2.5.3利用数量积计算长度与角度 教案-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

利用数量积计算长度与角度 【教学目标】 1．利用数量积计算长度. 2．利用数量积计算角度． 【教学重难点】 应用数量积计算长度与角度. 【教学过程】 一、旧知巩固 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （1）a·b＝x1x2＋y1y2； （2）a2＝x＋y，即|a|＝； （3）设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝； （4）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 二、合作探究 1．向量长度的计算 【例1】设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)． 求a－2b的坐标和模的大小． [思路探究] 利用向量的坐标运算求得a－2b的坐标表示，然后求模． [解] ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)， ∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)， ∴|a－2b|＝. 【母题探究】 将例1中的条件不变，若c＝3a－(a·b)b，试求|c|. [解] a·b＝1×0＋1×2＝2， ∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)， ∴|c|＝. 【规律方法】 求向量的模的两种基本策略 （1）利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. （2）坐标表示的运算，若a＝（x，y），则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，,于是有|a|＝. 2．向量夹角的计算 【例2】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： （1）a与b的夹角为直角； （2）a与b的夹角为钝角； （3）a与b的夹角为锐角． [解] a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ. （1）因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b＝0， 即1＋2λ＝0，所以λ＝－. （2）因为a与b的夹角为钝角， 所以cos θ＜0，且cos θ≠－1， 所以a·b＜0，且a与b不反向． 由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－， 由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向． 所以λ的取值范围为. （3）因为a与b的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b＞0且a，b不同向． 由a·b＞0，得λ＞－， 由a与b同向得λ＝2． 所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)． 【规律方法】 1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算． 2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为： （1）先利用平面