山东省青岛第九中学2025-2026学年高二上学期1月阶段性考试数学试题

青岛九中2025-2026学年度第一学期阶段性考试 高二数学试题 2026.01 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第Ⅰ部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C不可能表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 2. 等差数列的前项和为，已知，，则 A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 3. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆交于P，Q两点，若线段PQ的中点坐标为，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 6. “勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 7. 已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ） A. 1022 B. 1023 C. 2046 D. 2047 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 10. 已知为直角坐标平面的动点，关于的轨迹方程正确的（ ） A. 点，直线的方程，若等于到的距离，点轨迹方程 B. 点，与点距离满足，的方程 C. 圆方程：，圆方程：，动圆分别圆、相切，点轨迹方程 D. 圆方程：，，点为圆上动点，的垂直平分线交于点，点轨迹方程 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（ ） A. 曲线C上两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线C内部不含边界，则 C. 若曲线C与直线有公共点，则 D. 若曲线C与圆有公共点，则 第Ⅱ部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为______． 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. （1）求该圆的方程； （2）过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 16. 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少20万元.今年年初该企业一次性投入600万元资金进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为万元（n为正整数）. （1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造的累计纯利润为万元（扣除技术改造资金），求，的表达式； （2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 17. 已知三棱柱，平面平面，. （1）证明：平面平面； （2）若是边长为2的等边三角形，平面与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． （1）求点的轨迹方程； （2）设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线E内部）的两条切线分别交曲线E于两点（异于点），探究直线PQ是否过定点． 19. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为．与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为．例如，． （1）求的值； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：． 青岛九中2025-2026学年度第一学期阶段性考试 高二数学试题 2026.01 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 第Ⅰ部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABC 第Ⅱ部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1），；（2）至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 【17题答案】 【答案】（1）证明：过点作交于点O， 平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ，三棱柱中， ，又， 平面， 平面ABC，∴平面平面． （2）1 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）直线恒过点． 【19题答案】 【答案】（1）2 （2） （3）证明： 设的公差为d．因为，，所以， 则因为公差d为整数，所以，． 当时，因为与互质，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $