精品解析：福建福州金山中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年福州金山中学八上期末数学试卷 满分150分时间120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式有意义的条件是（） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的一个外角是，它的一个底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（ ） A. 12 B. C. 9 D. 6 10. 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为，也可以是，对于多项式，取时，密码不可能为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若分式的值是0，则x的值为_______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 计算：________． 14. 如图，数轴上点表示的实数是________． 15. 如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为______． 16. 如图，在矩形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处．分别交于点O、F，且，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知：，求代数式的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； （2）求的长． 21. 某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ 22. 如图，是边上一点，满足，连接并延长到点，使得，连接． （1）用尺规作图作出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 23. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点E，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 24. 在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． （1）如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； （2）如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） （3）如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） （4）如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 25. 在中，，垂足为，，点是线段上一点． （1）如图1，点是延长线上一点，，连接，若，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：． （3）如图3，当在的延长线上，且，时，请你直接写出之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福州金山中学八上期末数学试卷 满分150分时间120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：A． 3. 二次根式有意义的条件是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号． 【详解】解：选项A：，被开方数为分数，分母含根号，需有理化为，故不是最简二次根式． 选项B：，被开方数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式条件． 选项C：，被开方数，含平方因数，可化简为，故不是最简二次根式． 选项D：，结果为整数，已非二次根式形式． 综上，只有选项B满足最简二次根式的条件． 故选：B． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项正确； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 8. 等腰三角形的一个外角是，它的一个底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，分的外角为底角的外角、顶角的外角两种情况，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当这个的外角为底角的外角时， 底角的度数为：， ， 这种情况不存在； 当这个的外角为顶角的外角时， 底角的度数为：，符合条件． 故选A． 9. 如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（ ） A. 12 B. C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， 点D到的距离为3， ， 在中，， ， ， 故选：C． 10. 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为，也可以是，对于多项式，取时，密码不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解、求代数式的值，先对多项式进行因式分解，得到因式形式，再代入和的值，计算各因式的值，得到三个数字，然后检查选项是否这些数字的排列． 【详解】解：， 代入 ，， 可得：，，， 因式值为 ， ， ， 可能密码有：，，，，，， 密码不可能是． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若分式的值是0，则x的值为_______． 【答案】2. 【解析】 【分析】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须，从而求解即可. 【详解】解：由题意可得： 解得： 故答案为：2. 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零即分子为零且分母不为零是本题的解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解，解题的关键是正确理解关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点， ∴关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则直接求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，数轴上点表示的实数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数． 【详解】解：由图形可得：到的距离为 ∴数轴上点表示的实数是； 故答案为：． 15. 如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上截取，连接，推出的最小值为的长，以及是等边三角形，得到，再求出的长即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵是等边三角形，， ∴所在的直线是的对称轴，， ∴点M，点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：8． 16. 如图，在矩形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处．分别交于点O、F，且，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等．根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到；证明得到，进而推出，设，然后分别表示出，进而利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，二次根式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键．先根据已知条件和等式的性质求出，再根据乘法公式进行化简，最后把代入进行计算即可． 【详解】解：， ，即， 则原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 20. 如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 是从工厂到河边最近的一条路，理由为： ，，， ， 是直角三角形，且，则， 根据垂线段最短，是从工厂到河边最近的一条路； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短进行计算判断即可； （2）设，则，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由得 解得， 即； 21. 某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ 【答案】购买一个A品牌的足球需要50元，一个B品牌的足球需要80元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键．设买一个品牌的足球需元，则买一个品牌的足球需元，根据购买品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元， 根据题意得： 解方程，得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， 答：购买一个品牌的足球需要50元，一个品牌的足球需要80元． 22. 如图，是边上一点，满足，连接并延长到点，使得，连接． （1）用尺规作图作出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示： 线段即为所求； （2） 证明：， ， 由（1）知，，则由等腰三角形三线合一可得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，恰当长度为半径画弧，与边交于两点，再以这两点为圆心，恰当长度为半径画弧交于一点，作射线交边于点即可得到答案； （2）根据题意，由等腰三角形性质求出相关角度及线段关系，进而得到，再由全等三角形的判定定理得到，则，在中，由含的直角三角形性质得到，等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，熟记基本尺规作图、三角形相关性质是解决问题的关键． 23. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点E，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】【类比探究】；（1）217；（2）12；【拓展】60 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 类比探究：由图①所得到的等式，进行变形即可； （1）由，代入即可求出答案； （2）设，由题意得，由代入计算即可； 拓展：设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为， 故答案为：； （1）∵，， ∴， 故答案为：217； （2）设，则，， 所以 ； 拓展：设，由题意得，，，即， ， 即种草区域的面积和为60． 24. 在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． （1）如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； （2）如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） （3）如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） （4）如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】（1） （2） 解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3） 如图摆放能使得总电阻最小： （4）如图摆放能使得总电阻最小： 【解析】 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 【小问4详解】 解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放． 25. 在中，，垂足为，，点是线段上一点． （1）如图1，点是延长线上一点，，连接，若，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：． （3）如图3，当在的延长线上，且，时，请你直接写出之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出； （2）延长到点G，使，连接，证明，可得，，根据已知可得，根据等腰三角形的判定可得，根据，得出，即可证明结论； （3）延长、交于点C，作于点H，作于点F，证明及，再证明，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：； 如图，延长、交于点C，过点M作于点H，作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $