精品解析：湖北部分地区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

九年级数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在如图所示的实物立体图中，其主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 100 220 750 学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 有一压力传感器，其压力（单位：）与电阻（单位：）之间的函数关系式为，当压力时，电阻的值为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的所有整数解的和为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，为上的一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若，则的度数为___________． 13. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和为偶数的概率为___________． 14. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 15. 如图，在中，，，点，分别在线段，的延长线上，且，若，则的长为___________，的值为___________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简再求值：，其中． 17. 如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 18. 纵观古今解码测量背后的数学智慧．请选择其中一种测量方法，计算物体的高度（的长）． 测量示意图 方法说明 方法一 【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与交于点．测得，，，求树的高度． 方法二 【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机测算某山体的海拔高度，当无人机位于海拔高度为的处时，测得山顶处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为的处时，测得山顶处的仰角为．求山体的高度．（参考数据：，，） 19. 某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为__________人； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）图②中C所对应的圆心角为__________； （4）根据调查结果，请你为学校开展非遗文化传承活动提出一条合理的建议． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象关于点 （1）求点P的坐标及反比例函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，若，直接写出n的取值范围． 21. 如图，内接于，为的直径，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 23. 已知，，． （1）先研究特殊情况，当时． ①如图①，当点在上时，请直接写出与的数量关系：___________； ②如图②，当点不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）当时，如图③，若，，且，求的长． （3）再研究一般情况，请直接写出的值（用含的式子表示）． 24. 如图①，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求，两点的坐标． （2）当时． ①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的最小值． ②点是直线上一动点，过点作线段轴（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 根据相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“”，求出实数的相反数即可． 【详解】解： 的相反数为， 故选： A． 2. 在如图所示的实物立体图中，其主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．根据主视图是从物体正面看所得到的图形，然后逐项判断即可． 【详解】解：A、该圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、该几何体的主视图是等腰梯形，故本选项不符合题意； D、圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据题意可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 在中，点是的中点，， ∴， 即，两点间的距离为． 故选：C． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法， 先把异分母分式加法化成同分母加法，然后求解即可． 【详解】解：， 故选：B 5. 学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 100 220 750 学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：因为全校学生中，喜欢蓝色校服的学生人数最多， 所以这组数据中，众数是蓝色， 所以学校决定购买蓝色校服，可用来解释这一决定的统计知识是众数， 故选：C． 6. 有一压力传感器，其压力（单位：）与电阻（单位：）之间的函数关系式为，当压力时，电阻的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接将已知压力代入函数关系式求解电阻. 本题考查反比例函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 电阻 R 的值为， 故选：A. 7. 不等式组的所有整数解的和为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组：， 解第一个不等式 ，得 ， 解第二个不等式 ，得， ∴ 不等式组的解集为 整数解为 和为， 故选：B． 8. 如图，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的特点，关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：由题可得，点的坐标为， 故点的对应点的坐标是， 故选：A． 9. 如图，是的直径，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，为上的一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出，连接，根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据等边三角形的判定和性质得出，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 连接，如图： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 故． 故选：B． 10. 已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象过点的意义，作差法比较大小，实数的大小比较，二次函数的性质，解答即可． 本题考查了图象过点的意义，作差法比较大小，实数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：点，，都在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A错误； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B错误； ∵， ∴， ∴， 故C错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确； 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、零次幂，先化简立方根、零次幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：∵重力和拉力的方向是平行的， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和为偶数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了画树状图计算概率，熟练掌握计算概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 两个数的和4，5，6，8，5，6，7，9，6，7，8，10，8，9，10，12共有16种等可能性，两个数字的和是偶数的等可能性有10种， 故两次取出的数字之和为偶数的概率为：， 故答案为：． 14. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 【答案】3，2 【解析】 【分析】通过设未知数列出方程组，并利用加减消元法求解． 本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子 根据题意，得方程组 为消去，将第一个方程乘以2，第二个方程乘以5，得 两式相减，得 解得 将代入第一个方程，得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子， 故答案为3，2． 15. 如图，在中，，，点，分别在线段，的延长线上，且，若，则的长为___________，的值为___________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 过点A作于点F，根据等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义，解答即可． 【详解】解：过点A作于点F， ，，， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ， ． 故答案为：1；． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的乘法．根据完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可化简，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解： ． 当时，原式． 17. 如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、三线合一，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据等腰三角形的判定和性质得出，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 18. 纵观古今解码测量背后的数学智慧．请选择其中一种测量方法，计算物体的高度（的长）． 测量示意图 方法说明 方法一 【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与交于点．测得，，，求树的高度． 方法二 【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机测算某山体的海拔高度，当无人机位于海拔高度为的处时，测得山顶处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为的处时，测得山顶处的仰角为．求山体的高度．（参考数据：，，） 【答案】方法一：米；方法二：米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 选择方法一：根据相似三角形的判定和性质即可求解； 选择方法二，根据题意可得，， ，，，求得，根据等腰直角三角形的性质得出，根据角的三角函数值求出，即可求解． 【详解】解：选择方法一：， ∵，， ∴， ∴， 将，，代入， 解得 故树的高度为米． 选择方法二：根据题意可得，，，，， 故， 在中，， ∴， ∴； 在中，，， 又∵， 故， 解得：； ∴（米）， ∴山体高度约为米． 19. 某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为__________人； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）图②中C所对应的圆心角为__________； （4）根据调查结果，请你为学校开展非遗文化传承活动提出一条合理的建议． 【答案】（1） （2） 补齐条形统计图，如图所示： （3）54 （4） 因为手工刺绣的人数最少， ∴应当多些宣传并开展手工刺绣非遗文化传承活动． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求圆心角，补齐条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用组的人数除以占比，求出本次调查的人数，即可作答． （2）运用总人数分别减去组的人数，即可得出组的人数，再补齐条形统计图，即可作答． （3）运用组的人数除以总人数，再与相乘，即可作答． （4）根据了解手工刺绣的人数最少，应当加强宣传，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， 故答案为：， 【小问2详解】 解：（人）， 【小问3详解】 解：， 故答案为：54； 【小问4详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象关于点 （1）求点P的坐标及反比例函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，若，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先把P（1，a）代入y=x+2，求出a的值，确定P点坐标为（1，3），然后把P（1，3）代入y=求出k的值，从而可确定反比例函数的解析式； （2）过P作PB⊥x轴于点B，则B点坐标为（1，0），PB=3，然后利用PQ≤5，由垂线段最短可知，PQ≥3，然后利用PQ≤5，在直角三角形PBQ中，PQ=5时，易确定n的取值范围，要注意分点Q在点B左右两种情况．当点Q在点B左侧时，点Q坐标为（-3，0）；当点Q在点B右侧时，点Q坐标为（5，0），从而确定n的取值范围. 【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴. ∴点P的坐标为. ∴. ∴反比例函数的解析式为. （2）过P作PB⊥x轴于点B， ∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5， 由勾股定理得BQ≤， ∴1-4=-3，1+4=5， ∴n的取值范围为-3≤n≤5． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理的应用． 21. 如图，内接于，为的直径，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1） 证明：∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，推得，根据直角三角形的性质得出，即可推得，即可证明； （2）延长，在的延长线上确定一点，使得，过点作，连接，根据等边三角形的判定和性质得出，，结合勾股定理求出，，根据直角三角形的性质和圆周角定理得出，，结合勾股定理求出，根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长，在的延长线上确定一点，使得，过点作，连接，如图： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故． 在中，， 在中，， ∵， ∴，， 故， 故， 在中，， 即， ∴， ∴， 即的半径为． 故劣弧的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，直角三角形的性质，切线的判定定理，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理和切线的判定定理是解题的关键． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 23. 已知，，． （1）先研究特殊情况，当时． ①如图①，当点在上时，请直接写出与的数量关系：___________； ②如图②，当点不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）当时，如图③，若，，且，求的长． （3）再研究一般情况，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）①； ②，理由如下： 当点不在上时，连接，，如图： ∵，，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①连接，根据等边三角形的判定和性质得出，，即可推得； ②连接，，根据等边三角形的判定和性质得出，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）连接，，且与交于点，根据等腰直角三角形的性质可推得，根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行线的性质和相似三角形的判定和性质得出，，求得，结合勾股定理求出，即可求解； （3）连接，，过点作点，根据等腰三角形的性质可推得，根据相似三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，结合锐角三角形函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：（1）①当时，连接，如图： ∵，，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵点在上，， 故点在上， 即点、、三点共线； 又∵，， ∴， 故答案为：； ② 略 【小问2详解】 解：连接，，且与交于点，如图所示： ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，， ∵， 故， 在中：， ∴， 故， 又∵， 故． 【小问3详解】 解：连接，，过点作点，且与交于点，如图所示： ∵，，， ∴和均为等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， 即， 故． 【点睛】本题属于三角形综合大题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键． 24. 如图①，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求，两点的坐标． （2）当时． ①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的最小值． ②点是直线上一动点，过点作线段轴（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）①1；②或 【解析】 【分析】（1）令，得，结合，得到，解方程即可得到结果． （2）①由，得到二次函数为， 分和两种情况，解答即可． ②分点，分别在抛物线上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，令，得， 又，故， 解得， 又点A在原点的左侧，故点A的横坐标为负数， 故，． 【小问2详解】 ①解：由， 故二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线； 当时，对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，且为， 当时，取得最小值，且， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 整理，得， 解得， ∴； 当时， 当时，取得最大值，且， 当时，取得最小值，且为， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴； ∵ ∴n的最小值为1． ②解：由， 得，， 设直线的表达式为， 故 解得 故直线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 当在时，与抛物线图象有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与抛物线图象有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 故m的取值范围为； 当在时，与抛物线图象有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与抛物线图象有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 故m的取值范围为 综上所述，当线段与抛物线有交点时，m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $