精品解析：广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期末检测 高二数学 2026.01 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2. 已知向量，若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量，再由向量垂直的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意向量， 因为向量与垂直， 所以. 故选：B 3. 记函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，再由即可计算得解. 【详解】由函数得导函数， 所以. 故选：A 4. 记为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】由题设列出关于的方程组求出即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 所以. 故选：C 5. 已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线离心率与渐近线的斜率得到关于的关系式，从而得解. 【详解】因为双曲线， 所以，则， 又，所以，则渐近线方程为． 故选：A. 6. 在等比数列中，已知，且，若，记数列的前项和为，则（ ） A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，由题设求出公比得到数列的通项公式，进而得到，则由分组求和法结合等比数列求和公式即可计算. 【详解】数列是等比数列，故，设等比数列的公比为q， 则由得，即，即，解得， 所以，所以， 所以 . 故选：D   7. 在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 8. 设为曲线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设过点的直线方程为，与抛物线联立求出韦达定理，由韦达定理求出点M的坐标，接着过点P作垂直准线并交准线于点Q，数形结合得到当且仅当三点共线时取得最小值为即可计算求解. 【详解】由题可设过点的直线方程为，且， 联立方程得， ∴，∴， 则，易知的焦点为，准线方程为， ∴如图，过点P作垂直准线并交准线于点Q， 则由图可知当且仅当三点共线时取得最小值为， 即， 所以当时，取得最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为1的正方体中，分别为线段的中点，设，则（ ） A. B. 可以作为空间中的一组基底 C. 若，则四点共面 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用空间位置关系的向量证明判断A，利用空间向量不共面的判定法则判断B，利用空间向量的共面定理判断C，利用空间向量加法的坐标运算判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，，， 因为分别为棱的中点， 所以，，， 对于A，由题意得，， 则，可得不成立，故A错误， 对于B，由题意得，，， 则，， 设，得到，此方程组无解， 则可以作为空间中的一组基底，故B正确， 对于C，因为，且， 所以四点共面，故C正确， 对于D，由题意得，， 则不成立，故D错误. 故选：BC 10. 在数列中满足，若数列单调递增，且数列单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推公式结合题设条件依次代入即可求解判断A；由前两项和单调性得到即可求解判断B；由结合递推式即可计算求解判断C；由结合求出的前2025项再累加即可求解判断D. 【详解】， 所以（舍去）或， 所以或， 因为数列单调递增，所以，故，故A正确； 因为，数列单调递增，且数列单调递减， 所以，故相邻两项，故B正确； 因为，， 所以，故C错误； 因为， 所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，直线，动点在上，且动点在圆上，则（ ） A. 圆心在一条定直线上 B. 若的最小值恰为，则 C. 当时，被圆截得的弦长可以为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的标准式求出圆心即可得解判断A；由题意得到到的距离为，由点到直线距离公式列等量关系计算即可得解判断B；由弦长公式得到，求证其不成立即可得解判断C；由题设分析得到即可列式求解判断D. 【详解】对于选项A，圆的标准方程为，， 所以圆心，圆心在定直线上，选项A正确； 对于选项B，若的最小值恰为，则到的距离为， ∴，解得，选项B正确． 对于选项C，当时，到直线的距离为， 此时，若被圆截得的弦长为， 则，即， ∵， ∴不可能成立，选项C错误： 对于选项D，当和圆有公共点时，即，解得， 此时显然存在动点使得， 当和圆没有公共点时，易知， 欲使最大，则需与圆相切于，且与圆相切于，如图所示， 显然， 当时，最短，即最大，∴也最大，即最大， 若，则，解得， ∴，解得或， 综上所述，，选项D正确， 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件即可计算求解. 【详解】直线即， 若，则. 故答案为：2 13. 若直线与椭圆交于两点，且，则的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将代入椭圆求出即可分析计算求解离心率. 【详解】将代入椭圆得. 所以，即， 所以，则的离心率为. 故答案为： 14. 已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】求出，即可计算求解c；由c得到以及，进而消元得到，接着构造，由b的范围和以及的单调性即可分析求解. 【详解】由题可知， ∴， 令， 又， ∴， ∴，∴； ∵，∴， 且， ∵，且由，及，可知， ∴令函数， 则，且易知为单调递减函数， ∴，即， 易知，∴的取值范围为． 故答案为：1；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解； （2）先设切点为求出切点处的切线方程，代点求出切点即可求解切线方程. 【小问1详解】 易知，所以切线斜率为 ∴函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由题，∴，设切点为， ∴切线方程为， 又切线过点，∴， 即，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， ∴的方程为，或． 16. 已知过点的直线与抛物线交于两点，且． （1）求的值； （2）点的坐标为，且，求的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，联立直线与抛物线，可得到的值，进一步用表示出来，解方程可得答案； （2）用表示出来，代入的值，解方程可得答案. 【小问1详解】 显然直线的斜率非零，不妨设的方程为， 联立整理得， 易知，设， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， 则， ∴ ， ∴． 此时的方程为，即． 17. 如图，在四棱锥中，平面． （1）证明：； （2）若均在球的球面上，且球的表面积为． （i）求的长； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴为正三角形，即有， 在等腰梯形中，， 则， ∴，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴． （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）依次求证、，进而得到平面，即可求证； （2）（i）求证为的外接圆圆心且半径以及平面即可分析计算求解； （ii）方法一：过作于，求证为二面角的平面角， 并计算即可求解；方法二：建立适当空间直角坐标系，求出两平面法向量，由向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）∵，∴为等边三角形， ∴，即为四边形外接圆的圆心， ∴为的外接圆圆心，半径，且平面， ∵平面，∴，且， ∴球的半径， ∵，∴，∴， ∴． （ii）方法一：过作于， ∵平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为二面角的平面角， ∵，∴二面角的平面角的余弦值为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 方法二：如图所示，建立以为坐标原点，方向为轴正方向的空间直角坐标系， ∴，∴， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， ∴，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 18. 记数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）证明：； （3）若，现将中的第项，第项，第项，…，第项移除，余下的项按原顺序组成一个新的数列，记的前项和为．已知任意，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：由得，即数列为公比为2的等比数列， 所以， ∴， ∵当时，，∴， ∴，∴． （3） 【解析】 【分析】（1）分别由求出首项和得到第二条递推式与原递推式作差求出通项，再检验即可求解； （2）先由得，再计算分析即可得证； （3）由数列的特性分析得到和，接着计算、，代入恒等式分析即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，，① 又，② 由②①可得，即，③ 当时，亦满足③式，∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得数列为…， ∴数列的奇数项构成以6为首项，公比为8的等比数列； 偶数项构成以12为首项，公比为8的等比数列， 易知，且， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴若任意，即，∴，即的最小值为． 19. 已知椭圆的焦距为4，且的离心率为． （1）求的标准方程； （2）设的右焦点为，经过点且斜率非零的直线与交于两点，且在线段上． （i）证明：直线的斜率之和为0； （ii）若，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） （i）由（1）可知，设， 由得， ∵，∴或， ∴直线的斜率和为， ∵，∴直线的斜率之和为0． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的公式以及的关系即可求解； （2）（i）设，利用韦达定理以及两点斜率公式即可证明； （ii）由平面几何知识以及正弦定理可得，方法一：，利用三角恒等变换公式将转化为的方程即可求解；方法二；将两边平方结合三角恒等变换公式把方程转化为关于的方程即可求解. 【小问1详解】 由已知得， ∴，的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）设为坐标原点，则由（i）知，， 而， 而，∴． 设，则在中，由正弦定理，， ∵， ∴，即， （方法一）令，则，由， 两边平方可得， ∴，∴， ∴，显然，∴， 又，∴，即， 易知，即直线的斜率为． （方法二）∵， ∴等式两边平方，可得，即， ∴，∴， ∴，∴， ∴或（舍去），∴， 易知，即直线的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末检测 高二数学 2026.01 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 记函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 记为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 5. 已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，已知，且，若，记数列的前项和为，则（ ） A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023 7. 在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设为曲线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为1的正方体中，分别为线段的中点，设，则（ ） A. B. 可以作为空间中的一组基底 C. 若，则四点共面 D. 10. 在数列中满足，若数列单调递增，且数列单调递减，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆，直线，动点在上，且动点在圆上，则（ ） A. 圆心在一条定直线上 B. 若的最小值恰为，则 C. 当时，被圆截得的弦长可以为 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，若，则__________． 13. 若直线与椭圆交于两点，且，则的离心率为__________． 14. 已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 16. 已知过点的直线与抛物线交于两点，且． （1）求的值； （2）点的坐标为，且，求的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面． （1）证明：； （2）若均在球的球面上，且球的表面积为． （i）求的长； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 记数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）证明：； （3）若，现将中的第项，第项，第项，…，第项移除，余下的项按原顺序组成一个新的数列，记的前项和为．已知任意，求实数的最小值． 19. 已知椭圆的焦距为4，且的离心率为． （1）求的标准方程； （2）设的右焦点为，经过点且斜率非零的直线与交于两点，且在线段上． （i）证明：直线的斜率之和为0； （ii）若，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $