精品解析：江西吉安市吉安县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 （温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从不同方向观察几何体是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，可得如图形： 故选：B 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 3. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除以等可能发生的情况数即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种， 故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是， 故选：A． 4. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 图象关于原点对称 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．反比例函数图象的两个分支关于原点成中心对称．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形． 根据反比例函数的性质，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A：当时，，∴图象经过点，正确； B：∵，∴函数图象分布在一三象限，在每个象限内随增大而减小，故错误； C：反比例函数图象关于原点对称，正确； D：当时，，当时，随增大而减小，∴当时，，正确； 故选：B． 5. 小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由可得；由可得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比为， ∴面积比为， 故答案为：． 8. 用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即 ， ∴ ， 故答案： ． 9. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 680 850 “射中九环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，掌握频率与概率的关系是解题关键． 根据频率与概率的关系，当频数较大时，频率趋于稳定时的值约等于该事件发生的概率，直接通过表格得出结果即可． 【详解】解：由表格数据可知，“射中九环以上”的频率随射击次数增加逐渐稳定在附近， 故答案为：． 10. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，根据相似多边形的性质即可解题． 【详解】解：四边形与四边形位似， ，四边形与四边形相似， ， ， ， ， 四边形与四边形的周长比是， 故答案为：． 11. 如图，正方形的顶点在坐标轴上，点在上，点在函数的图象上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及求解一元二次方程等知识，设出点B、E的坐标，然后利用点B、E在反比例函数图像上，列出方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长是a，则， ∵点B在函数的图象上， ∴， 解得（负值舍去）， 设正方形的边长是b，则， ∵点E在函数的图象上， ∴， 解得（负值舍去）， 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，点E（不与点B重合）是边上一个动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，那么的长是_____． 【答案】或4或5 【解析】 【分析】由题意可知，，，延长交于H，设，根据矩形的性质得到，，，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，，延长交于H， 设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 中，， ∴， 解得或4． ∴或4． 当点F在边上时，四边形是正方形， ∴， 故答案为：或4或5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解一元二次方程：； （2）若反比例函数的图象经过点和，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和反比例函数，正确掌握一元二次方程的解法和反比例函数是解题的关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）把点和的横纵坐标代入，可得，，得，化简即可求解． 【详解】（1）解： ， 则，； （2）解：因为反比例函数的图象经过点和， 所以，，则， 所以，即，所以． 14. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量得知，求在图2闭合状态下点之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ， 又， ， ， ． 15. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 16. “少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张，抽到卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； （2）若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查“古典概型求单次抽取的概率”“列表法或画树状图法求概率”，理解抽取后再放回洗匀，属于放回型，正确列出表格或画出树状图是解题关键． （1）单次抽取，共有4种等可能的结果，根据公式求解即可； （2）放回型两次抽取，列出表格或树状图，分别求出甲胜和乙胜的概率，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知共有4种等可能的结果，故随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率为； 【小问2详解】 解：分别以卡片A，B，C，D代指卡片“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的卡片正面相同的情况有4种， ∴甲胜出的概率为， ∴乙胜出的概率为， ∵甲胜出的概率与乙胜出的概率不相等， ∴游戏不公平． 17. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 四、（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 吉安市开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育相关活动的核心博物馆及特色活动，吉安市博物馆开展常设庐陵文化与吉安革命历史相关陈列，展陈革命文物与史料．据了解，2025年10月份该基地接待参观人数万人，2025年12月份接待参观人数增加到万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2026年1月份的参观人数是多少？ 【答案】（1） （2）万人 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），根据题意列出方程是解题关键． （1）根据题意列出方程并求解即可； （2）根据（1）中的结果计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万人）， 答：预计1月份的参观人数为万人． 19. 项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．过点A作于点M，交于点，证明，得到，求出的长，即可得出城楼的高度． 【详解】解：如图，过点A作于点M，交于点， 由题意，得，，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 答：城楼的高度为． 20. 小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：下表是与的几组对应值，其中______________； .... −6 −4 −3 −2 2 3 4 6 .... .... 2 3 6 6 4 3 2 .... 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有_____________． ①函数图象分别位于一、三象限；②当时，随的增大而减小； ③函数图象关于轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线与图象的交点坐标为_____________，则不等式的解集为_____________． 【答案】（1）4；图像见解析 （2）③④ （3），或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）直接将代入函数求解即可，再通过表格中的数，在第二象限描点然后作图即可； （2）根据函数图象直接进行判断即可； （3）画出一次函数图象，求出两个函数交点，再数形结合可得到答案． 【小问1详解】 解：时，， 故答案为：4； 补充图象如图： 【小问2详解】 解：发现函数图象位于第一、二象限，故①错误； 当时，随的增大而增大，故②错误； 函数图象关于轴对称，故③正确； 函数值始终大于0，故④正确； 故答案为：③④ 【小问3详解】 解：在方格纸中画出直线如图： 有图象可知：交点坐标为：， 不等式的解集为：或． 故答案为：，或． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． （1）①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． （2）如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】（1）①四边形是菱形，理由见解析；②24 （2）8 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键． （1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论； ②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可； （2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可． 【小问1详解】 ①解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点H中点，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， 由中点的性质，可知， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， 由菱形的对称性可知，， ∴四边形的面积为； 【小问2详解】 解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质， ∴（1）中的结论仍成立， 由（1）可知，，， ∴四边形的面积为． 22. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可； （3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：m=﹣4或﹣2或2． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 六、（本大题共1题，共12分） 23. 【问题初探】 如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：． （1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明； 【类比分析】 （2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证； （2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证； （3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，证得，则可证得，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1， ， 在和中， （2）成立． 证明：如图2，过点作于，过点作于， ∵四边形为正方形， ∴平分， 又∵， ∴四边形是正方形， 在和中， （3）如图3，过点作于，过点作于，垂足分别为、， 则， ， 即 ， 【点睛】此题考查了四边形综合题，需要掌握正方形，矩形的性质，角平分线的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 （温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 3. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 图象关于原点对称 D. 当时， 5. 小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 无法确定 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A B. C D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的面积比是________． 8. 用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 9. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 680 850 “射中九环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为________． 10. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 11. 如图，正方形的顶点在坐标轴上，点在上，点在函数的图象上，则点的坐标是______． 12. 如图，在矩形中，，，点E（不与点B重合）是边上一个动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，那么的长是_____． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解一元二次方程：； （2）若反比例函数的图象经过点和，求的值． 14. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量得知，求在图2闭合状态下点之间的距离． 15. 如图，为菱形对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 16. “少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； （2）若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 17. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 四、（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 吉安市开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育相关活动的核心博物馆及特色活动，吉安市博物馆开展常设庐陵文化与吉安革命历史相关陈列，展陈革命文物与史料．据了解，2025年10月份该基地接待参观人数万人，2025年12月份接待参观人数增加到万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2026年1月份的参观人数是多少？ 19. 项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 20. 小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：下表是与的几组对应值，其中______________； .... −6 −4 −3 −2 2 3 4 6 .... .... 2 3 6 6 4 3 2 .... 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数说法，正确的有_____________． ①函数图象分别位于一、三象限；②当时，随的增大而减小； ③函数图象关于轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线与图象的交点坐标为_____________，则不等式的解集为_____________． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． （1）①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． （2）如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 22. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 六、（本大题共1题，共12分） 23. 【问题初探】 如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：． （1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明； 【类比分析】 （2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $