15.2.1分式的乘除精讲精练-2025-2026学年八年级华东师大版数学下册寒假预习必备

15.2.1分式的乘除 一、精讲 1、分式的乘法法则：分式乘以分式，将分子、分母分别相乘的积，作为积的分子、分母，用式子表示为； 2、分式的除法法则：分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即． 3、分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方．用式子表示为： (其中n为正整数)． 4、分式乘除法归根结底是分式的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分式或整式。 【例】计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 二、精练 1．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解与分式的除法运算，熟练掌握因式分解与分式的除法是解题关键． 先对树苗总数的多项式进行因式分解，再除以班级数即可得到每个班级的树苗数． 【详解】解：∵ 树苗总数 ，班级数为 ， ∴ 每个班级分得的树苗数为 （其中 ）． 故选B． 2．计算：（ ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了分式的除法．根据分式除法的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 4．化简的结果正确的是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简，先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 6．化简的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．将除法运算转化为乘法运算，并利用平方差公式分解分母，然后约分简化表达式． 【详解】解： ， ， ． 故选：B． 7．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的求值，分式有意义的条件，先化简，得到最简分式验证结论①；再求使和均为整数的值，排除分母为零的情况，验证结论②． 【详解】解：由题意可知，且， 解得且且， ， ∴结论①正确； ∵，且为整数，为整数， ∴， ∴， ， ∴值为共5种， ∴ 结论②错误． 综上，只有结论①正确． 故选：A． 8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 10．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 12．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 13．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，掌握分式的运算法则是关键，根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 14．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式除法运算法则． 将除法转化为乘法，并利用完全平方公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则．运用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用分式的乘法法则进行运算，最后约分得到结果 ． 【详解】解： ＝÷·   ． 故答案为：． 17． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，分式的乘方运算，熟练运用分式运算法则是解题的关键． 分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式．故答案为：． 18．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要 kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 19．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为 ． 【答案】米/分 【分析】本题考查列代数式，分式乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键． 平均速度是总路程与总时间的比值，设从家到学校的距离为s米，则总路程为2s米，总时间为分钟，通过计算可得平均速度 【详解】解：设从家到学校的距离为s米，依题意，得 平均速度为（米/分）． 故答案为：米/分． 20．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由已知条件出发，通过平方得到的值，再平方一次得到的值． 【详解】解：由，两边平方得：，整理得： 再对，两边平方得： ∴， 故答案为：． 21．计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可； （3）先进行幂的运算，然后将除法转化为乘法后约分即可； （4）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， （3）解：， ； （4）解：， ． 22．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)丰收2号 (2) 【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 “丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 ， ，，， ∴ ∴， ∵， 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2） 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 【答案】（1），（2），当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； ∵， ∴原式； （2）原式， ∵， ∴， ∴当时，原式． 25．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你直接写出，，三个代数式之间的等量关系． (2)①已知，，求的值． ②已知，求的值． (3)将两个正方形，如图3摆放．若两个正方形面积之和为65，，直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2)①4；②9 (3) 【分析】本题考查分式的混合运算、因式分解、完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是掌握完全平方公式的变形． （1）根据图形可以用不同的方法表示阴影部分的面积，得出之间的等量关系； （2）①根据（1）的结论可得，再代入即可解答本题；②根据（1）的结论可得，再代入即可求得所求式子的值． （3）设正方形和正方形的边长分别为，根据题意得出，根据完全平方公式求出，根据（1）的结论可得，求出，根据图中阴影部分的面积之和代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得图2中阴影部分面积或， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，，， ． ②∵，，， ， 解得：． （3）解：设正方形和正方形的边长分别为， ∵两个正方形面积之和为65，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴图中阴影部分的面积之和 ． 试卷第2页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2.1分式的乘除 一、精讲 1、分式的乘法法则：分式乘以分式，将分子、分母分别相乘的积，作为积的分子、分母，用式子表示为； 2、分式的除法法则：分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即． 3、分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方．用式子表示为： (其中n为正整数)． 4、分式乘除法归根结底是分式的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分式或整式。 【例】计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 二、精练 1．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（   ） A． B． C． D． 2．计算：（ ） A．1 B．a C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．化简的结果正确的是（  ） A． B． C．1 D． 5．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 6．化简的结果（   ） A． B． C． D． 7．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 11．计算： ． 12．化简：＝ ． 13．化简： ． 14．化简： ． 15．计算： ． 16．计算 ． 17． ． 18．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要 kg． 19．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为 ． 20．已知，则 ． 21．计算： (1) (2)； (3) (4) 22．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 23．计算： (1) (2) 24．（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 25．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你直接写出，，三个代数式之间的等量关系． (2)①已知，，求的值． ②已知，求的值． (3)将两个正方形，如图3摆放．若两个正方形面积之和为65，，直接写出图中阴影部分的面积之和． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $