精品解析：贵州遵义市习水县2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试题

2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的含义即可求解. 【详解】集合，，所以 故选：C 2. 已知复数，，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用模的性质 ，分别计算 和 ，再代入数值计算商的模即可. 【详解】根据复数模的性质，对任意复数 （），有， 因为，，根据复数模的定义得： ， ， 所以由商的性质得. 故选：D. 3. 高二年级某班有男生30人，女生20人，现要从全班学生中发展5名入团积极分子，若仅考虑性别差异这一因素进行选拔，则应该选取女生入团积极分子的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法，即可求解. 【详解】班级男生与女生的人数比为， 由题意知，选取的方式应为分层抽样， 因为选取入团积极分子的人数为人， 所以选取女生入团积极分子的人数为人. 故选：A. 4. 若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量得到直线的斜率，结合点斜式方程列出方程即可； 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：C. 5. 已知圆锥底面半径为1，高与母线的夹角为30°，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，由圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图： 由题意得圆锥的高为，母线长为，圆锥的表面积为. 故选：D 6. 如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理的推论即可求解. 【详解】因为是上靠近点的四等分点， 所以， 则， 因为三点共线，则， 解得. 故选：A. 7. 椭圆（）的离心率，左右焦点分别为，，点在椭圆上，则满足以为斜边的直角三角形有（ ）个. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】以为斜边的直角三角形的个数，可以转化为以为圆心，以为半径的圆与椭圆的交点个数，结合图形即可求解. 【详解】因为椭圆的离心率，即， 设，则，， 以为斜边的直角三角形的个数，即为以为圆心，以为半径的圆与椭圆的交点个数， 因为，所以圆与椭圆有个交点，如图， 所以以为斜边的直角三角形有个. 故选：B. 8. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数的定义域为，利用对数的运算对函数进行化简，证明函数关于直线对称，利用复合函数的单调性说明函数在上单调递增，利用函数的对称性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】函数的定义域为， ， ， 则函数关于直线对称， 当时，令，函数在上单调递增，， 对勾函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增， 又为增函数， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增， 因为， 所以，即 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（ ） A. 正面向上的次数是1012或1013 B. 正面向上的频率可能等于0.48 C. 正面向上的频率一定等于0.5 D. 若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】BD 【解析】 【分析】正面向上的频率是随机的，故AC说法过于绝对，对于B，若频率为0.48，经计算正面朝上972次时满足条件，对于D，由于0.4与0.5差距较大，则有可能满足D中描述的硬币质量分布可能不均匀. 【详解】对于A，正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误； 对于B，因为是整数，正面朝上的次数有可能是972次，故B正确； 对于C，正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，C的说法过于绝对，故C错误； 对于D，随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5，0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀（即正面朝上的概率）的可能，故D正确. 故选：BD. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 直线与圆可能相切 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求出即可判断A；证明在圆内即可判断BC；利用几何法求出弦长，可判断D. 【详解】直线可化为， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 因为，所以定点在圆内， 所以直线与圆一定相交，故B正确，C错误； 当时，直线， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在底面半径2，高为6的圆柱内放有一个半径为2的球，作与圆柱底面不平行的平面，与球切于点，若平面与圆柱侧面相交所得封闭曲线为，则下列命题正确的有（ ） A. 曲线是椭圆 B. 曲线的离心率最大值为 C. 平面与底面所成夹角正弦最大值为 D. 点到底面距离最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可知曲线C为椭圆，AB为椭圆长轴，如图所示方法切割时，长轴最长，离心率最大并且此时与底面所成角的正弦值最大，此时切点离底面最近. 【详解】 由题可知曲线为椭圆，短轴长为圆柱直径，即，则当切线过B点时，长轴最长， 设，则， 又，则， 所以；（当最大时斜率最大）； 此时在满足截面为椭圆的前提下，截面所在平面与底面夹角最大， 故此时的正弦值， 又；此时切点最靠下，到底面的距离为. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，不共线，，，当与共线时实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】和共线，，不共线， ，即，即，解得. 故答案为：. 13. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则异面直线与所成夹角的余弦值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，而，，故两两垂直. 如图：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 因为是的中点，，， 所以， 异面直线与所成夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆的切线性质得到角的正弦值，再用正弦定理求出，接着结合双曲线定义得到 ，然后用余弦定理求出，最后根据双曲线中 的关系，推导出即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设过点的切线与圆相切于点，由圆，可得， 又因为点为双曲线的左右焦点，所以，所以， 在中，由正弦定理可得， 代入 ，，得，解得 ， 又因为在双曲线的右支，所以，即， 在中，由余弦定理可得， 代入，，， 得到，解得， 又因为双曲线中，所以， 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为与的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1） 连接，∵ 为与的交点，∴ 是中点， 在中，是中点，是 中点， ∴ 是的中位线，∴ ， 又∵ 平面，平面， ∴ 平面. （2） ∵ 底面 ， 底面 ，∴， ∵ 四边形为正方形，∴， 又∵ ，平面， ∴平面， ∵ 平面 ，∴， 因为正方体棱长为2，所以， ，， ， 平面平面 平面. 【解析】 【分析】（1）通过连接，利用中点条件证明 是 的中位线，得到，再根据“平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行”的判定定理，直接得出 平面； （2）先利用正方体的性质，证明平面，再根据线面垂直的性质，得到 ，再通过计算三条线段的长度，用勾股定理逆定理证明，最后根据线面垂直判定定理，可得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知动点到点的距离比它到轴的距离长2，记动点的轨迹为曲线.过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点. （1）求曲线的方程； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，直译法即可求解. （2）抛物线与直线联立求出，由焦点弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设由题意得，即， 化简得 当时，；当时，， 故曲线的方程是. 【小问2详解】 由题意得直线方程为，易知直线与交于两点，且点为的焦点， 设,由得， 化简得，， 所以. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义结合条件可求出，再由面积公式可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，及得， 又所以， 所以的面积. 【小问2详解】 由余弦定理得， 又，，所以. 又（当且仅当时取等号）， 所以，即 因为， 所以（当且仅当时取等号）， 又， 所以，， 所以周长的取值范围是. 18. 某学校组织学生到工厂参加劳动实践，利用3D打印技术制作几何模型，该模型为四棱锥，在四棱锥中，平面，为的中点，为上的一个动点，底面是边长为2的正方形，且. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角为30°，求出的长. 【答案】（1） 平面 ，所以 ， ，又底面 是正方形，故 两两垂直，如图：以为原点， 分别以 所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， 为 的中点，是的中点，所以，， 平面 ，取平面 的一个法向量为，， 又平面 ，故平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面 的法向量为，只要证明即可； （2）向量法求点到面的距离； （3）向量法求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 设平面 的法向量为则即 令 ，则，点到平面 的距离. 【小问3详解】 由（1）知，设，则 由（2）知面 的法向量为.因为直线与平面 所成的角为30°， 所以， 解得，所以，，所以 的长为. 19. 椭圆（）与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，若椭圆的离心率，三角形的面积. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是第一象限内椭圆上一点，直线与轴正半轴相交于点，直线与轴正半轴相交于点. （ⅰ）求证：等于定值； （ⅱ）求三角形面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）得，设， ，即直线的方程为：，令，得， 故， 又，即直线的方程为：，令，得， 故， ， 又，得， ， ， ， 故等于定值为. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、三角形的面积以及椭圆的性质即可求出； （2）（ⅰ）先设，再写出直线的方程和直线的方程即可得到和的长度，最后计算的值即可； （ⅱ）设，设，，再表示出 ，最后通过换元令，即可求出面积的最小值. 【小问1详解】 椭圆的离心率，，又三角形的面积，， 又，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由以上可知，， 则， 设，由，设，，， 则， ，， ， 令，，则， 则， 当取最大值时，取得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 高二年级某班有男生30人，女生20人，现要从全班学生中发展5名入团积极分子，若仅考虑性别差异这一因素进行选拔，则应该选取女生入团积极分子的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥底面半径为1，高与母线的夹角为30°，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆（）的离心率，左右焦点分别为，，点在椭圆上，则满足以为斜边的直角三角形有（ ）个. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（ ） A. 正面向上的次数是1012或1013 B. 正面向上的频率可能等于0.48 C. 正面向上的频率一定等于0.5 D. 若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 直线与圆可能相切 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 11. 在底面半径2，高为6的圆柱内放有一个半径为2的球，作与圆柱底面不平行的平面，与球切于点，若平面与圆柱侧面相交所得封闭曲线为，则下列命题正确的有（ ） A. 曲线是椭圆 B. 曲线的离心率最大值为 C. 平面与底面所成夹角正弦最大值为 D. 点到底面距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，不共线，，，当与共线时实数的值为________. 13. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则异面直线与所成夹角的余弦值为_________. 14. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为与的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16. 已知动点到点的距离比它到轴的距离长2，记动点的轨迹为曲线.过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点. （1）求曲线的方程； （2）求. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求周长的取值范围. 18. 某学校组织学生到工厂参加劳动实践，利用3D打印技术制作几何模型，该模型为四棱锥，在四棱锥中，平面，为的中点，为上的一个动点，底面是边长为2的正方形，且. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角为30°，求出的长. 19. 椭圆（）与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，若椭圆的离心率，三角形的面积. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是第一象限内椭圆上一点，直线与轴正半轴相交于点，直线与轴正半轴相交于点. （ⅰ）求证：等于定值； （ⅱ）求三角形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $