精品解析：山东省青岛市即墨区实验高级中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

即墨区实验高中高三12月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再求对数型复合函数定义域求出集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 2. 设是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出其虚部. 【详解】依题意，， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 4. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变. 【详解】对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误； 对B，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据， 从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，， 所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据． 对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误； 对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误. 故选：B. 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合临界值判断即可. 【详解】因为，所以， 又，， 所以. 故选：A. 6. 已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥的内切球以及圆锥侧面积的计算，解题的关键在于根据内切球的体积求出半径，再利用圆锥的轴截面和几何关系求出圆锥的底面半径和母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算结果. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径， 设圆锥的轴截面图如图所示,底面圆心为，球心为,球与圆锥侧面切点为, 圆锥高为，半径为 ,母线长为， 所以，； 因为 与相似，所以 ，即，得到， 在 中有 ,即得到，， 所以圆锥的侧面积为； 故选：B 7. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面几何知识可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求解. 【详解】作出示意图如图所示： 第一个正方形是，记为， 由平面几何知识可得第二个正方形的边长为， 所以正方形的面积为，记为， 依次类推可得第三个正方形的面积为，记为， 可得第个正方形的面积为， 所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列， 所以前11个正方形的面积和为. 故选：D. 8. 已知函数满足，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得函数在时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值. 【详解】因为满足，所以， 所以，，又，所以， 得， 因为，， 所以，所以，， ， 因为，所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等比数列的性质得到，求出首项，从而求出通项公式和求和公式，利用对数运算得到，得到数列是公差为1的等差数列，判断出四个选项. 【详解】由题意得：，而， 解得：或 当时，，满足题意； 当时，，不合题意，舍去， 故A正确； 由于，所以，则， 其中，故是等比数列，B正确； ，C正确； ，则，则， 故数列是公差为1的等差数列，D错误. 故选：ABC 10. 已知，圆，直线，则（ ） A. 与不可能垂直 B. 若，则与圆相切 C. 若，则与圆相交 D. 若圆与圆无交点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由两直线垂直的关系式即可判断A，由直线与圆的位置关系即可判断BC，由两圆的位置关系即可判断D. 【详解】对于A，若与垂直，则，解得，又，所以与不可能垂直，故A正确； 对于B，当时，圆，半径为，， 圆心到直线的距离，即直线与圆相离，故B错误； 对于C，若，圆，半径为，， 圆心到直线的距离，即直线与圆相交，故C正确； 对于D，圆，圆心，半径， 另一圆，圆心，半径， 圆心距为， 若两圆无交点，则或， 由可得， 由可得，且， 即，即，解得， 又，所以， 即两圆无交点时或，故D错误； 故选：AC 11. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用即可判断；对于B，将平面展平到与平面共面时，即可求出的最小值；对于C,建立空间直角坐标系，利用向量的数量积即可判断；对于D,利用向量法求出平面夹角的余弦，利用函数单调性得出余弦最小值，此时夹角最大，求正切值即可判断. 【详解】对于A，因为点到平面的距离为定值，分别是的中点， 所以为定值，则为定值， 由于，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，将平面展平到与平面共面时，连接， 可得， 由于，所以的最小值为，故B正确； 对于C，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，，. 设，，则点坐标为. ，， 若，则，即，解得， 又，故不存在这样的点，使得，C错误； 对于D，设二面角的平面角为，由图可得， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，则， 令，则，即 则， 因为当时，为增函数， 故当时，，即夹角最大时，余弦值为， 此时，， 故当时，，即夹角最小时，余弦值为， 此时，， 二面角的正切值的取值范围是,故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】求出第75百分位数，然后由二项式定理求解． 【详解】已知数据从小到大排列为：，共8个，， 第6个数是3，第7个数是9， ，所以， 展开式中的系数为， 故答案为：80. 13. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将小正方形与大正方形的面积之比表示关于的三角函数，从而可求，再结合同角关系求的值. 【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意，，则，即， 由，得，则， 由，得，所以， 故答案为： 14. 过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则_______，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设直线，与方程联立，由得出，由韦达定理得得出，再计算即可求解． 【详解】设直线，联立， 得， 由，即， 解得（负值舍去）， 由韦达定理可得， 所以， 故答案为：，． 四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），1.2万份； （2）认为对饮品的喜欢程度与性别有关； （3）6300份. 【解析】 【分析】（1）求出，，，代入得到，求出，销售量关于温度变量的线性回归方程，代入，求出，从而得到温度在区间时的该饮品的日销售量. （2）先进行零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联，利用公式求出，进行比较得到结论； （3）设这100天的日均销售量为，求出，从而得到这100天的日均销售量. 【小问1详解】 ， ， ，所以， ，销售量关于温度变量的线性回归方程为， 当. 所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. 【小问2详解】 零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联. . 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问3详解】 设这100天的日均销售量为， 则，所以这100天的日均销售量为6300份. 17. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合已知条件、椭圆特征以及、和的关系求解即可；(2)根据已知条件首先求出直线的截距的取值范围，然后联立椭圆方程和直线的方程，利用韦达定理和弦长公式表示出弦长，然后利用点到直线的距离公式分别求出点、到直线的距离，最后表示出面积即可求解. 【小问1详解】 椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，设椭圆的焦距为， ∴，解得，，， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意可设：， ∵点在第一象限，∴， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ∴，， ∴， ∵，，直线的一般式方程：， ∴，， ∴， ∴， 当时，有最大值为. 18. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）在 中，，由余弦定理可得： ， 所以 ，，所以 . 又因为在直三棱柱中，所以平面 ， 平面 ，所以. 因为 ，，，平面， 所以 平面，又因为 平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理得 ，再由直棱柱得 ，进而可得 平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）由点Q在坐标平面内，且，由解析法可得Q点的轨迹方程； （3）先用向量法表示出线面角的正弦值，再结合点的坐标的范围可得正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ，，， 故以所以直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图： 因为M在 上，设，又N在上，设. 点N在平面上的射影为点P，且平面平面，所以，. 由，得：，即，. 因为Q在坐标平面，设，又是线段的中点， 所以代入上式得：，且. 所以点Q的轨迹在坐标平面内，以C点为圆心，以为半径，以为圆心角的弧，如图： 所以点Q的轨迹长度为 【小问3详解】 设平面的法向量为，且， 由，得，令，则，即. 而，所以直线 与平面所成角的正弦值为 ， 而由（2）可知，，所以， 即直线 与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令 （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在单调递减，在上单调递增. （2） （ⅰ）证明：当时，， 欲证，只需证，即证， 记，，得， 故在上单调递减，得，． 故当时，成立． （ⅱ）证明： 由（ⅰ）得当时，， 故当，得，进而，依次得，． 欲证，即证． 下面先证关系，即证，． 即，整理得即证： 记，，得 又，所以在上单调递增，有， 所以在上单调递增，得，， 故当，时，有，所以，． 故 又，得，所以 所以得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，对k讨论并判断的符号即可得到的单调性； （2）（ⅰ）等价变形所证不等式为，构造函数，利用导数讨论单调性与最值，即可证明不等式； （ⅱ）由已知等价变形所证不等式为，由（ⅰ）分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可证明． 【小问1详解】 由题意得： 当时，恒成立，得在上单调递增； 当时，由得， 时，此时单调递增， 时，此时单调递减， 综上得：当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 即墨区实验高中高三12月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 已知，圆，直线，则（ ） A. 与不可能垂直 B. 若，则与圆相切 C. 若，则与圆相交 D. 若圆与圆无交点，则 11. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为______. 13. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为__________. 14. 过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则_______，________． 四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 18. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令 （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $