． 故选B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 12. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标是0求出m的值，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标是， 故答案为： 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解决本题的关键是两函数图象的交点坐标就是对应方程组的解． 一次函数的图象交点坐标与对应的方程组的解之间存在着紧密的联系．两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个一次函数表达式组成的方程组的解． 【详解】解： 已知一次函数和图象相交于点． 所以方程组的解就是． 即方程组的解是． 故答案为：． 14. 半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，勾股定理，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ，， ， 中间空白部分的面积为， ∵以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为， 故答案为：1． 15. 如图，长方体的底面长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从顶点开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了长方体展开图、勾股定理，以及两点之间，线段最短，根据“两点之间，线段最短”，可得蚂蚁爬行的最短路径长就是线段． 【详解】解：根据题意，展开长方体，如图所示， ，， ． 故答案为：． 16. 如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为，且，则称为“二倍等和数”．规定．例如：，∵，∴是“二倍等和数”，则．若“二倍等和数”，则_____；若为“二倍等和数”，恰好能被整除，则的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义数字问题，整式化简，有理数运算，首先对于给定的，根据“二倍等和数”定义进行计算即可；设，则，又恰好能被整除，即可被整除，然后列出符合条件的“二倍等和数”，然后求其最大值与最小值的差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是“二倍等和数”， ∴， ∵为“二倍等和数”， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵恰好能被整除， ∴能被整除， ∵，，，即， ∴时，，则，故，不符合题意； 时，，则，故，即为； 时，，则，故，不符合题意； 时，，则，故，即为；或，故，不符合题意； 时，，则，故，即为； 时，，则，故，不符合题意；或，故，即为； 时，，则，故，不符合题意； ，，则，故，即为； 时，，则，故，不符合题意； ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____①_____，理由如下： （已知）， _____②_____（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， _____③_____（等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． _____④_____（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 【答案】①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： （已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④． 19. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上找一点P，使得最小，请保留作图痕迹，并写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示为所求： 此时点的坐标为． （2）4 （3） 解：如图所示，点P即为所求， 由图象可知，此时点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，再根据图象得出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 略 20. 如图，一块四边形的空地米，米，米，米． （1）连接，试判断的形状； （2）为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，若每铺设1平方米的草坪需要花费50元，则此块空地全部铺设草坪共需花费多少元？ 【答案】（1）直角三角形 （2）11700元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形； （2）根据求出四边形的面积，即可算出费用． 【小问1详解】 解：在中，，由勾股定理得：， ， ， （舍负）， ， ， ， 是直角三角形，即， 【小问2详解】 解： （平方米）． 费用：（元） 答：此块空地全部铺设草坪共需花费11700元． 21. 某校为了了解八年级学生的长跑水平，该校对全体八年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取名男生和名女生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．），绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据： 名男生的长跑成绩分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 名女生中，长跑成绩在C组和D组的分别为，，，，，，，，． 分析数据： 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示 长跑成绩 平均数 中位数 众数 男生 女生 请根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，_____，并补全频数分布直方图； （2）根据以上数据，你认为八年级学生是男生的长跑成绩好还是女生的长跑成绩好？请判断并说明理由（一条理由即可）； （3）如果该校八年级共有名学生，请估计八年级长跑成绩不低于分的学生人数． 【答案】（1），； 补全直方图如下： （2） 男生长跑成绩好，理由如下： 男生长跑成绩的平均数分大于女生长跑成绩的平均数分，男生长跑成绩的中位数分大于女生长跑成绩的中位数分， 男生长跑成绩比女生好； （3）估计人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、利用统计图获取信息的能力． （1）由扇形统计图可知，女生成绩在A组和B组的人数共有人，长跑成绩在C组和D组的成绩中共有人，由中位数的定义可知女生成绩按照从小到大的顺序排列第名是，第名是，所以女生成绩的中位数是；名男生的成绩中得分的人数最多，共有名学生得分，所以男生成绩的众数是；由男生的成绩可知男生成绩在D组的人数有人，补全频数分布直方图即可； （2）根据统计表中男生、女生成绩的平均数和中位数可知男生的长跑成绩较好； （3）调查的名学生中成绩不低于分的学生占，用样本估计总体，求出名学生中不低于分的大约有人． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，女生成绩在A组和B组的人数占总人数的， 女生成绩在A组和B组的人数有人， 女生成绩在C组和D组的人数共人， 女生成绩按照从小到大的顺序排列第名是，第名是， 女生成绩的中位数是； 名男生的成绩中得分的人数最多，共有名学生得分， 男生成绩的众数为； 男生成绩在D组的人数有人， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计八年级长跑成绩不低于分的学生人数有人． 22. 某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【答案】（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意得，根据m、n为正整数求出其整数解即可． 【小问1详解】 解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； 【小问2详解】 解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 23. 如图1，在长方形中，，点在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动到点停止，的面积为，点的运动时间为． （1）直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象只有2个交点，则的取值范围为_____． 【答案】（1） （2）列表： 1 2 4 6 3 6 5 如图，函数图象由两条线段组成： 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，已知函数经过的象限求参数范围，求一次函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分、两种情况，分别求出函数关系式； （2）根据（1）求得的函数关系式，画出函数图象，并写出一条性质即可； （3）设直线l∶，分别求出与第两段函数图象的交点，可得出b的范围，再根据直线与函数图象只有两个交点时，需同时满足上述两个条件，得出b的范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，，， 点F从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C运动，运动时间t（单位：秒），且． 当时，点F在上，设， 三角形的面积为： ． 当时，点F在上，则， 三角形的面积为： ． 综上，y与t的函数表达式为：．​​ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线l∶． 与第一段图象的交点（）： 解方程，得． 所以． 与第二段图象的交点（）： 解方程，得． 所以， 解得：． 直线与函数图象只有两个交点时，需同时满足上述两个条件，即b在和的公共范围内，故​． 当时，直线过点，与图象只有一个交点（该点同时属于两段）． 当或时，直线至多与一段图象有一个交点，总交点数不超过一个． 因此，所求b的取值范围为． 【点睛】​ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，当点在第二象限时，在轴有一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】（1）； （2）或； （3）符合条件点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，通过可求出点，从而求出，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出，设，然后分当在线段上时，，当在线段延长线上时，两种情况求解即可； （）先求，则可得，然后如图，当点在轴正半轴上时，如图，当点在轴负半轴上时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由直线可得，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴，解得：， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是直线上一动点， 设， ∴当在线段上时，， 则， ∴， 解得：， ∴； 当在线段延长线上时，， 则， ∴，解得：， ∴； 综上可得：当时，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由直线可得，当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在轴正半轴上时，过作，交延长线于点，过作轴，过作于点，过作于点，延长交轴于点，设与轴交于点， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点； 如图，当点在轴负半轴上时，过作，交延长线于点，过作轴，过作于点，交轴于点，过作于点，交轴于点，设与轴交于点， 同理可得：，直线解析式为， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴点； 综上可得：符合条件点的坐标为或． 25. 如图，在等边中，点分别是边上一点，． （1）如图1，过点作于点，且，，求的长； （2）如图2，若点是上的一点，连接交于点，且，以为边向右侧作等边，连接，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上一点，连接，以为边向右侧作等边，连接，当取最小值时，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） ；证明： 延长至，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求解； （2）延长至，使，证明，推出，再证明，推出，即可得到； （3）以为边作等边，证明和，得到是线段的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵当取最小值， ∴， ∵等边，， ∴，，， ∵， ∴， 以为边作等边，连接，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上， 当时，取得最小值，如图， 此时，点和点重合，记与交于点， ∵，， ∴， ∵，， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $