精品解析：辽宁省鞍山市第八中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

数学试题 时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 4. 关于的不等式的解集是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 7. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. 已知集合，若，则的值为 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 不等式 的解集为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，满足，且，则的取值范围是__________． 13. 关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为______． 14. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是必要不充分条件，求的取值范围． 16. （1）解不等式． （2）若不等式，恒成立，求的取值范围． （3）解不等式． 17. 已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 18. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的关系即可求解. 【详解】对于A，由空集的性质可知，空集是任意集合的子集，所以，故A正确； 对于B，空集不含任何元素，所以，故B错误； 对于C，空集没有元素，含唯一元素，二者元素构成不同，所以，故C错误； 对于D，集合的元素仅有，不是该集合的元素，因此，故D错误. 2. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质，逐一推导或用特殊值法验证各选项，排除错误选项得到正确结论. 【详解】对选项A：当时，，故不成立，A错误； 对选项B：若，同乘得；同乘得，即，B错误； 对选项C：若，，不等式两边同除以，得，C错误； 对选项D：由，则，因为，两同向正数不等式相加得，故，两边同乘，得，D正确. 4. 关于的不等式的解集是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据绝对值不等式的性质，将其转化为不含绝对值的不等式，对进行分类讨论，再结合已知解集的端点值，求出的值即可. 【详解】解：由等价于，由题意知， 当时，，则，解得（舍）； 当时，，则，解得，符合题意. 5. 已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 6. 由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【解析】 【分析】设两次油价，分别求出两种加油方案的均价，用作差法比较大小. 【详解】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 7. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据材料，将2换成，约分后，求和即可. 【详解】因为，所以， 故选：B. 8. 若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. 已知集合，若，则的值为 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A；分类讨论求出参数的值，即可判断B; 根据绝对值的性质判断C；根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：“，”的否定是“，”，故A错误， 对于B：若，解得，则集合，符合题意， 若，此时无解， 因此若，则的值为，故B正确； 对于C：因为，则，所以，， 即命题“，”是假命题，故C错误； 对于D：由，即，解得或， 所以由推得出，即充分性成立； 由推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 11. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 不等式 的解集为 【答案】AB 【解析】 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，满足，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 所以，解得，因此， 又，则， 又因为，所以，即， 故的取值范围是. 13. 关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】对参数的取值范围进行分类讨论，再根据整数解的个数得出实数的取值集合. 【详解】可化为； 当时，不等式解集为， 若解集中恰有4个整数需包括，因此可得； 当时，不等式解集为， 若解集中恰有4个整数需包括，因此可得； 当时，不等式为，此时不等式解集为，不合题意； 综上可知，实数的取值集合为. 14. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由方程可知，解得且， 方程可化简为， 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有两个相等且不为和的解， ，解得， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； 综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以； 又，所以 【小问2详解】 若是必要不充分条件，则是的真子集， 当时满足题意，则，解得； 当时，有，解得 此时应满足且等号不同时成立，解得． 综上，的取值范围为． 16. （1）解不等式． （2）若不等式，恒成立，求的取值范围． （3）解不等式． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）不等式等价于或， 解得或 即不等式的解集为或. （2）时，， 由得或， 即或，由，得或． 所以的取值范围为 （3）不等式即为． ①由，得； ②由，得； ③由，得． 综上可知原不等式的解集为． 17. 已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若命题为真命题，则进行求解； （2）求命题为真命题时，实数的取值范围为，再由命题的否定进行求解． 【小问1详解】 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为： 【小问2详解】 ， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为： 18. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】（1）证明：， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $