精品解析：山东新泰市第一中学东校2025-2026学年高一上学期期末模拟数学试题

新泰一中东校2025级高一上学期模卷 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，列不等式组求得正确答案. 【详解】依题意，， ，解得且， 所以的定义域是. 故选：C 2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【解析】 【分析】由，根据平移法则即可解出． 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，通过对数运算证明得为奇函数，并以构建等式即可求得. 【详解】设，则， 则，故为奇函数， 由题得，所以， 则，所以. 故选：B. 4. 若a，，则“”是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】取，根据对数函数的定义域知没有意义判断充分性，再利用对数函数的单调性判断必要性. 【详解】当时，由于的定义域为，没有意义，推不出，故不充分； 当时，由于在上单调递增，所以，故必要； 故选：A 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用指数运算与对数运算法则，以及指数函数与对数函数的单调性，与“1”作比较，即可得解. 【详解】， ，， 因为在上单调递减，故， 综上，. 故选：A. 6. 已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的解析式，代入已知点，结合指数式的运算，可得答案. 【详解】由题意，食品在的保鲜时间是． 将代入函数，得，所以． 因为食品在的保鲜时间是，所以，即． 又因为，所以，则． 当时，． 又因为，所以， 则， 所以该食品在的保鲜时间是． 故选：C． 7. 已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象以及函数图象变换，画出函数图象，结合图象判断. 【详解】结合三角函数图象与图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象， 由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合； ①③④均为偶函数，最小正周期为，对称轴为，符合所有条件. 故选：B 8. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若的终边经过，则 B. C. 函数在上单调递增 D. 若角和角的终边关于轴对称，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可判断A；根据诱导公式即可判断B；根据正切函数的单调性即可判断C；先得出的关系，再结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当，则，则在上单调递增，故C正确； 对于D，若角和角的终边关于轴对称，则， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值是8 C. 的最小值为2 D. 若，则的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项求解最值即可得结论. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，因为，，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是8，故B正确； 对于C，因为，令，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，又，故的最小值不为2，故C错误； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为4，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 当时， C. 方程有1个根 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数性质计算判断AB；分析函数的性质画出图象判断C；利用函数单调性判断D. 【详解】函数是定义域为的奇函数，当时，， 由题意得，，A正确； 当时，则，则， 因为是定义域为的奇函数，所以，故B错误； 当时，，且在上单调递增，， 当时，，且在上单调递增， 画出的图象如图： 因为直线与函数的图象有一个公共点， 所以方程有1个根，C正确； 由C可知在上单调递增，故由，可得， 即，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【答案】7 【解析】 【分析】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 13. 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用两角和的余弦公式、结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设． （1）若函数是定义在上的奇函数，求的值； （2）设，若，集合，，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值. （2）将代入并确定函数的单调性，利用单调性解不等式化简集合，再解不等式化简集合，利用集合的包含关系求解. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 当时，，函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 则函数在R上单调递增，而， 由，得，解得，因此， 由，解得或，因此， 由，得，解得， 所以的取值范围是. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解， （2）根据二倍角公式以及余弦的和角公式即可求解. 【小问1详解】 由可得，故， 因此， 【小问2详解】 由，可得， 故， ， 故. 17. 已知函数 . （1）当时，解不等式； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【小问1详解】 （1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； 【小问2详解】 由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求的零点； （2）若函数是偶函数，且当时，，求的解析式； （3）判断在定义域上的单调性，并用定义法证明． 【答案】（1） （2） （3） 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 又，所以，所以，故， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）令，根据指数与对数的相互转化求解即可； （2）根据偶函数的定义求解即可； （3）根据函数单调性的定义求证即可. 【小问1详解】 令，即，所以， 即，所以，解得，即的零点是. 【小问2详解】 当时，， 当时，，又函数是偶函数， 所以 综上，. 【小问3详解】 略 19. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）观察图象得到，进而求出，即可得到曲线段的解析式； （2）（i）在（1）中令，求出的值，在先求出锐角，即可求出；（ii）用表示出，从而得到，进而得到的表达式，即可利用三角函数求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，，即， 且，则， 所以曲线段FBC的解析式为； 【小问2详解】 （i）当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； （ii）由（1）可知，且， 则， 可得， 则 ； 因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中东校2025级高一上学期模卷 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 若a，，则“”是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数①，②，③，④，⑤，则下列选项中同时满足（1）是偶函数，（2）最小正周期是，（3）对称轴相同这三个条件的是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 8. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若的终边经过，则 B. C. 函数在上单调递增 D. 若角和角的终边关于轴对称，则 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值是8 C. 的最小值为2 D. 若，则的最大值为4 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 当时， C. 方程有1个根 D. 不等式的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 13. 的值为______． 14. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设． （1）若函数是定义在上的奇函数，求的值； （2）设，若，集合，，，求的取值范围． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数 . （1）当时，解不等式； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求的零点； （2）若函数是偶函数，且当时，，求的解析式； （3）判断在定义域上的单调性，并用定义法证明． 19. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $