专题03乘法公式（11大类型+30道期中压轴培优）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题03乘法公式（11大类型+30道期中压轴培优） 目录 类型一、平方差公式的使用条件 1 类型二、利用平方差公式进行求值 1 类型三、利用乘法公式计算整式的乘法 2 类型四、整式乘法的化简求值 2 类型五、已知完全平方公式求字母的值 2 类型六、利用完全公式的变形求值 3 类型七、平方差公式与几何图形 3 类型八、完全平方公式与几何图形 4 类型九、利用乘法公式求代数式的最值 6 类型十、乘法公式的规律探究问题 6 类型十一、乘法公式的新定义问题 7 《乘法公式》期中压轴培优30道 7 类型一、平方差公式的使用条件 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果能运用平方差公式进行计算，那么m、n满足的条件可能是（　　） ①；②；③；④； A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列不能用平方差公式运算的是（  ） A． B． C． D． 类型二、利用平方差公式进行求值 5．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，且，则 ． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）若，则 ． 7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中） ． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，则 ． 类型三、利用乘法公式计算整式的乘法 9．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 10．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 11．（23-24七年级下·江苏南京·期中）运用乘法公式计算： (1) (2) 12．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算 (1) (2) 类型四、整式乘法的化简求值 14．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 16．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 17．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）计算：． 18．（2024七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值：，其中， 类型五、已知完全平方公式求字母的值 19．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）已知是完全平方式，则m为（    ） A．6 B． C． D．12 20．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（    ） A．2或 B．或 C． D．或0 21．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若是一个完全平方式，则的值为 ． 22．（23-24七年级下·江苏常州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 （写出所有可能的值） 类型六、利用完全公式的变形求值 23．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，，则代数式的值为 ． 24．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知，，则 ． 25．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若x满足，则的值是 ． 26．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 类型七、平方差公式与几何图形 27．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（  ）    A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（     ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 30．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 类型八、完全平方公式与几何图形 31．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 32．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成个小长方形，然后按图形状拼成一个正方形．观察图，用等式表示出，和的数量关系 ． 33．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）数学课上，张老师准备了图①中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取_____张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为_____（用含a，b的代数式表示）； (2)选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为_____． (3)现有A，B，C型号卡片各8张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为_____； (4)选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形内（如图③），当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由． 34．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 类型九、利用乘法公式求代数式的最值 35．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 36．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法∶ 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 (2)多项式有最 （填“大”或“小”）值，该值为 (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 类型十、乘法公式的规律探究问题 37．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得： ________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： ________； (3)计算：＝________； (4)若，求的值． 38．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）观察下面的算式： ， ， ， ， …． (1)请你写出1个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 类型十一、乘法公式的新定义问题 39．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于任意有理数a、b，规定新运算，例如，所以． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)记，，判断M，N的大小关系，并说明理由． 40．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36_____“幸运数”；（填“是”或“不是”） (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2024是“幸运数”． 《乘法公式》期中压轴培优30道 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ） A．6 B．或8 C．或6 D．0 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若无论x取何值时，关于x的方程总成立，则的值是（    ） A．46 B．56 C．72 D．81 5．（19-20七年级下·江苏常州·期中）的计算结果的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）已知，长方形的长宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，那么（    ）. A．64 B．52 C．48 D．44 7．（22-23七年级下·江苏南京·期中）在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如果，那么的值为（      ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题 9．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 10．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 11．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为 ． 12．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，，则的值为 ． 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；……，则 ． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图①，已知点为的中点，连接，．将乙纸片放到甲的内部得到图②．已知甲、乙两个正方形边长之和为，图②的阴影部分面积为，则图①的阴影部分面积为 ．          15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．    16．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的代数式是完全平方式，则 17．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为 ． 18．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）由完全平方公式：可得，若，则的最大值为 ． 三、解答题 19．（23-24七年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 21．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式： ； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，将一张长方形硬纸板切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长宽分别是，的相同的小长方形，且． (1)用含，的代数式表示这张长方形硬纸板的总面积； (2)用含，的代数式表示这张长方形硬纸板的切痕总长； (3)若切痕总长为，每块小长方形的面积为，求阴影部分的面积． 24．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性． 观察下列各式： ； ； ； 我们发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是．我们可以用所学知识证明这个结论．这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 任务： (1)请根据上述规律计算：______；______． (2)请证明上述阅读材料中的结论． 25．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以：所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： ①若，则_______； ②若，则______； (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    26．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； （4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 27．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 28．（23-24七年级下·江苏常州·期中）综合与探究 [知识生成]我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数证等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． [直接应用] （1）若，求的值． [类比应用] （2）若，求的值． [知识迁移] （3）将两个完全相同的直角和直角，按如图2所示的方式放置，连接．其中，，点在同一直线上，点也在同一直线上．若，，则 ． 29．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．    (1)在学习乘法公式时，通过对图1的面积“算两次”得到．请设计一个图形说明成立；（画出示意图，并标上字母） (2)如图2，两个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长、、有什么数量关系吗？（注写出解答过程） (3)根据（2）中的结论回答，当，时，则的值为______． 30．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）小明在学习了苏科版数学七年级下册第九章的“数学活动”拼图公式后，又带了若干张边长为a的A型正方形纸板，边长为b的B型正方形纸板，长和宽分别为a与b的C型长方形纸板（如图1）到学校和同学进行拼图活动，用若干张这样的纸板可以拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图2可以得到：．小明成功的拼出了如图3的长方形（每两个纸板之间既不重叠，也无空隙）．请解答下列问题： (1)直接写出图3中所表示的数学等式 ； (2)小明又选取了2张A型纸板，5张B型纸板和11张C型纸板拼成了一个长方形，请你画出示意图（在对应边上标出字母a、b或者在对应区域标上A、B、C），并根据该图写出对应的乘法公式； (3)若图3中白色部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为30厘米，求图中阴影部分的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03乘法公式（11大类型+30道期中压轴培优） 目录 类型一、平方差公式的使用条件 1 类型二、利用平方差公式进行求值 2 类型三、利用乘法公式计算整式的乘法 3 类型四、整式乘法的化简求值 5 类型五、已知完全平方公式求字母的值 7 类型六、利用完全公式的变形求值 8 类型七、平方差公式与几何图形 10 类型八、完全平方公式与几何图形 13 类型九、利用乘法公式求代数式的最值 17 类型十、乘法公式的规律探究问题 19 类型十一、乘法公式的新定义问题 21 《乘法公式》期中压轴培优30道 24 类型一、平方差公式的使用条件 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式．运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、不存在相反数的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，符合平方差公式的要求，故此选项符合题意； C、不存在相同的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特征逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，不能利用平方差公式，故不符合题意； B、，能利用平方差公式，故符合题意； C、，能利用平方差公式，故符合题意； D、，能利用平方差公式，故符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果能运用平方差公式进行计算，那么m、n满足的条件可能是（　　） ①；②；③；④； A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】该题考查了平方差公式，解题的关键是熟悉平方差公式． 根据平方差公式即可解答． 【详解】解：当能运用平方差公式进行计算， 那么，此时，②正确； 或，此时，③正确； 故选：B． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列不能用平方差公式运算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用平方差公式及完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D 类型二、利用平方差公式进行求值 5．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形计算，代入求值的运用，根据题意分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 已知, ∴， ∴原式， 故答案为： ． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查代数式求值，根据平方差公式，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：3． 7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，平方差公式，利用非负性求出的值，利用平方差公式和整体思想，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 类型三、利用乘法公式计算整式的乘法 9．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方差公式展开即可． （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）； （2）． 【点睛】本题考查了乘法公式的运用，熟练掌握公式的展开形式是解题的关键． 10．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得； （2）利用完全平方公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了利用乘法公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键． 11．（23-24七年级下·江苏南京·期中）运用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式等知识点，准确运算是解题的关键；（1）将看成一个整体，运用平方差公式运算即可；（2）利用多项式乘以多项式运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据多项式乘多项式，完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式以及乘法公式，正确利用乘法公式是解题关键． （1）直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案； （2）利用平方差公式结合完全平方公式求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型四、整式乘法的化简求值 14．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式， 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 当，时，原式． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，乘法公式的应用，化简求值，掌握乘法公式的含义是解本题的关键； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，再把代入化简后的代数式计算即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，再把，代入化简后的代数式计算即可； 【详解】（1）解： ． 当时， 原式 ． （2） ． 当，时， 原式 ． 16．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．首先利用平方差公式和单项式乘多项式法则去括号、再合并同类项，得到最简式，把x、y的值代入最简式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ，， 上式， ， ． 17．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式及整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．（2024七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 类型五、已知完全平方公式求字母的值 19．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）已知是完全平方式，则m为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解∶∵是完全平方式， ∴， 故选∶C． 20．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（    ） A．2或 B．或 C． D．或0 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项分别为，则一次项为，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选：A． 21．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 故答案为：． 22．（23-24七年级下·江苏常州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 （写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴■处所对应的数是或， 故答案为：或． 类型六、利用完全公式的变形求值 23．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将变形为．首先将变形为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：7． 24．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查的完全平方公式的应用，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 先将原式变形为，再代入计算即可． 【详解】解：，， 原式 ， 故答案为：25． 25．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若x满足，则的值是 ． 【答案】150 【分析】本题考查完全平方式的变形应用，灵活运用所学知识是关键． 设，，得到，，然后利用完全平方式的变形求解即可． 【详解】设， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴的值是150． 故答案为：150． 26．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)49 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：，， 原式； （2）解：，， 原式． 类型七、平方差公式与几何图形 27．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键．根据条件分别表示出两个阴影图形的面积，然后求和验证即可． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为：， 右边图形中阴影部分的面积为：， ∵左右两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：C． 28．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式，能够表示出左右两个图形的面积是解题的关键． 把大正方形的面积与小正方形的面积用字母表示出来，再用大正方形的面积减去小正方形的面积得到平行四边形的面积． 【详解】大正方形的面积为：，小正方形的面积为： 则平行四边形的面积=． 故选：C． 29．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 30．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)① 3700； ② 5 【分析】本题考查平方差公式与几何面积． （1）利用长方形的面积公式作答即可； （2）根据两个图形的面积相等，即可得出等式； （3）①利用（2）中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可． 解题的关键是得到． 【详解】（1）解：图2中图形的面积为； 故答案为：； （2）由（1）可得：； 故答案为：； （3）① ； ②∵， ∴ ． 类型八、完全平方公式与几何图形 31．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据题意分情况讨论，即可求解． 【详解】解：共有以下6种拼法： ①∵， ∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ②∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ③∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ④∵， ∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ⑤∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ⑥∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； 综上所述，共有6种不同的正方形， 故选：D． 32．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成个小长方形，然后按图形状拼成一个正方形．观察图，用等式表示出，和的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形的面积计算及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察图可知，，分别表示小长方形，大正方形的面积，，即可得到数量关系式． 【详解】空白部分的边长等于小长方形的长和宽的差，即 故答案为： 33．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）数学课上，张老师准备了图①中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取_____张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为_____（用含a，b的代数式表示）； (2)选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为_____． (3)现有A，B，C型号卡片各8张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为_____； (4)选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形内（如图③），当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)，见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算； （2）根据正方形的性质即可解决问题； （3）利用正方形的面积即可解决问题； （4）设，根据题意可得，根据 ，列出等式，整理后得，进而可以解决问题．． 【详解】（1）解：； 1张型卡片，4张型卡片，则应选取4张型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为， 故答案为：； （2）根据题意可知：， 故答案为：； （3）1张型卡片的面积为张型卡片的面积为张型卡片的面积为，因此这张卡片的面积为， 而， 因此可以拼成一个边长为的正方形，而卡片一共只有， ， 至少选7张型卡片，要使最大，则8张型卡全用上， ， 因此的值为， 故答案为：21； （4）设，根据题意，得， ， ∵根据， ， ， ， ， ， ， 或， ∴与的关系为． 34．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 【答案】(1)13 (2)①10；②22 (3)12 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）①根据即可求解； ②根据即可求解； （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据，阴影部分面积为36，得出，，即可求出，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：13． （2）①已知 ∴ ∴ 故答案为：10． ②已知 ∴ ∴ 故答案为：22． （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， ∵，阴影部分面积为36， ∴， 则 ∵ ∴ 即． 类型九、利用乘法公式求代数式的最值 35．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 36．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法∶ 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 (2)多项式有最 （填“大”或“小”）值，该值为 (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)大；19 (3) (4)9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1） ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2） ∵ ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，19； （3）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （4）， ， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4，则的周长为 类型十、乘法公式的规律探究问题 37．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得： ________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： ________； (3)计算：＝________； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查平方差公式以及数字变化规律、整式的混合运算，正确得出式子之间的变化规律是解题关键． （1）根据已知式子的变化规律，可以得到所求式子的结果； （2）利用（1）中变化规律，将所求式子变形，然后计算即可； （3）先将转化成再利用（1）中变化规律进而得出答案； （4）利用（1）中变化规律得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ； ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：， ， ， ，， ． 38．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）观察下面的算式： ， ， ， ， …． (1)请你写出1个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据前4个等式，即可写出第5个等式； （2）根据上述等式，可以得出规律：第个等式为：；再证明等式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …， ∴； （2）解：根据上述等式，可以得出规律： 第个等式为：； 证明：左边， 右边， 左边右边， 故成立． 类型十一、乘法公式的新定义问题 39．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于任意有理数a、b，规定新运算，例如，所以． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)记，，判断M，N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)x的值为15或 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解一元一次方程，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）分两种情况∶当；当；然后分别进行计算即可解答 （3）利用作差法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）分两种情况： 当，即时， ， ， 解得：； 当，即时， ， ， 解得：， 综上所述：x的值为15或； （3）， 理由： ，， ， ， ； = ， = ， ． 40．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36_____“幸运数”；（填“是”或“不是”） (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2024是“幸运数”． 【答案】(1)是 (2)①佳佳的发现结论正确，理由见解析；②琪琪的发现结论错误，理由见解析 【分析】本题考查平方差公式的应用，理解“幸运数”的定义是解题的关键． （1）判断36是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）①化简，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；②令，判断k是否是整数即可． 【详解】（1） ， 36是“幸运数”． （2）①佳佳的发现结论正确，理由如下： 两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造了“幸运数”， 两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪的发现结论错误，理由如下： 由①得： 解得：， k不是整数， 琪琪的发现不成立，2024不是“幸运数”． 《乘法公式》期中压轴培优30道 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘法法则，平方差公式，完全平方公式计算即可，本题考查了多项式乘法，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. ，原计算错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选D． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ） A．6 B．或8 C．或6 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解， 则（能用完全平方公式因式分解，即， 解得或． 故选：B． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式得出、所对应的值，再进行化简计算即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵展开后得到， ∴， ∵， 又∵展开后得到， ∴， ∴， ∴的值为． 故选：C． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若无论x取何值时，关于x的方程总成立，则的值是（    ） A．46 B．56 C．72 D．81 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值及多项式的乘法，将方程坐标展开，对比两边各项的系数，得出关于m，n的等式，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故选：B． 5．（19-20七年级下·江苏常州·期中）的计算结果的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，数字的规律探究．熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意知 ，根据，，，，，可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，然后求解即可． 【详解】解： ， ∵，，，，，…… ∴可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环， ∴， ∴的个位数字为6， 故选：B． 6．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）已知，长方形的长宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，那么（    ）. A．64 B．52 C．48 D．44 【答案】B 【分析】用a和b表示出长方形的周长和面积，列出等式，利用完全平方公式，整体求出的值． 【详解】解：由于长方形的周长和面积分别为20和24， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，以及长方形的周长和面积的求法，掌握完全平方公式是解题的关键． 7．（22-23七年级下·江苏南京·期中）在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A：，故本选项不符合题意； B：不是一个多项式的完全平方，故本选项符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式和多项式、单项式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有两个：，． 8．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如果，那么的值为（      ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】依据平方差公式求得，结合，可求得． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性；解题的关键是数量掌握平方的非负性． 二、填空题 9．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．解题的关键是熟练掌握常数项等于一次项系数一半的平方．符合形式的式子叫完全平方式． 根据常数项等于一次项系数一半的平方建立方程，解方程即得． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 11．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据公式，变形得到，代入计算即可．本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据完全平方公式，将变形为是解题的关键． 先将变形为，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∵ ∵ ∴ 故答案为：5． 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算，三角形面积求法，正确添加辅助线，结合图形得出与的关系是解题关键．连接，则，利用，可得：；，即可得：，再把代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 在线段同侧作正方形及正方形， ∴， 与同底等高， ， 当时，的面积记为； ， 当时，， ． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图①，已知点为的中点，连接，．将乙纸片放到甲的内部得到图②．已知甲、乙两个正方形边长之和为，图②的阴影部分面积为，则图①的阴影部分面积为 ．          【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算的应用，首先设甲的边长为，乙的边长为，根据已知条件求出，从而求出的值，然后由图1阴影部分的面积（甲的面积乙的面积），代入数据计算即可．解题关键是熟练掌握完全平方公式． 【详解】解：设甲的边长为，乙的边长为，由题意得：， ∴， ∵图②的阴影部分面积为， ∴， ∵， ， ①②得：， ∵甲的边长为，乙的边长为， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴图1阴影部分的面积（甲的面积乙的面积） ， ∴图①的阴影部分面积为． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．    【答案】8 【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，即， 要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片． ，即， 若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张， 故答案为：8 16．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的代数式是完全平方式，则 【答案】 【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a值． 【详解】解：∵或， ∴或， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解决此题的关键． 完全平方公式． 17．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部分面积． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法，解题的关键是列出阴影部分面积的表达式． 18．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）由完全平方公式：可得，若，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】由，，得到，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴的最大值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24七年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式混合运算； （1）根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算； （2）根据完全平方公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 21．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式将括号打开，再合并同类项即可，最后代入的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式： ； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图中阴影部分的面积可进行求解； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解 【详解】（1）解：由图中阴影部分的面积可得：； 故答案为； （2）解：∵，， ∴． ∴． （3）解：令，，则，， ∴． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，将一张长方形硬纸板切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长宽分别是，的相同的小长方形，且． (1)用含，的代数式表示这张长方形硬纸板的总面积； (2)用含，的代数式表示这张长方形硬纸板的切痕总长； (3)若切痕总长为，每块小长方形的面积为，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分面积为 【分析】本题考查的知识点是用代数式表示式、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的应用． （1）根据题意用代数式表示式即可； （2）根据题意用代数式表示式即可； （3）由题意得到后根据完全平方公式的变形得到即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ． （2）解：依图得：纵向的切痕有两条，长度为， 横向的切痕有两条，长度为， ． （3）解：结合、可得：， ， ， ， ． 故阴影部分面积为． 24．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性． 观察下列各式： ； ； ； 我们发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是．我们可以用所学知识证明这个结论．这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 任务： (1)请根据上述规律计算：______；______． (2)请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】(1)4225，7225 (2)见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，完全平方公式： （1）直接利用规律计算即可； （2）利用完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：4225，7225 （2）证明：∵； ， ∴． 25．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以：所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： ①若，则_______； ②若，则______； (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    【答案】(1) (2)①1；②69 (3)8 【分析】本题考查了完全平方公式： （1）根据完全平方公式进行变形即可求解； （2）①本题题意得，进而可得，再根据即可求解； ②根据可得，代入即可求解； （3）设，，则，根据，由可求得，进而可求解； 熟练掌握多项式乘多项式的计算方法及完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ，即：， 解得：． （2）①， ， ， ， 故答案为：1； ②根据， 得：， ， ， 故答案为：69． （3）设，， ， ， 又， ， 由完全平方公式可得，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为8． 26．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； （4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）10；（4）2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可； （4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积， ， ， ； （3）在直角中，，三边分别为、、， 由（1）（2）结论可知：， ，， ， ； （4），，周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ，，， ，， 长方形的面积为：． 27．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)31 (2)15 (3)11 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）两边同时除以x得，，两边平方得，化简即可求解． 【详解】（1） ，， ，， ，即， ， 故答案为：31． （2） ，， ， ， ， ； （3） ， 即， ， 28．（23-24七年级下·江苏常州·期中）综合与探究 [知识生成]我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数证等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． [直接应用] （1）若，求的值． [类比应用] （2）若，求的值． [知识迁移] （3）将两个完全相同的直角和直角，按如图2所示的方式放置，连接．其中，，点在同一直线上，点也在同一直线上．若，，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解此题的关键． （1）由题意得，从而得出，代入数值计算即可得出答案； （2）由题意得，，结合，代入数值计算即可得出答案； （3）设，则，，，得出，再求出的值即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．    (1)在学习乘法公式时，通过对图1的面积“算两次”得到．请设计一个图形说明成立；（画出示意图，并标上字母） (2)如图2，两个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长、、有什么数量关系吗？（注写出解答过程） (3)根据（2）中的结论回答，当，时，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． （1）利用“算两次”的方法分别计算图形的面积即可； （2）由面积“算两次”的方法，用代数式表示梯形的面积即可； （3）由代入解答即可． 【详解】（1）解：如图1， 整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 构成整体的6个部分的面积和为， 因此有； （2）解：，理由如下： 从“整体”上看是上底为，下底为，高为的直角梯形，因此面积为， 从“部分”上看，3个三角形的面积和为， 因此， 所以； （3）解：，， ， ， ， 故答案为：． 30．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）小明在学习了苏科版数学七年级下册第九章的“数学活动”拼图公式后，又带了若干张边长为a的A型正方形纸板，边长为b的B型正方形纸板，长和宽分别为a与b的C型长方形纸板（如图1）到学校和同学进行拼图活动，用若干张这样的纸板可以拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图2可以得到：．小明成功的拼出了如图3的长方形（每两个纸板之间既不重叠，也无空隙）．请解答下列问题： (1)直接写出图3中所表示的数学等式 ； (2)小明又选取了2张A型纸板，5张B型纸板和11张C型纸板拼成了一个长方形，请你画出示意图（在对应边上标出字母a、b或者在对应区域标上A、B、C），并根据该图写出对应的乘法公式； (3)若图3中白色部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为30厘米，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)画图见解析， (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形： （1）利用两种方法，计算大长方形的面积，即可得出结果； （2）根据题意，画出图形，等积法，列出等式即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：等积法可得：； 故答案为：； （2）拼图如图 对应的乘法公式为： （3）∵白色部分的面积为20平方厘米，大长方形纸片的周长为30厘米 ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$