精品解析：山东省青岛第九中学2025-2026学年高二上学期1月阶段性考试数学试题

青岛九中2025-2026学年度第一学期阶段性考试 高二数学试题 2026.01 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第Ⅰ部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C不可能表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 2. 等差数列的前项和为，已知，，则 A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 3. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆交于P，Q两点，若线段PQ的中点坐标为，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 6. “勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 7. 已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ） A. 1022 B. 1023 C. 2046 D. 2047 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 10. 已知为直角坐标平面的动点，关于的轨迹方程正确的（ ） A. 点，直线的方程，若等于到的距离，点轨迹方程 B. 点，与点距离满足，的方程 C. 圆方程：，圆方程：，动圆分别圆、相切，点轨迹方程 D. 圆方程：，，点为圆上动点，的垂直平分线交于点，点轨迹方程 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（ ） A. 曲线C上两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线C内部不含边界，则 C. 若曲线C与直线有公共点，则 D. 若曲线C与圆有公共点，则 第Ⅱ部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为______． 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. （1）求该圆的方程； （2）过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 16. 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少20万元.今年年初该企业一次性投入600万元资金进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为万元（n为正整数）. （1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造的累计纯利润为万元（扣除技术改造资金），求，的表达式； （2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 17. 已知三棱柱，平面平面，. （1）证明：平面平面； （2）若是边长为2的等边三角形，平面与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． （1）求点的轨迹方程； （2）设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 19. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为．与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为．例如，． （1）求的值； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛九中2025-2026学年度第一学期阶段性考试 高二数学试题 2026.01 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第Ⅰ部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C不可能表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解． 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误： 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确． 对于C，当且时，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确； 故选：B 2. 等差数列的前项和为，已知，，则 A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】因为是等差数列，所以，则由可得，解得或． 因为，所以，故．代入可得，，解得 3. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可判断为正三角形，求得，得解. 【详解】由，得为直角三角形， 又，所以点在第一或第四象限内，不妨取点在第一象限内，如图， 则，又，所以为正三角形，故， 因为点是其渐近线上的一点，所以， 则双曲线的离心率. 故选：B. 4. 直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆交于P，Q两点，若线段PQ的中点坐标为，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,求出点,,利用斜率公式表示出,设点, 利用点差法：把点分别代入圆的方程,然后两式相减,利用线段PQ的中点坐标为,结合中点坐标公式求出,进而求出的关系,求出椭圆的离心率. 【详解】由题意知,点,, 由斜率公式可得,, 所以直线的方程为, 设点, 因为P，Q两点在圆上, 所以,两式相减可得, ， 因为线段PQ的中点坐标为, 由中点坐标公式可得,, 所以, 化简可得,, 所以,因为, 所以椭圆的离心率. 故选:C 【点睛】本题考查椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系及点差法和中点坐标公式的应用;点差法的运用是求解本题的关键;考查运算求解能力和逻辑思维能力;属于中档题. 5. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A．利用空间向量的线性运算求解判断；B．利用空间向量的数量积运算求解判断；C．利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D．连接AC得到即直线与平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判断． 【详解】由题可知，A正确． ，B错误． ，故，C正确． 连接AC如图所示： 则即直线与平面ABCD所成的角， 所以，，D正确． 故选：B. 6. “勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】先通过每次产生的新正方形面积和与前一次正方形面积和相同得到向外作的正方形的次数，设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，先求数列的递推式，再求通项公式，进而可求和. 【详解】设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为， 由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等， 即每次向外作的正方形面积和为，而， 故向外作了5次正方形 又，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 则， 所以“勾股树”上所有正方形的个数为. 故选：A. 7. 已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ） A. 1022 B. 1023 C. 2046 D. 2047 【答案】D 【解析】 【分析】 由求出的递推关系，再求出后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前项和公式求解． 【详解】当时，，∴， 又，，∴是等比数列，公比为2，首项为1， 所以，由得，即， ∴所求和为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前项和公式，解题思路是由得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项． 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目定义得到直线的一个方向向量，和平面的法向量，由向量夹角的求解公式得出线面角的正弦值. 【详解】经过点的直线的方程为，即， 则直线的一个方向向量为. 又经过点的平面的方程为， 即，所以的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为，则. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【详解】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 10. 已知为直角坐标平面的动点，关于的轨迹方程正确的（ ） A. 点，直线的方程，若等于到的距离，点轨迹方程 B. 点，与点距离满足，的方程 C. 圆方程：，圆方程：，动圆分别圆、相切，点轨迹方程 D. 圆方程：，，点为圆上动点，的垂直平分线交于点，点轨迹方程 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，利用抛物线的定义可判断，B选项，动圆P分别圆M、N相切，有三种情况，动圆P与圆M外切，而与圆N内切，或动圆P分别圆M、N均外切或均内切，进而可判断，C选项，由设点坐标将式子坐标化，即可得点的方程，D选项，作图，由题意，为定值，结合双曲线的定义可判断. 【详解】对于A选项，等于到的距离，根据抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线， 点是焦点，为准线，即，点P的轨迹方程，所以选项A错误. 对于B选项，由，设点，将上式坐标化可得， ，化简得，，故B正确. 对于C选项，动圆P分别圆M、N相切，有三种情况，动圆P与圆M外切， 而与圆N内切，或动圆P分别圆M、N均外切，或动圆P分别圆M、N均内切，如图， 若动圆P与圆M外切，而与圆N内切，设圆的半径为， 则，，， 根据椭圆定义可得P点轨迹方程， 若动圆P分别圆M、N均外切，点的轨迹是以点为端点的射线（除去端点）.故C错误. 若动圆P分别圆M、N均内切，设圆的半径为， 则，，或，， 或， 点的轨迹是线段（不含端点），故选项C错误. 对于D选项，圆方程：，即， 如下图，由题意，， ，根据双曲线的定义，求得点的轨迹方程为.故D正确. 故选：BD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（ ） A. 曲线C上两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线C内部不含边界，则 C. 若曲线C与直线有公共点，则 D. 若曲线C与圆有公共点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，的正负进行分类，得到4个圆，画出曲线的示意图，根绝图找到最大距离点，判断A选项；由点与曲线的关系建立不等式解得的范围，判断B选项；直线与圆有交点说明圆心到直线距离小于等于半径，建立不等式得到范围，判断C选项；找到曲线上的点到原点的最大距离和最小距离，即可得到半径取值，判断D选项. 【详解】当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第一象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第二象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第三象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第四象限的部分， 作曲线C的图形如下图：其中， ， ， . 对于A，因为曲线C在第一象限内的点到原点O的距离的最大值为 ， 所以曲线C上两点间距离的最大值为 ，故A正确； 对于B，因为点在C内部，所以点 在 的内部， 因此 ，解得 ，即，故B正确； 对于C，由曲线的图形知：要曲线与直线有公共点， 则点到直线的距离 或点D到直线的距离， 因此 或 ， 解得 或 ，所以，故C正确； 对于D，由线与坐标轴的交点为，， 当圆过点，时，最小，最小值为， 由曲线的图形及选项A知：要曲线与圆 有公共点，则 ，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，计算即可求解. 【详解】由双曲线：，可得左焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 因为，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，则计算得到数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以 ； 则数列为 因为是除以5所得的余数，所以数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 故答案为：2 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. （1）求该圆的方程； （2）过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先求出，然后得到以为圆心，为半径的圆的方程，然后与圆的方程相减，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 设圆心坐标为，则设过P点的半径所在的直线为，代入，可得 由：，解得：， 所以，所以， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 已知，圆心，根据两点间距离公式可得， 因为， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 展开化简得. 圆的方程为，展开化简得. 两式相减得，化简得. 所以直线的方程为：. 16. 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少20万元.今年年初该企业一次性投入600万元资金进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为万元（n为正整数）. （1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造的累计纯利润为万元（扣除技术改造资金），求，的表达式； （2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 【答案】（1），；（2）至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表示该企业不进行技术改造的累计纯利润，表示进行技术改造的累计纯利润，直接写出表达式即可；（2）将问题求转化为时的最小值，结合数列单调性求解即可. 【详解】（1）依题意，； . （2）. 令，易知数列为递增数列， 当且时，； 当且时，， 当时，. 即至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 17. 已知三棱柱，平面平面，. （1）证明：平面平面； （2）若是边长为2的等边三角形，平面与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：过点作交于点O， 平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ，三棱柱中， ，又， 平面， 平面ABC，∴平面平面． （2）1 【解析】 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，由面面垂直的性质得出 平面，可得出，由已知条件得出，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是边长为的等边三角形，则为的中点，且， 因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，可得， 设平面与平面所成角为，则， 所以， 又因为，解得，故. 18. 已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． （1）求点的轨迹方程； （2）设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 【答案】（1）； （2）； （3）直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）依题意可知圆的圆心在x轴，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形，再根据直角三角形射影定理可知，即可得解； （2）设，，，利用点差法求出，再根据化简求出，再根据T在抛物线内部即可得解； （3）设过点D且斜率存在的直线方程为，直线DP，DQ的斜率分别设为，，根据直线与动圆相切可得，再化简，利用韦达定理求出，设PQ方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和与积，再化简求出m，n的关系，即可得出结论. 【小问1详解】 依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形，且B点必在y轴右侧，即由直角三角形射影定理可知， 即，所以点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设，，， 则有， 由直线与圆相切可知，即， ，故， 由T在抛物线内部可知，故， 即T的纵坐标取值范围为； 【小问3详解】 设过点D且斜率存在的直线方程为，即， 由该直线与动圆相切可得，整理得，易知直线DP，DQ的斜率存在，分别设为，，则，是方程的两个不等实根， 则有，由于PQ的斜率不为0， 设，，设PQ方程为，与抛物线联立， 得，则由韦达定理可知，，， ， 整理得，即，， 即PQ方程为，此时直线恒过点． 19. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为．与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为．例如，． （1）求的值； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：． 【答案】（1）2 （2） （3）证明： 设的公差为d．因为，，所以， 则因为公差d为整数，所以，． 当时，因为与互质，所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据定义求出最小公倍数和最大公约数后，由对数运算法则计算； （2）由新定义转化后用错位相减法求和； （3）由新定义转化后利用裂项相消法求和后可证得不等式成立． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为，，且2与3互质，所以，所以， ， 两式相减得， 所以． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $