精品解析：江苏省海门市2025-2026学年高三上学期第二次调研测试数学试卷

2026届高三第二次调研测试 数学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出集合，再由交集定义利用列举法即可求得结果. 【详解】， 则为集合中满足的元素， 又， 所以时，集合中包含元素， 则, 故选：A 2. 已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知求得复数z，即可确定复数对应的点所在象限. 【详解】由可得， 则在复平面内复数对应的点为，位于第四象限 故选：D 3. 已知，是平面内的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积定义式，分别验证充分性和必要性即可得出结论. 【详解】充分性：设的夹角为，若，则或， 当时，， 当时，， 所以不能推出，即充分性不成立； 必要性：若，则， 因是非零向量，则，即， 此时，同向，满足， 所以可以推出，即必要性成立； 综上所述，”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 若将正方形沿对角线折成直二面角后，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折起以后平行关系发生变化可判断AB错误，利用线面垂直判定定理可证明平面，可得D正确，假设C选项中成立，可得出，这与矛盾，因此假设不成立，即C错误. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 易知在正方形中，折起后满足， 又因为折成的是直二面角，即， 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以， 对于A，若，则，显然这与矛盾，即A错误； 同理可得B错误； 对于D，又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以，因此D正确； 对于C，假设成立， 又因为，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 此时在中，，则可知为斜边，因此， 又因为折叠前后长度不变，这与矛盾，因此假设不成立，即C错误. 故选：D 5. 已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解． 【详解】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 6. 在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略）放置一个最大的球，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直三棱柱底面的内切圆半径，并比较此时圆的直径与直三棱柱的高的大小，求出能放置的最大的球的半径，可得其表面积. 【详解】易知所有棱长为2的直三棱柱底面是边长为2的正三角形， 因为边长为2的正三角形的内切圆半径满足, 解得； 因为球的直径要同时小于等于直三棱柱的高和底面内切圆的直径， 即且，所以球的最大半径为， 则球的表面积为. 故选：B. 7. 已知定义在上的奇函数，满足，，则（ ） A. 一定是奇函数 B. 一定是偶函数 C. 一定是奇函数 D. 一定是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法可得，再由表达式变换可得，即可得一定是奇函数. 【详解】依题意可知， 令，由，可得， 即，因此； 可得，也即， 将替换为可得， 所以，即一定是奇函数. 故选：C 8. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴，求出的长，设圆心为，，根据圆的性质可得，求出进而得到，根据列式，求解即可求出答案. 【详解】因为轴，则点的横坐标为， 代入双曲线方程， 解得点的纵坐标为（由题意舍去），即， 圆的圆心坐标为，半径为，则圆与轴相切， 如图，设圆心为，， 根据圆的性质可得， 在中，， 则， 在中，，所以， 又，则， 等式两边同时除以得，即， 解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的图象关于对称 D. 在上有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象变换性质，结合余弦型函数的单调性和零点逐一判断即可. 【详解】A：因为函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以，因此本选项说法不正确； B：， 所以在上单调递减，因此本选项说法正确； C：因为， 所以的图象关于对称，因此本选项说法正确； D：， 因为，所以令，所以在上有个零点， 所以本选项说法不正确. 故选：BC 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 是等差数列 B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据数列递推公式整理可得，即可判断；对于B，由A可得即，求解范围即可；对于C， 将代入 计算即可；对于D，由，将问题转化为证明通项，再通过逐项求和求解. 【详解】由，可得， 故数列是首项为，公差为的等差数列，故A正确， ，即，故B正确， ，， ，，故C错误， 设，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， ，即， ，用代替，则， 再令，可得，， ，则， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，是曲线：上任一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 任意，直线与曲线没有公共点 C. 为坐标原点， D. 任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用关于原点的对称点仍在曲线上判断A，联立直线方程和曲线方程后结合判别式的符号判断B，用表示后结合基本不等式可判断C，求出的最小值后结合基本不等式判断D. 【详解】对于选项A：对于任意点在曲线上，则, 点关于原点对称点坐标为,代入曲线方程， 得,即,与原方程一致， 所以曲线关于原点对称，选项A正确； 对于选项B：将代入曲线方程，可得，即， 当，方程式变为，无实根； 当，方程无实根， 所以对于任意，直线与曲线没有公共点，选项B正确； 对于选项C：,而，其中， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故不成立，故C错误； 对于选项D：即为， 设， 当时，，故 而， 故， 当且仅当时等号成立， 同理，当时，， 当且仅当时等号成立， 综上，D成立. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间，若，，则与的面积之比为_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义，求得，得到，求得直线的方程，进而求得和直线的方程，结合点到直线的距离公式，分别求得点和到直线的距离，进而得到答案． 【详解】因为抛物线C：，所以， 设，由，，且A在B与D之间， 则，解得，则， 所以，则， 所以直线的方程为，即， 令，则，所以， 所以，故直线的方程为，即， 所以点到直线的距离，点到直线的距离， 故， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将曲线绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，则实数a的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意得出直线与的图像至多只有一个交点，令，进而得出或，即可求解． 【详解】由题意可知，直线与的图像至多只有一个交点， 令，即， 令，则， 由题可得，或，即或在上恒成立， 又当时，，所以， 可得或， 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求A； （2）若，，求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，即； （2）法1：根据三角形中角的关系由已知条件可得，再由正弦定理计算可得; 法2：利用正弦定理将问题转化为边的关系，利用余弦定理联立方程组解得即可. 【小问1详解】 因为，依据正弦定理， 可得，即. 由余弦定理得，， 因为， 所以. 【小问2详解】 法1：因为，在三角形中，， 所以，即， 所以，所以. 因为，所以，即， 所以，即， 所以，所以. 由正弦定理得， 即. 法2：由正弦定理， 所以，即①； 由（1），即. 所以②； 联立①②，， 解得. 因为，所以取两根中的较小者，即. 16. 已知函数，. （1）若是的极小值点，求； （2）若存在，使，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可知，解得，代入并检验即可； （2）法1：将原命题否定可得在恒成立，探求成立的必要条件并证明即可； 法2：将不等式变形为有解的问题，构造函数，并求出在上的最大值为，可得结论； 法3：构造函数并求导，得出的最小值并使其小于零，结合不等式性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 因为是极值点，所以，即，， 此时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以是极小值点， 综上，. 【小问2详解】 法1： 研究命题的否定，即，， 所以，解得（成立的必要条件）， 下面证明：时，在恒成立. 因为， 令，则， 所以在递减，在递增， 所以，即证. 所以，使得，则. 法2： 由题意，有解， 令，所以， 设， 因为，所以在上单调递减，且. 所以，；，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 所以. 法3： 由题意，在有解， 令，则， ①当时，则，满足题意； ②当时，因为存在使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值. 因为，所以. 令，所以， 所以在上单调递减，且， 所以的解为. 因为，所以； 综上，. 17. 如图，在正四棱台中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，且正四棱台的外接球的表面积为. （i）求正四棱台的体积； （ii）设平面与交于点F，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:连接， 因为正四棱台，. 所以，； 因为为中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用线面平行判定定理即可证明； （2）（i）先求出正四棱台的外接球的半径，再通过线面平行的性质证明线线平行，最后利用体积公式即可求出； （ii）通过建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再运用公式即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接，交于点，连接. 因为正方形，所以； 因为，所以， 由正四棱台对称性得，， 所以为正四棱台的外接球的球心，设， 因为球的表面积为，所以. （i）延长，，，交于一点P， 连接，. 因为平面平面. 平面平面，平面平面. 所以； ，. 与交于点，则平面. 则，即； 所以 . （ii）法1：连接交于. 所以平面，且，即F与重合， 所以即为直线. 如图，以为正交基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 则中点. 所以，，. 设平面的一个法向量为. 所以，即， 令，则，， 所以. 所以， 所以直线与平面的所成角的正弦值为. 法2：取中点，连接. 因为，， 所以， 因为平面，在平面. 所以. 所以F与重合.下同法1建系或利用综合法求解. 18. 已知数列的前项和为，，，其中，. （1）求证：数列是等比数列. （2）若数列满足，，. （i）求数列的通项公式； （ii）已知，，设，试判断是否存在，，使得，，，成等差数列，若存在，求出所有m，n的值：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明:由， 当时，，即，解得， 当时，，则， 即，即， 所以数列是首项为，公比为等比数列 （2）（i）,（ii）存在，，使得，，，成等差数列，且，. 【解析】 【分析】（1）通过求首项，作差得递推关系，证明等比数列； （2）（i）通过求首项，作差得递推式，累乘法求通项；（ii）先得到，再由等差数列条件列方程，试值得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由， 当时，，因为，所以， 当时，， 则，即， 由累乘法得到， 显然也符合上式，所以. （ii）由（1）知，则， 则，解得，即，，故， 所以， 若存在，使得，，，成等差数列， 则，即， 化简得到， 因为存在，， 当时，，即， 因为函数为增函数，，， 所以无整数解， 当时，，即， 因为函数为增函数且， 所以有且仅有一个解 当时，由，得到 当时，， 解得，不符合题意， 当时，函数的增长速度远超过的增长速度， 则无解， 综上所述，存在，，使得，，，成等差数列，且，. 19. 在平面直角坐标系中，已知两点分别在x轴，y轴上运动，，点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）设是上一动点，过作两条直线，分别交于两点. （i）若的横坐标为1，的重心恰为原点，求直线的方程； （ii）若，的斜率互为相反数，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，再由以及向量共线可得E的方程； （2）（i）根据的横坐标为1，利用点差法并结合重心坐标求出直线斜率即可得出直线方程； （ii)根据斜率关系设出直线的方程，与椭圆方程联立并求出的面积表达式，再进行分类讨论并利用导数求出其单调性得出最值. 【小问1详解】 设，，因为，所以. 设动点，则，， 因为，所以 所以，. 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （i）因为在曲线上， 当时，.所以或. 当时，设，. 因为的重心为原点， 所以，即，. 因为，两式相减得. 所以，即直线的斜率为. 因为的中点为， 所以直线的方程为； 同理，当时，直线的方程为. （ii）考虑曲线对称性，不妨设 设直线，则.如下图： 联立，整理得， 所以，且, 所以, 同理，, 设直线的倾斜角为，则的倾斜角为, 当，则, 当，则, 所以的面积为 因为, 所以 因为, ①当，即时,, 设,其为偶函数， 当时，, 令，所以 所以在单调递减，在单调递增， 所以, 当且仅当，即处，此时. ②当，不妨设时，, 设,则, 所以在单调递减，在单调递增， 所以,当且仅当，即处，此时, 综上，的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二次调研测试 数学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，是平面内的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若将正方形沿对角线折成直二面角后，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略）放置一个最大的球，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数，满足，，则（ ） A. 一定是奇函数 B. 一定是偶函数 C. 一定是奇函数 D. 一定是偶函数 8. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的图象关于对称 D. 在上有2个零点 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 是等差数列 B. ， C. ， D. ， 11. 在平面直角坐标系中，是曲线：上任一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 任意，直线与曲线没有公共点 C. 为坐标原点， D. 任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间，若，，则与的面积之比为_____． 14. 在平面直角坐标系中，将曲线绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求A； （2）若，，求c. 16. 已知函数，. （1）若是的极小值点，求； （2）若存在，使，求的取值范围. 17. 如图，在正四棱台中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，且正四棱台的外接球的表面积为. （i）求正四棱台的体积； （ii）设平面与交于点F，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列的前项和为，，，其中，. （1）求证：数列是等比数列. （2）若数列满足，，. （i）求数列的通项公式； （ii）已知，，设，试判断是否存在，，使得，，，成等差数列，若存在，求出所有m，n的值：若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，已知两点分别在x轴，y轴上运动，，点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）设是上一动点，过作两条直线，分别交于两点. （i）若的横坐标为1，的重心恰为原点，求直线的方程； （ii）若，的斜率互为相反数，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $