精品解析：陕西永寿县中学2025-2026学年度第一学期阶段测试（三）高一数学试卷

永寿县中学2025-2026学年度第一学期 高一数学阶段测试（三） 考试时间：120分钟；满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式和对数不等式求出两集合，再由并集运算法则求出结果. 【详解】易知或； ； 所以或； 因此. 故选：B 2. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数为增函数，则； 对数函数为增函数，则，即； 对数函数为增函数，则. 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 3. 函数的零点所在区间是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点存在性定理进行判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴函数在区间(2,3)上存在零点． 故选C． 【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求出，再利用三角公式将目标式变形为用表示，代入的值计算即可. 【详解】，解得， 所以 . 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数排除D，根据排除C，根据当时，排除B即可求解. 【详解】由题意要使得函数有意义，则，且， 这表明函数定义域关于原点对称， 且，从而函数是奇函数，故排除D， 由，排除C， 当时，，排除B. 故选：A. 6. 已知在R上是减函数．那么a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可． 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 7. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若角的终边过点且，则 B. 设角为锐角（单位为弧度），则 C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” D. 若，，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B：根据三角函数的定义分析运算；对于C：根据特称命题的否定分析判断；对于D：根据与的推出关系判断. 【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于选项B：设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与x轴正方向的交线为A，作轴， 角为锐角，可知：等于的长，，则，故B正确； 对于选项C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误； 对于选项D：由可得，故充分性成立， 若成立，则不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换、对称轴、单调性以及周期的相关知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误. 对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确. 对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误. 对于D选项，正弦函数周期，中，. ，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确. 故选：BD. 11. 已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（ ） A. 的周期 B. C. 在上单调递增 D. 是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的性质结合周期性的定义即可求解A，利用性质作出函数的图象，即可结合图象逐一求解. 【详解】由于是奇函数，所以，则 又，则，所以，所以的周期为8，A错误，， ，故B正确， 根据函数的性质结合，，作出函数图象为： 由图象可知：在上单调递增，C正确， 由于的图象不关于对称，所以不是偶函数，D错误 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，分别为第一、第三象限角，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由，结合同角三角函数关系可得，，，，即可求解. 【详解】因，得， 又，得，即， 因为第一象限角，故，， 同理：，得， 又，得，即， 因为第三象限角，故，， 所以， 故答案为： 13. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意得到有相同的零点，即，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，当时，函数是增函数，函数是减函数， 所以函数有相同的零点， 否则，存在，与题意矛盾， 从而，即， 所以，等号成立当且仅当时成立， 综上所述，所求为8. 故答案为：8. 14. 已知函数有且只有一个零点，则实数的值为 _________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，求得函数的对称轴方程为， 根据题意，得到，即可求解. 【详解】设，， 可得，所以关于对称， 又， 所以关于对称， 所以函数的对称轴方程为， 要使得函数有且仅有一个零点，则需满足，即， 解得，所以实数的值为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 计算下列各式的值 （1）化简： （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由根式与分数指数幂的转换，结合指数幂的运算即可求解； （2）由条件通过平方得到，再次平方得到，进而可求解； （3）由指数与对数的转化，和对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 由， 平方可得：， 即，再平方可得：， 即， 所以 【小问3详解】 由，可得， 由，可得， 所以. 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式、辅助角公式化简得到，结合周期公式即可求解； （2）由，结合余弦二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期 【小问2详解】 由（1）可得， 即， 所以 18. 已知对数函数过点 （1）求函数的解析式. （2）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. （3）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）设，代入点的坐标即可求解； （2）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可； （3）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可. 【小问1详解】 设， 由题意，解得， 故 【小问2详解】 当时，， 当时，，∴ 又∵为奇函数，∴当时，， 又∵是定义域在上的奇函数，∴， 综上所述，函数的解析式为. 【小问3详解】 当时，，， ∴ 令，当时，， 设，， ∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为， 令，解得（舍）或， ∴当时，函数（其中）的最小值为， 则实数的值为. 19. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1） 由题意可知，，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永寿县中学2025-2026学年度第一学期 高一数学阶段测试（三） 考试时间：120分钟；满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间是　　 A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在R上是减函数．那么a的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若角的终边过点且，则 B. 设角为锐角（单位为弧度），则 C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” D. 若，，则“”是“”的充分不必要条件 10. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 11. 已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（ ） A. 的周期 B. C. 在上单调递增 D. 是偶函数 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，分别为第一、第三象限角，且，则_____. 13. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为_____. 14. 已知函数有且只有一个零点，则实数的值为 _________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 计算下列各式的值 （1）化简： （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的值； 18. 已知对数函数过点 （1）求函数的解析式. （2）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. （3）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 19. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $