专题11相交线寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题11相交线寒假预习讲义 · 认识相交线的定义，能从生活实例中抽象出相交线几何图形，明确交点的含义。 · 理解邻补角、对顶角的概念，掌握两类角的位置和数量特征，能在图形中准确识别。 · 探究并初步掌握对顶角相等的性质，尝试简单推导，能说出性质的核心依据。 · 会运用邻补角、对顶角的知识进行基础角度计算，解决简单的相交线角度问题。 · 初步感知几何图形的文字、图形、符号语言，尝试规范描述角的位置关系。 预习必备 知识点梳理 1.相交线的基础概念 2.相交线形成的两类特殊角(核心) 3.垂线的定义与性质(重点) 4.垂线段与点到直线的距离(难点) 常考题型 精讲精炼 1.垂线的定义深度解析 2.画垂线的步骤与技巧 3.垂线段最短的原理与应用 4.点到直线的距离:定义与计算 5.对顶角的定义与识别 6.对顶角相等的性质与证明 7.邻补角的定义与理解 8.快速找邻补角的方法 9.有邻补角互补求角度 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.相交线的基础概念】 两条直线相交：有且只有一个公共交点的两条直线，相交形成 4 个角，这 4 个角的和为360°，相邻两个角的和为180°。 【知识点02.相交线形成的两类特殊角】 1. 邻补角 定义：两条直线相交形成的角中，有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角。 图形特征：共顶、共边、另一边成 “直线状”（反向延长）。 数量关系：邻补角互补（和为 180°），如∠1 与∠2 是邻补角，则∠1+∠2=180°。 识别要点：同时满足位置关系（共顶、共边）和数量关系（互补），缺一不可。 补充：一个角有两个邻补角（相交线形成的 4 个角中，相邻的两个角均为其邻补角）。 2. 对顶角 定义：两条直线相交形成的角中，有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角（无公共边）。 图形特征：共顶、无公共边、两边成 “对顶状”（互相反向延长）。 核心性质：对顶角相等（几何计算高频考点），如∠1 与∠3 是对顶角，则∠1=∠3。 识别要点：仅由两条直线相交形成，三条及以上直线相交的角，不是对顶角。 【知识点03.垂线的定义与性质】 1. 垂线的定义 两条直线相交，若所成的四个角中有一个是直角（90°），则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 表示方法：直线 AB 与 CD 垂直，垂足为 O，记作AB⊥CD（读作：AB 垂直于 CD）， 几何符号：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°；反之，∵∠AOC=90°，∴AB⊥CD。 特殊说明：垂直是相交的特殊情况，只有相交且夹角为 90° 时，才称垂直。 2. 垂线的核心性质 性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 点的两种位置均成立：点在直线上（过垂足作垂线）、点在直线外（过线外一点作垂线）； 易错提醒：去掉 “同一平面内”，该性质不成立（空间中存在多条垂线）。 【知识点04.垂线段与点到直线的距离】 1. 垂线段的定义 过直线外一点作已知直线的垂线，这个点与垂足之间的线段，叫做该点到这条直线的垂线段。 关键区分：垂线是直线（无长度、无端点），垂线段是线段（有长度、两个端点）。 2. 垂线段的核心性质 垂线段最短：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短（几何最短路径考点）。 3. 点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 三大易错提醒： 1 距离是数量（有单位，如 cm、m），不是线段本身； 2 只有垂线段的长度能称为距离，非垂线段的线段长度，不能表示点到直线的距离； 3 点在直线上时，点到直线的距离为0。 【题型1.垂线的定义深度解析】 【典例】如图，点A，E，B在同一条直线上，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【跟踪专练2】下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 【答案】B 【分析】钟表上，时针每小时移动，每分钟移动；分针每分钟移动．垂直时，时针与分针的角度差为或（但最小角度为90°）．通过计算各时刻时针与分针的角度差，可判断是否垂直． 本题重点考查的是钟面角问题，明确某一时刻，分针与时针所成角的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 时针速度：，分针速度：． A、 时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； B、时整， 时针角度， 分针角度， 角度差，垂直，正确，符合题意； C、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； D、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2.画垂线的步骤与技巧】 【典例】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 【跟踪专练1】利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】根据垂直的定义即可解答． 【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确； 淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键． 【跟踪专练3】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【题型3.垂线段最短的原理与应用】 【典例】如图，在一次跳远测试中，的长度就是跳远的成绩，其中的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质．理解垂线段的性质是解题的关键． 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．利用垂线段最短的原理确定最合理的测量距离． 【详解】解：明确跳远测量的实际情况：在跳远运动中，运动员从起跳线起跳，落地点是一个不规则的位置，而我们要测量的是运动员从起跳线到落地点的距离，用来衡量跳远的乘积； 从起跳线（可看作一条直线）到落地点的连线中，过落地点向起跳线作垂线，垂足与落地点之间的线段（即）就是垂线段． 根据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．也就是说在从落地点到起跳线的所有可能连线中，垂线段的长短是最短的． 故答案为：垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 【跟踪专练2】阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图，需要在A、B两地和公路l之间修地下管道．请你设计一种最节省材料的修路方案： 小丽设计的方案如下： 如图，（1）连接AB； （2）过点A画线段AC⊥直线l于点C，所以线段BA和线段AC即为所求． 老师说：“小丽的画法正确” 请回答：小丽的画图依据是 ． 【答案】两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短（或垂线段最短） 【分析】根据线段的概念和垂线的性质即可求解． 【详解】由垂线段最短可知，点A到直线l的最短距离为AC，由两点之间线段最短可知，点B到点A的最短距离为AB． 故答案为：两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短（或垂线段最短）； 【点睛】本题考查线段的概念和垂线的性质，熟练掌握其概念和性质是解题的关键． 【跟踪专练3】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“垂线段最短”无关，故选项不符合； C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，故选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，故选项符合． 故选：D． 【题型4.点到直线的距离:定义与计算】 【典例】下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 【跟踪专练2】下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 【跟踪专练3】如图所示，已知，若，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ． 【答案】 4cm 2.4cm 【分析】根据点到直线的距离概念可得点到的距离为垂线段AC的长，设点到的距离为，依据三角形面积，即可得到点到的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到的距离为垂线段AC的长， 又∵， ∴点到的距离为4cm； 设点到的距离为， ， ， ， ∵，，， ， ， 故答案为：4cm；2.4cm． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出是解题关键． 【题型5.对顶角的定义与识别】 【典例】下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，逐一判定选项的正误即可． 【详解】解：A、两个角没有公共顶点，则与不是对顶角，不符合题意； B、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； C、的两边是两边的反向延长线，且与有公共顶点，则与是对顶角，符合题意； D、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，说法正确； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，根据对顶角相等，则②说法正确； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等，说法错误，两个角相等不一定是对顶角，则③错误； 综上正确的为：①②， 故选：C． 【跟踪专练2】已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 【题型6.对顶角相等的性质与证明】 【典例】如图，测角器测得工件的角度是40度，其测量角的原理是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】观察测角器测量角的情境，思考角的相关知识，利用对顶角性质来确定测量原理．本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ 测角器测量时，工件的角与测角器上显示度数的角是对顶角， ∴ 测角器测得工件的角度是40度，其测量角的原理是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等 ． 【跟踪专练1】的对顶角是，的邻补角是，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了邻补角的定义以及对顶角性质，得出是解题关键． 根据的邻补角是，得到，结合对顶角即可得到． 【详解】的邻补角是，， ， 的对顶角是， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 【题型7.邻补角的定义与理解】 【典例】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查邻补角的定义，解题的关键是掌握邻补角的定义即相邻两角和为． 【详解】解：由邻补角的性质得到：， ∴增加时，那么减少． 故选：C． 【跟踪专练1】和是邻补角，且比大，则 度， 度． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的性质：邻补角互补，即和为．也考查了一元一次方程的解法，根据邻补角性质列出方程是解题的关键．设，，根据和是邻补角列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，， 根据题意得， 解得． ． ，． 故答案为：；． 【跟踪专练2】如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 【题型8.快速找邻补角的方法】 【典例】如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，的邻补角是和， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 【跟踪专练2】如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 【题型9.由邻补角互补求角度】 【典例】如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与互为邻补角， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 根据，结合邻补角的定义可求出，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，且， ， 解得：， ， 故选：A． 【跟踪专练2】小明从A处向北偏东方向走到达B处，小亮也从A处出发向南偏西方向走到达C处，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查方位角的应用，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，再求出 则，即可解答． 【详解】解：如图所示，由题意，得   ，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，求出的度数是解决问题的关键；首先根据垂线的定义和已知条件求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据对顶角相等的性质即可得出所求； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 故选：． 1．如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算.掌握角的和差关系是解题的关键. （1）结合，，，即可求得答案； （2）结合，，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 3．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 4．如图，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，试说明街道是笔直的（即）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线、对顶角相等、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．先求出，，再根据角平分线的定义可得，，然后求出，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵两条笔直的街道，相交于点， ∴，， ∵街道，分别平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴街道是笔直的． 5．如图，直线是某天然气公司的主输气管道，点C、D是在异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设管道有以下两个方案： (1)方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中标出点P的位置； (2)方案二：取两个连接点M和N，使得点M到C小区铺设的支管道最短，使得点N到D小区铺设的管道最短在途中标出M、N的位置； (3)设方案一中铺设的支管道总长度为，方案二中铺设的支管道总长度为，则与的大小关系为_____ （填或）理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；垂线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接交直线l于点P，点P即为所求； （2）分别过C，D向直线l作垂线，垂足分别为M、N，如图，即为所求； （3）根据垂线段最短可得，则，即． 【详解】（1）解；连接交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短； （2）解：分别过C，D向直线l作垂线，垂足分别为M、N，如图，即为所求，依据是垂线段最短； （3）解：方案一中， 方案二中， ∵， ∴， 即，依据为垂线段最短． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11相交线寒假预习讲义 · 认识相交线的定义，能从生活实例中抽象出相交线几何图形，明确交点的含义。 · 理解邻补角、对顶角的概念，掌握两类角的位置和数量特征，能在图形中准确识别。 · 探究并初步掌握对顶角相等的性质，尝试简单推导，能说出性质的核心依据。 · 会运用邻补角、对顶角的知识进行基础角度计算，解决简单的相交线角度问题。 · 初步感知几何图形的文字、图形、符号语言，尝试规范描述角的位置关系。 预习必备 知识点梳理 1.相交线的基础概念 2.相交线形成的两类特殊角(核心) 3.垂线的定义与性质(重点) 4.垂线段与点到直线的距离(难点) 常考题型 精讲精炼 1.垂线的定义深度解析 2.画垂线的步骤与技巧 3.垂线段最短的原理与应用 4.点到直线的距离:定义与计算 5.对顶角的定义与识别 6.对顶角相等的性质与证明 7.邻补角的定义与理解 8.快速找邻补角的方法 9.有邻补角互补求角度 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.相交线的基础概念】 两条直线相交：有且只有一个公共交点的两条直线，相交形成 4 个角，这 4 个角的和为360°，相邻两个角的和为180°。 【知识点02.相交线形成的两类特殊角】 1. 邻补角 定义：两条直线相交形成的角中，有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角。 图形特征：共顶、共边、另一边成 “直线状”（反向延长）。 数量关系：邻补角互补（和为 180°），如∠1 与∠2 是邻补角，则∠1+∠2=180°。 识别要点：同时满足位置关系（共顶、共边）和数量关系（互补），缺一不可。 补充：一个角有两个邻补角（相交线形成的 4 个角中，相邻的两个角均为其邻补角）。 2. 对顶角 定义：两条直线相交形成的角中，有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角（无公共边）。 图形特征：共顶、无公共边、两边成 “对顶状”（互相反向延长）。 核心性质：对顶角相等（几何计算高频考点），如∠1 与∠3 是对顶角，则∠1=∠3。 识别要点：仅由两条直线相交形成，三条及以上直线相交的角，不是对顶角。 【知识点03.垂线的定义与性质】 1. 垂线的定义 两条直线相交，若所成的四个角中有一个是直角（90°），则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 表示方法：直线 AB 与 CD 垂直，垂足为 O，记作AB⊥CD（读作：AB 垂直于 CD）， 几何符号：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°；反之，∵∠AOC=90°，∴AB⊥CD。 特殊说明：垂直是相交的特殊情况，只有相交且夹角为 90° 时，才称垂直。 2. 垂线的核心性质 性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 点的两种位置均成立：点在直线上（过垂足作垂线）、点在直线外（过线外一点作垂线）； 易错提醒：去掉 “同一平面内”，该性质不成立（空间中存在多条垂线）。 【知识点04.垂线段与点到直线的距离】 1. 垂线段的定义 过直线外一点作已知直线的垂线，这个点与垂足之间的线段，叫做该点到这条直线的垂线段。 关键区分：垂线是直线（无长度、无端点），垂线段是线段（有长度、两个端点）。 2. 垂线段的核心性质 垂线段最短：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短（几何最短路径考点）。 3. 点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 三大易错提醒： 1 距离是数量（有单位，如 cm、m），不是线段本身； 2 只有垂线段的长度能称为距离，非垂线段的线段长度，不能表示点到直线的距离； 3 点在直线上时，点到直线的距离为0。 【题型1.垂线的定义深度解析】 【典例】如图，点A，E，B在同一条直线上，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【跟踪专练2】下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 【跟踪专练3】如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【题型2.画垂线的步骤与技巧】 【典例】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【跟踪专练1】利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【跟踪专练3】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3.垂线段最短的原理与应用】 【典例】如图，在一次跳远测试中，的长度就是跳远的成绩，其中的数学依据是 ． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图，需要在A、B两地和公路l之间修地下管道．请你设计一种最节省材料的修路方案： 小丽设计的方案如下： 如图，（1）连接AB； （2）过点A画线段AC⊥直线l于点C，所以线段BA和线段AC即为所求． 老师说：“小丽的画法正确” 请回答：小丽的画图依据是 ． 【跟踪专练3】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【题型4.点到直线的距离:定义与计算】 【典例】下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【跟踪专练2】下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图所示，已知，若，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ． 【题型5.对顶角的定义与识别】 【典例】下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【跟踪专练2】已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【跟踪专练3】下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【题型6.对顶角相等的性质与证明】 【典例】如图，测角器测得工件的角度是40度，其测量角的原理是 ． 【跟踪专练1】的对顶角是，的邻补角是，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【跟踪专练3】如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【题型7.邻补角的定义与理解】 【典例】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【跟踪专练1】和是邻补角，且比大，则 度， 度． 【跟踪专练2】如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【题型8.快速找邻补角的方法】 【典例】如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【跟踪专练1】如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【跟踪专练2】如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【题型9.由邻补角互补求角度】 【典例】如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明从A处向北偏东方向走到达B处，小亮也从A处出发向南偏西方向走到达C处，则的度数为 度． 【跟踪专练3】如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 3．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 4．如图，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，试说明街道是笔直的（即）． 5．如图，直线是某天然气公司的主输气管道，点C、D是在异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设管道有以下两个方案： (1)方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中标出点P的位置； (2)方案二：取两个连接点M和N，使得点M到C小区铺设的支管道最短，使得点N到D小区铺设的管道最短在途中标出M、N的位置； (3)设方案一中铺设的支管道总长度为，方案二中铺设的支管道总长度为，则与的大小关系为_____ （填或）理由是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $