专题2.5 从力的做功到向量的数量积（高效培优讲义，7知识&10题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

专题2.5 从力的做功到向量的数量积 教学目标 1.通过物理 “功” 的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，掌握数量积的基本计算方法。 2.了解平面向量投影的概念，体会数量积与投影向量之间的关系。 3.掌握平面向量数量积的运算律与坐标表示，能熟练进行数量积的代数运算与坐标运算。 4.会利用数量积求向量的模、夹角，推导平面内两点间的距离公式，判断向量是否垂直。 5.能运用数量积的坐标形式，解决长度、角度、垂直等实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量数量积的概念、运算律及坐标表示。 （2）数量积的基本计算（代数形式、坐标形式）。 （3）利用数量积求向量的模、夹角，以及判断向量垂直。 2.难点 （1）数量积与投影向量的关系，以及投影向量的几何意义理解。 （2）数量积在复杂几何问题中的灵活应用（如结合图形求夹角、证明垂直）。 知识点01 向量数量积的定义 已知两个非零向量和，它们的夹角为或，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即 。规定：零向量与任一向量的数量积为 ，即。 （1）当时， ； （2）当时， ； （3）当； （4）当时，； （5）当时，。 【即学即练】 1．(23-24高一下·重庆第八中学校·期中)在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 2．(22-23高一下·山东青岛莱西·期中)在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 3．(23-24高二下·上海建平中学·)中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 又因为在中，，所以，所以为钝角， 若是钝角，则，则，即， 所以在中，“”是“是钝角”的充要条件， 故选：C. 知识点02 投影向量与投影数量（投影） 1. 如图1所示，已知两个非零向量和，作，，过点向直线作垂线，垂足为，得到在上的投影，称为 在上的投影向量 ，可表示为。称为投影向量的数量，也称为在方向上的 投影数量 ，可以表示为。 图1 图2 2. 向量数量积的几何意义：如图2所示，数量积等于的长度在方向上的投影数量的乘积，或的长度在方向上的投影数量的乘积。 【即学即练】 4．(25-26高二上·辽宁部分学校·)已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据投影数量的定义求解即可. 【详解】在上的投影的数量为． 故选：B. 5．(25-26高三上·四川凉山彝族·)已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 知识点03 数量积的运算律 1. （交换律）； 2. （结合律）； 3. （分配律）。 【即学即练】 6．已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为， 则， 所以. 故选：A. 7．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 知识点04 数量积的性质 （1） 若是单位向量，则； （2） 若是非零向量，则； （3），即；也可以记作； （4）； （5），当且仅当时等号成立。 【即学即练】 8．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 9．(24-25高一下·新疆部分校·)已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 知识点05 向量数量积的坐标表示 设向量，则，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积之和 。 特别地（1），即；（2），即（当且仅当与共线时取等号）。 【即学即练】 10．已知，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量的数量积的坐标运算直接可得. 【详解】 由，，且， 所以，得. 故选：C. 11．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得. 【详解】由，可得， 则. 故选：D. 知识点06 向量模长计算公式 1. 若，则。 2. 如果向量的起点坐标和终点坐标分别为，，那么。 3. 两点间的距离公式：若，则。 【即学即练】 12．(23-24高一下·河南南阳镇平县第二高级中学·月考)设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解. 【详解】由，，得，所以. 故选：B 13．(21-22高一上·北京第五十七中学·月考)已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算，结合模长的坐标运算求解即可. 【详解】由题意，解得，故. 故选：A 知识点07 向量夹角计算公式 设向量，为与夹角，则。 特别地。 【即学即练】 14．(24-25高一下·四川达州普通高中·期末)已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由已知，， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 15．(24-25高一下·山西运城·期末)设向量，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标计算向量夹角可得. 【详解】， 因为向量夹角范围为，所以与的夹角等于. 故选：A. 题型01 平面向量数量积的定义及辨析 【典例1】(24-25高一下·北京第五十五中学·月考)已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 【变式1】(23-24高一下·辽宁辽阳集美中学·月考)在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 【变式2】(22-23高一下·北京顺义区第一中学·月考)若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解. 【详解】一方面：由，可得，此时与共线; 另一方面：由与共线，可得或，此时有或， 即此时不一定成立. 结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】(22-23高一下·河南青桐鸣·)已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 题型02 求平面向量的投影数量或投影向量 【典例1】(24-25高一下·河北冀州中学·期中)已知向量与的夹角为，，，则在上投影向量的模为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上投影向量为， 又， 所以在上投影向量的模为1， 故选：A 【变式1】已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 【变式2】(23-24高一下·吉林普通高中G6教考联盟·期末)已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可 【详解】因为向量与向量夹角为，， 所以， 则在上的投影向量为 ， 故选：A. 【变式3】(23-24高一下·湖南株洲·期末)设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得为等边三角形，然后根据投影向量的定义求解即可, 【详解】由可知为中点，且为的外心， 所以， 所以为等边三角形，， 所以向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：C 【变式4】已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影数量为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两边同时平方，可求得，进而由可求向量在向量方向上的投影数量． 【详解】将两边同时平方， 可得，得， 故向量在向量方向上的投影数量为． 故选：A． 题型03 求平面向量数量积 【典例1】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨第六中学校·)向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 【变式1】(23-24高一下·河北雄安新区·期末)在平行四边形中，，，则（    ） A．-6 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量线性运算将向量表示出来，然后利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】. 故选：A. 【变式2】(24-25高一下·吉林吉林第四中学·月考)设和是互相垂直的单位向量，且，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【变式3】已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：A. 【变式4】(24-25高三上·辽宁丹东敬业实验高级中学·期中)已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 两边平方得， 所以，即. 故选：C 题型04 求平面向量模长 【典例1】(25-26高一上·北京第二十中学·期末)已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量模长的平方公式，然后代入计算. 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 【变式1】(24-25高一下·江苏连云港灌南县第二中学·)已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【变式2】(24-25高一下·浙江杭州上城区杭二东河·期中)已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 【变式3】(24-25高三下·河北青桐鸣联考·)已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用，可求模. 【详解】， 故． 故选：D． 【变式4】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·月考)已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 题型05 求平面向量夹角 【典例1】已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 【变式1】(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值. 【详解】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 【变式2】(24-25高一下·山东日照·期末)已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 【变式3】(24-25高一下·湖南永州·期末)已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的夹角计算公式即可求解. 【详解】由已知，，， 设则与的夹角为，则余弦值， 又因为，所以. 故选：C. 【变式4】(24-25高一下·安徽A10联盟·调研)若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得，， ， 所以，则与的夹角为. 故选：D. 题型06 运用向量数量积或模长求参数 【典例1】(22-23高一下·广东揭阳三校·期中)已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 【变式1】已知,若,则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将代入到中,展开后将,代入,即可得出选项. 【详解】解:由题知,,, , 则有 , . 故选:C 【变式2】已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【分析】由，可得，用坐标表示数量积，即得解 【详解】由 可得 ，因为，所以. 故选：D 【变式3】(20-21高二下·湖北鄂州·期末)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与同向，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】因为，则，由已知可得， 等式两边平方可得，则， 故与同向，所以，. 故选：A. 【变式4】若存在单位向量，满足，，则的值为（    ）． A．1 B．或1 C．0 D．1或0 【答案】D 【分析】把给定的两个等式两边平方，联立消去得关于k的方程，求解即得. 【详解】，是单位向量，则， ， 于是有，即，显然，则或1， 所以的值为为1或0． 故选：D 题型07 向量垂直与数量积关系的运用 【典例1】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 【变式1】(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又 ， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 【变式2】(22-23高一下·四川自贡·期末)已知非零单位向量的夹角为，若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用向量垂直的性质直接求解即可. 【详解】若与垂直， 则， 又单位向量的夹角为， 则，，， 所以，解得. 故选：D 【变式3】(22-23高一下·重庆渝东九校联盟·期中)已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算规则计算. 【详解】，即； 故选：D. 【变式4】(22-23高一下·湖南长沙A佳教育联盟·)点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用三角形中向量运算，先后判断出点是三角形重心，垂直平分，进而即可判断三角形形状. 【详解】因为，所以是的重心， 又， 所以垂直平分，所以为等腰三角形. 故选：A 题型08 运用坐标求向量数量积或模长 【典例1】(24-25高一下·云南曲靖陆良县·期末)已知向量，，则（   ） A．5 B．25 C． D．7 【答案】A 【分析】由向量减法运算、模的坐标计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 【变式1】已知向量，，则的模长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的坐标，进而求出其模. 【详解】由向量，，得， 所以. 故选：A 【变式2】(24-25高一下·北京中关村中学·期中)向量，，则（ ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】先利用向量的坐标运算求出的坐标，再由模长公式即可求解. 【详解】，， ，则. 故选：C. 【变式3】(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【详解】， . 故选：A. 【变式4】(24-25高一下·云南昭通普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟·期末)已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：B. 题型09 向量垂直的坐标表示及运用 【典例1】(25-26高二上·山东日照·)已知向量．若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直，数量积为0列式，可求的值. 【详解】因为，所以 . 故选：D 【变式1】已知平面向量，若，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示与向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 【变式2】(24-25高一下·山东济宁育才中学·期中)，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值. 【详解】， ， . 故选：D. 【变式3】(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用坐标法求解向量的数量积，若，则它们的数量积为0. 【详解】由，则,解得. 故选：B. 【变式4】(25-26高二上·湖南平高教育集团·期中)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】若，则， 因此可得，解得. 故选：D 题型10 向量数量积与坐标表示的综合运用 【典例1】(24-25高一下·江苏常州高级中学·期末)设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，则，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点， 如图，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， ， ， 可得， ∵，则， ∴. 故选：B. 【变式1】(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系：    则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 【变式2】(24-25高一下·河南实验中学·月考)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量中三点共线的判定方法和平面向量的模长得几何意义，得出模长最小时即为三角形的高，根据条件解三角形，再建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示，求出向量数量积的最小值. 【详解】设，化简得，即三点共线， 由的最小值为可知，的高为，如图所示， 因为，所以为等腰三角形， 在直角中，代入得，解得， 在中，，所以是以的等腰直角三角形， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且，， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【变式3】(24-25高一下·贵州六盘水水城区·)若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值. 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中， 则 ，其中， 因为，当时， 有最大值. 故选：D 【变式4】(24-25高一下·江苏锡东高级中学·)已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 1．(24-25高三上·天津河西区·期中)设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 2．(21-22高一下·山西太原·期中)给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断 【详解】由数量积的定义知， 对于①，若，则或，不一定成立，①错误 对于②，成立，②正确 对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误 对于④，，④正确 故选：B 3．(22-23高一下·黑龙江哈尔滨顺迈高级中学·月考)已知，为单位向量且与夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的几何意义：投影的计算公式，可得答案. 【详解】在方向上的投影向量. 故选：B. 4．(22-23高一下·江西萍乡·期末)已知平面向量与的夹角为，且，则在方向上的投影数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据数量积的几何意义，利用投影的计算公式，可得答案. 【详解】. 故选：A. 5．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 6．(24-25高一下·天津扶轮中学·月考)若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】. 故选：A. 7．设，是单位向量，若，则的值为（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律将展开，再结合单位向量的模长和向量垂直的性质进行计算. 【详解】 ， ， 是单位向量， ， . 故选：A 8．(24-25高一下·广东深圳·期末)若是夹角为的两个单位向量，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求出即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 9．(24-25高一下·辽宁沈阳同泽女子中学·月考)已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义和运算性质，化简条件，用模长表示夹角余弦值的函数，求出模长范围. 【详解】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以，因为，所以， 解不等式组，当时，解得. 故选：D. 10．(24-25高二上·湖北十堰郧阳区第一中学·开学考)已知平面向量满足,且 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长公式及数量积即可求出答案 【详解】平面向量满足，且 故选：C 11．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 12．已知，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，结合平面向量数量积的运算性质和定义可求出的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出向量与的夹角. 【详解】因为，且，则 ，所以， 因为，故，即向量与的夹角是. 故选：A. 13．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义可求得的值. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 则，解得. 故选：C. 14．(21-22高二上·云南临沧民族中学·期末)已知，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案. 【详解】， ， ， 故选：A. 15．已知向量，，，若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为， 所以，解得. 故选：B. 16．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)向量，若，则（　　） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：B. 17．已知平面向量，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的坐标运算即可求得. 【详解】. 故选：D. 18．(24-25高三下·湖北云学名校联盟·)已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得，进而求得. 【详解】因为，解得， 则， 则， 则 故选：A 19．(25-26高二上·贵州名校协作体·)已知，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】利用向量运算求出，根据模长公式得到三边相等. 【详解】因为，，所以, 因为，所以是等边三角形， 故选：A 20．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，，若与垂直，则（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算． 【详解】因为向量，，所以， 因为与垂直，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 21．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用坐标表示出向量，由向量垂直转化为数量积为零，代入求解. 【详解】因为，，则， 由，得，即， 所以，解得． 故选：C． 22．(25-26高三上·四川成都石室成飞中学·月考)已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平面垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】由，得， 解得. 故选：C 23．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 24．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（       ） A． B． C．11 D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量数量积运算可证，，由向量三角不等式可得，求出得解. 【详解】由题，，， 所以 ， 同理，， 由向量三角不等式，， 又， ，当且仅当与共线反向时，取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 25．(24-25高一下·福建泉州晋江第一中学·期中)已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 从力的做功到向量的数量积 教学目标 1.通过物理 “功” 的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，掌握数量积的基本计算方法。 2.了解平面向量投影的概念，体会数量积与投影向量之间的关系。 3.掌握平面向量数量积的运算律与坐标表示，能熟练进行数量积的代数运算与坐标运算。 4.会利用数量积求向量的模、夹角，推导平面内两点间的距离公式，判断向量是否垂直。 5.能运用数量积的坐标形式，解决长度、角度、垂直等实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量数量积的概念、运算律及坐标表示。 （2）数量积的基本计算（代数形式、坐标形式）。 （3）利用数量积求向量的模、夹角，以及判断向量垂直。 2.难点 （1）数量积与投影向量的关系，以及投影向量的几何意义理解。 （2）数量积在复杂几何问题中的灵活应用（如结合图形求夹角、证明垂直）。 知识点01 向量数量积的定义 已知两个非零向量和，它们的夹角为或，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即____________________________________。规定：零向量与任一向量的数量积为______，即。 （1）当时，____________； （2）当时，____________； （3）当； （4）当时，____________； （5）当时，____________。 【即学即练】 1．(23-24高一下·重庆第八中学校·期中)在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 2．(22-23高一下·山东青岛莱西·期中)在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 3．(23-24高二下·上海建平中学·)中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 投影向量与投影数量（投影） 1. 如图1所示，已知两个非零向量和，作，，过点向直线作垂线，垂足为，得到在上的投影，称为__________________，可表示为____________。称为投影向量的数量，也称为在方向上的____________，可以表示为____________。 图1 图2 2. 向量数量积的几何意义：如图2所示，数量积等于的长度在方向上的投影数量的乘积，或的长度在方向上的投影数量的乘积。 【即学即练】 4．(25-26高二上·辽宁部分学校·)已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 5．(25-26高三上·四川凉山彝族·)已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点03 数量积的运算律 1. （交换律）； 2. （结合律）； 3. （分配律）。 【即学即练】 6．已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 7．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 知识点04 数量积的性质 （1） 若是单位向量，则； （2） 若是非零向量，则； （3），即；也可以记作； （4）； （5），当且仅当时等号成立。 【即学即练】 8．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 9．(24-25高一下·新疆部分校·)已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 知识点05 向量数量积的坐标表示 设向量，则，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ____________。 特别地（1），即；（2），即（当且仅当与共线时取等号）。 【即学即练】 10．已知，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点06 向量模长计算公式 1. 若，则。 2. 如果向量的起点坐标和终点坐标分别为，，那么。 3. 两点间的距离公式：若，则。 【即学即练】 12．(23-24高一下·河南南阳镇平县第二高级中学·月考)设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 13．(21-22高一上·北京第五十七中学·月考)已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点07 向量夹角计算公式 设向量，为与夹角，则。 特别地。 【即学即练】 14．(24-25高一下·四川达州普通高中·期末)已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 15．(24-25高一下·山西运城·期末)设向量，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 题型01 平面向量数量积的定义及辨析 【典例1】(24-25高一下·北京第五十五中学·月考)已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】(23-24高一下·辽宁辽阳集美中学·月考)在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(22-23高一下·北京顺义区第一中学·月考)若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】(22-23高一下·河南青桐鸣·)已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 题型02 求平面向量的投影数量或投影向量 【典例1】(24-25高一下·河北冀州中学·期中)已知向量与的夹角为，，，则在上投影向量的模为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】(23-24高一下·吉林普通高中G6教考联盟·期末)已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一下·湖南株洲·期末)设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影数量为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型03 求平面向量数量积 【典例1】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨第六中学校·)向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【变式1】(23-24高一下·河北雄安新区·期末)在平行四边形中，，，则（    ） A．-6 B．6 C． D． 【变式2】(24-25高一下·吉林吉林第四中学·月考)设和是互相垂直的单位向量，且，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3】已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高三上·辽宁丹东敬业实验高级中学·期中)已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 题型04 求平面向量模长 【典例1】(25-26高一上·北京第二十中学·期末)已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·江苏连云港灌南县第二中学·)已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·浙江杭州上城区杭二东河·期中)已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】(24-25高三下·河北青桐鸣联考·)已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·月考)已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 题型05 求平面向量夹角 【典例1】已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·湖南衡阳第一中学·期末)已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·山东日照·期末)已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·湖南永州·期末)已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·安徽A10联盟·调研)若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型06 运用向量数量积或模长求参数 【典例1】(22-23高一下·广东揭阳三校·期中)已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知,若,则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 【变式3】(20-21高二下·湖北鄂州·期末)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式4】若存在单位向量，满足，，则的值为（    ）． A．1 B．或1 C．0 D．1或0 题型07 向量垂直与数量积关系的运用 【典例1】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】(22-23高一下·四川自贡·期末)已知非零单位向量的夹角为，若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(22-23高一下·重庆渝东九校联盟·期中)已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．-4 C． D． 【变式4】(22-23高一下·湖南长沙A佳教育联盟·)点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型08 运用坐标求向量数量积或模长 【典例1】(24-25高一下·云南曲靖陆良县·期末)已知向量，，则（   ） A．5 B．25 C． D．7 【变式1】已知向量，，则的模长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】(24-25高一下·北京中关村中学·期中)向量，，则（ ） A．4 B．8 C． D．16 【变式3】(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【变式4】(24-25高一下·云南昭通普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟·期末)已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 题型09 向量垂直的坐标表示及运用 【典例1】(25-26高二上·山东日照·)已知向量．若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式1】已知平面向量，若，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D． 【变式2】(24-25高一下·山东济宁育才中学·期中)，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式4】(25-26高二上·湖南平高教育集团·期中)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 题型10 向量数量积与坐标表示的综合运用 【典例1】(24-25高一下·江苏常州高级中学·期末)设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·河南实验中学·月考)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·贵州六盘水水城区·)若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 【变式4】(24-25高一下·江苏锡东高级中学·)已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 1．(24-25高三上·天津河西区·期中)设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(21-22高一下·山西太原·期中)给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．(22-23高一下·黑龙江哈尔滨顺迈高级中学·月考)已知，为单位向量且与夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．(22-23高一下·江西萍乡·期末)已知平面向量与的夹角为，且，则在方向上的投影数量是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 6．(24-25高一下·天津扶轮中学·月考)若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 7．设，是单位向量，若，则的值为（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 8．(24-25高一下·广东深圳·期末)若是夹角为的两个单位向量，则（    ） A． B．2 C． D． 9．(24-25高一下·辽宁沈阳同泽女子中学·月考)已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·湖北十堰郧阳区第一中学·开学考)已知平面向量满足,且 则 （    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 12．已知，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 13．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 14．(21-22高二上·云南临沧民族中学·期末)已知，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 15．已知向量，，，若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 16．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)向量，若，则（　　） A． B．1 C．3 D．4 17．已知平面向量，则（    ） A．1 B． C． D． 18．(24-25高三下·湖北云学名校联盟·)已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 19．(25-26高二上·贵州名校协作体·)已知，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 20．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，，若与垂直，则（   ） A．3 B． C．5 D． 21．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 22．(25-26高三上·四川成都石室成飞中学·月考)已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 23．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 24．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（       ） A． B． C．11 D． 25．(24-25高一下·福建泉州晋江第一中学·期中)已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $