15.1.1分式精讲精练-2025-2026学年八年级华东师大版数学下册寒假预习必备

15.1.1分式精讲精练 一、精讲 1、一般地，两个整式 A，B相除时，可以表示成的形式。如果B中含有字母，那么叫做分式．其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并兼有括号的作用。是圆周率，它代表的是一个常数。所以分母中如果除了外，没有其它字母，则不是分式。 【例1】在，，，中，分式的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，解题关键是掌握分式的定义并能熟练运用． 根据分式的定义，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：的分母为常数，不是分式； 的分母为常数，不是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式. 分式个数为2， 故选：B． 2、 3、分式的分母不等于零，分式才有意义。如果分式的分子、分母都含有字母，那么只有在分子的值为0而分母的值不为0时，这个分式的值才能为0。所以，在考虑分式的值时，一定要排分母中的字母取某些值使分母的值为0的情况。 【例2】（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 二、精练 1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．③⑤ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐一判断各式即可． 【详解】解：① ，分母为，含字母，是分式； ② 是多项式，不是分式； ③ ，分母为常数，不含字母，不是分式； ④ ，分母为，含字母，是分式； ⑤ ，分母为常数，不含字母，不是分式； 故选：D． 2．若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式无意义即分母为零，即． 【详解】解：∵ 分式无意义， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 3．在，，，，，中，分式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断各表达式是否为分式． 【详解】解：分式需满足分母中含有字母， 分析各表达式： ：分母为常数，不是分式； ：分母x为字母，是分式； ；分母3为常数，不是分式； ：无分母，不是分式； ：分母y为字母，是分式； ：分母含字母，是分式， 故选：B． 4．若使分式的值为零，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为0的条件，分式值为零需分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式值为零， ∴分子且. 解得， 故选：B． 5．无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 6．观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 7．在下列各式，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，掌握整式和分式的区别是解题关键． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，据此逐一判断各式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母为数字，不含字母，不是分式； 是多项式，分母不含字母，不是分式； 分母为，含字母，是分式； 分母为常数，不含字母，不是分式； 分母为，含字母，是分式． 综上，分式有个． 故选：． 8．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 9．若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为的条件，注意分子为，但分母不能为是解题关键． 分式的值为，需满足分子为且分母不为，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴分子且分母， 即应建立的式子是且． 故选：． 10．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 11．要使分式有意义，则应满足条件 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是明确分式有意义的条件为分母不为零，据此列出不等式求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母不能为0，即；解得； 故答案为：． 12．若分式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零，列出不等式求解． 【详解】解：由题意得，， 解得. 故答案为：． 13．一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式，根据“时间路程速度”，列出分式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为， 故答案为：． 14．写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的意义．根据分母为零时分式无意义和分式的值为零的条件进行作答． 【详解】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 15．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 17．分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 18．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间（总字数第一天打的字数）第二天的速度，求解即可． 【详解】解：， ， ∴第二天她打字用了， 故答案为：． 19．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 20．若分式值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 21．下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【答案】，，，是整式，，，是分式 【分析】本题考查整式与分式，根据整式和分式的定义判断：整式是分母中不含字母的式子，包括单项式和多项式；分式是分母中含有字母的式子． 【详解】解：是多项式，是整式； 的分母不含字母，是多项式，是整式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 综上，，，，是整式，，，是分式． 22．当x为何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）要使分式有意义，根据分母不等于0求解即可； （2）要使分式有意义，根据分母不等于0求解即可； （3）要使分式有意义，根据分母不等于0求解即可． 【详解】（1）解：分式有意义， ， ； （2）解：分式 有意义 ， ， ； （3）解：分式 有意义 ， ． 23．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 24．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 25．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1)_______，______； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 试卷第2页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.1分式精讲精练 一、精讲 1、一般地，两个整式 A，B相除时，可以表示成的形式。如果B中含有字母，那么叫做分式．其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并兼有括号的作用。是圆周率，它代表的是一个常数。所以分母中如果除了外，没有其它字母，则不是分式。 【例1】在，，，中，分式的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，解题关键是掌握分式的定义并能熟练运用． 根据分式的定义，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：的分母为常数，不是分式； 的分母为常数，不是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式. 分式个数为2， 故选：B． 2、 3、分式的分母不等于零，分式才有意义。如果分式的分子、分母都含有字母，那么只有在分子的值为0而分母的值不为0时，这个分式的值才能为0。所以，在考虑分式的值时，一定要排分母中的字母取某些值使分母的值为0的情况。 【例2】（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 二、精练 1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．③⑤ D．①④ 2．若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．在，，，，，中，分式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若使分式的值为零，则x的值是（   ） A． B． C． D． 5．无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 6．观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 7．在下列各式，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 9．若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 10．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 11．要使分式有意义，则应满足条件 ． 12．若分式有意义，则满足的条件是 ． 13．一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为 ． 14．写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 15．若分式的值为0，则的值为 ． 16．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 17．分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 18．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了 19．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 20．若分式值为负数，则的取值范围是 ． 21．下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 22．当x为何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 23．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 24．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． 25．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1)_______，______； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $