15.1.2分式的基本性质精讲精练-2025-2026学年八年级华东师大版数学下册寒假预习必备

15.1.2分式的基本性质 一、精讲 1、在进行分数的化简与运算时，常常要进行约分和通分，其中主要依据是分数的基本性质。类似的，进行分式的化简与运算时，也常常要进行约分和通分，其中主要依据是分式的基本性质。 分式的基本性质与分数的基本性质相同，一般可以表示为：、。这里，既可以是一个分数，也可以是一个分式。当为分数时，A是有理数，B与M都是非零的有理数；当是分式时，A既可以是数，也可以是整式，而B必须是含有字母的并且值不等于零的整式，M既可以是非零的数，也可以是值不等于零的整式。 2、分式的约分与通分与分数的约分与通分从本质上来说是相同的。它们都是应用分数（式）的基本性质来进行的，在进行分数的约分（或通分）时，分子、分母总是乘以（或除以）同一个非零的整数M，而在进行分式的约分（或通分）时，M既可以是非零的数，也可以是一个非零的整式。 3、在进行分数的约分时，公约数M通过分解质因数就可以得到；在进行分式约分时，若分式的分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子分母分解因式，然后才能确定公因式M。 4、在应用分式基本性质时，若分式的分子、分母是多项式，当用同一个代数式去乘（或除）分式的分子和分母时，就应去乘（或除）多项式的每一项，而不能只乘（或除）多项式的某一项。改变分子或分母符号时，应改变分子、分母各项的符号，而不能只改变多项式的某一项的符号。 【例1】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． （1）根据分式的约分法则计算即可； （2）根据分式的约分法则计算即可； （3）分子提取，根据分式的约分法则计算即可； （4）先将分子、分母因式分解，再根据分式的约分法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【例2】通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 二、精练 1．下列分式变形从左到右一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的都变为原来的6倍，那么分式的值（    ） A．变为原来的 B．不变 C．变为原来的6倍 D．变为原来的12倍 4．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 6．下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值是（ ） A． B．2 C．3 D． 8．将分式化为最简分式，分子、分母同时除以的式子为（   ） A． B． C． D． 9．有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学的解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙两同学的解答都正确 B．甲、乙两同学的解答都不正确 C．只有甲同学的解答正确 D．只有乙同学的解答正确 10．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 11．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 12．若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值 ． 13．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 14．约分：（1） ；（2） ． 15．分式和的最简公分母为 ． 16．约分： ． 17．已知，，则分式的值为 ． 18．若成立，则 ． 19．代数式化简的结果是 ． 20．当时，的值是 ． 21．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 22．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 23．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 24．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)；(6)． 25．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2分式的基本性质 一、精讲 1、在进行分数的化简与运算时，常常要进行约分和通分，其中主要依据是分数的基本性质。类似的，进行分式的化简与运算时，也常常要进行约分和通分，其中主要依据是分式的基本性质。 分式的基本性质与分数的基本性质相同，一般可以表示为：、。这里，既可以是一个分数，也可以是一个分式。当为分数时，A是有理数，B与M都是非零的有理数；当是分式时，A既可以是数，也可以是整式，而B必须是含有字母的并且值不等于零的整式，M既可以是非零的数，也可以是值不等于零的整式。 2、分式的约分与通分与分数的约分与通分从本质上来说是相同的。它们都是应用分数（式）的基本性质来进行的，在进行分数的约分（或通分）时，分子、分母总是乘以（或除以）同一个非零的整数M，而在进行分式的约分（或通分）时，M既可以是非零的数，也可以是一个非零的整式。 3、在进行分数的约分时，公约数M通过分解质因数就可以得到；在进行分式约分时，若分式的分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子分母分解因式，然后才能确定公因式M。 4、在应用分式基本性质时，若分式的分子、分母是多项式，当用同一个代数式去乘（或除）分式的分子和分母时，就应去乘（或除）多项式的每一项，而不能只乘（或除）多项式的某一项。改变分子或分母符号时，应改变分子、分母各项的符号，而不能只改变多项式的某一项的符号。 【例1】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． （1）根据分式的约分法则计算即可； （2）根据分式的约分法则计算即可； （3）分子提取，根据分式的约分法则计算即可； （4）先将分子、分母因式分解，再根据分式的约分法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【例2】通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 二、精练 1．下列分式变形从左到右一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，通过检验各选项是否恒成立即可判断． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 3．如果把分式中的都变为原来的6倍，那么分式的值（    ） A．变为原来的 B．不变 C．变为原来的6倍 D．变为原来的12倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，关键是熟悉分式的运算法则． 先将都变为原来的6倍，然后根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：设原分式 ，变化后分式 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 分式的值不变， 故选：B． 4．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 5．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 6．下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 7．已知，则的值是（ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，由已知条件，用表示后代入所求表达式化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．将分式化为最简分式，分子、分母同时除以的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的概念，简化分式需找到分子和分母的最大公因式，然后除以该公因式．分子和分母的数字部分最大公约数为4，字母部分公因式为和b，因此最大公因式为． 【详解】解：∵分子为，分母为 ， 数字部分：12和8的最大公约数为4， 字母部分：a的指数最小为2，b的指数最小为1， ∴最大公因式为， 将分子和分母同时除以：，化为最简分式． 因此，同时除以的式子为， 故选：C． 9．有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学的解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙两同学的解答都正确 B．甲、乙两同学的解答都不正确 C．只有甲同学的解答正确 D．只有乙同学的解答正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．甲同学直接利用平方差公式因式分解后约分，乙同学通过分子分母同乘构造平方差公式后再约分，但不能确定是否为0，甲同学的解法正确；乙同学的解法没有考虑所乘式子可能为0的情况，过程不正确． 【详解】解：∵ ， ∴ 甲同学：，过程正确； 乙同学：，但不能确定是否为0，过程不正确； ∴ 甲同学的解答正确，乙同学的解答不正确． 故选：C． 10．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 11．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 12．若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值 ． 【答案】扩大倍 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大倍． 13．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．约分：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分，找出分式的分子与分母的公因式是约分的关键． （1）根据分式的基本性质分子分母同时约去，即可得答案； （2）根据分式的基本性质分子分母同时约去，即可得答案． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：； ． 15．分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 16．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 17．已知，，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的约分是解答此题的关键． 先化简分式，再将，代入求值即可． 【详解】解： 当，时， 原式， 故答案为：． 18．若成立，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则分析求解即可． 【详解】解：由题意得 ∵ ∴ 故答案为：． 19．代数式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 20．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“+”，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 22．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 23．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】(1) (2)①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 24．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)；(6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查分式的约分，公因式，因式分解，约分是将分式的分子与分母中公因式约去，掌握约分，公因式，因式分解是解题关键． （1）先找出分子分母的公因式，再将公因式约分即可； （2）先将分式的分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可 （3）先将分式的分子因式分解，再约去分子与分母的公因式即可； （4）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可； （5）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可； （6）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 25．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查通分，解题的关键是找到最简公分母，先确定每一组分式的最简公分母，再根据分式的性质，化成同分母的分式即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $